Yüzde ve Karışım Problemleri Konu Anlatımı – TYT Matematik

Yüzde, kâr–zarar ve indirim

Aynı yüzde neden her seferinde aynı miktarı değiştirmiyor?

Zamdan sonra indirim

Bir ürünün fiyatı önce yüzde yirmi artıyor, sonra yüzde yirmi düşüyor. Aynı oran bir kez eklenip bir kez çıkarıldığı için fiyatın başladığı yere dönmesi beklenebilir. Ama yüz liralık ürün önce yüz yirmi liraya çıkıyor, ardından doksan altı liraya düşüyor. Aradaki dört lira neden kayboldu?

İlk yüzde yirmi, yüz liranın yüzde yirmisiydi ve yirmi lira etti. İndirim ise artık yüz lira üzerinden değil, yüz yirmi lira üzerinden hesaplanıyor. Bu kez yüzde yirmi, yirmi dört lira ediyor.

Yüzdeyi doğru anlamak için yalnızca “kaç yüzde?” diye sormak yetmez. O yüzdenin hangi bütün üzerinden hesaplandığını da bilmek gerekir.

Aynı ölçekli fiyat şeritleri 100→120→96 lirayı gösterir. %20 artış 20 lira, sonraki %20 indirim 24 liradır.

Yüz parçanın her birinin büyüklüğü bütüne bağlıdır

%20, bütünün yüz eş parçasından yirmisi; yani 20/100=1/5 demektir. İlk fiyatın beşte biri 100/5=20, zamlı fiyatın beşte biri 120/5=24 liradır. Çizimde iki bütün de beşe bölünmüş durumda; payların sayısı aynı, büyüklükleri farklı.

Yüzde, bir parçanın seçilen bütüne oranını yüz üzerinden anlatır. İndirimde bütün fiyat, kârda soruya göre maliyet veya satış tutarı, karışımda toplam madde miktarı olabilir. Önce bu bütünü belirleyip yüzdeyi gerçek miktara çevireceğiz. Ardından artışları ve azalışları tek çarpanla yazıp karışımlarda hangi miktarın korunduğunu izleyeceğiz.

100 liralık bütün beş eş 20’ye, 120 liralık bütün beş eş 24’e ayrılır. Her satırın bir parçası kendi bütününün %20’sidir.

Parça, bütün ve yüzde arasında geçiş yapalım

Bir bütün B ise onun %p’si B·p/100’dür. Başlangıç örneğinde 100·20/100=20, sonraki adımda 120·20/100=24 bulduk. Başka bir ölçekte 240’ın %15’i 240·15/100=36 olur. Boyalı yüzlük tabloda 15 hücre %15’i gösterir; bütün 240 ise her hücre 2,4 birimdir.

Ters yönde, bir P parçasının B bütününe göre yüzdesi (P/B)·100 ile bulunur. 12 kişinin 30 kişi içindeki payı %40, aynı 12 kişinin 20 kişi içindeki payı %60’tır. Bu parça–bütün ilişkisiyle, yüzde artış ve azalışların çarpanlarını şimdi kendimiz kurabiliriz.

10×10 karelik bütünün 15 hücresi boyalıdır. Bu oran 240 birime uygulandığında 36 birim eder; bir hücre her zaman tek kişi veya tek lira değildir.

Artış ve azalışı tek çarpanda topla

Başlangıç miktarı x olsun. %p artışta önce x’in p/100 kadarını bulur, sonra kendisine ekleriz: $\displaystyle x+xp/100=x(1+p/100)$ . Azalışta aynı payı çıkarırız: $\displaystyle x-xp/100=x(1-p/100)$ . Çarpanlar bu ortak x’i paranteze almaktan gelir. Açılıştaki %20 artış 1,20; %20 indirim 0,80 çarpanıdır.

İndirimden sonraki fiyat verilmişse bu işlemi tersine çeviririz. %20 indirimle 160 liraya düşen fiyatın başlangıcı $\displaystyle 160/0{,}8=200$ liradır. 160’a kendi %20’sini eklemek 192 verir; çünkü ilk indirim 160’a değil 200’e uygulanmıştı.

Ardışık yüzdeler çarpılır

Açılıştaki 100→120→96 yolculuğunu artık herhangi bir başlangıç fiyatı için yazabiliriz: $\displaystyle x\cdot1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96x$ . İlk çarpanın çıktısı, ikinci çarpanın girdisidir. Son fiyat başlangıcın %96’sı olduğundan net azalış %4’tür. Böylece örnekte gördüğümüz farkın yalnız 100 liraya özgü olmadığını da gösterdik.

Ardışık iki indirimde de oranlar doğrudan toplanmaz. %10 ve %20 indirimlerin çarpanı $\displaystyle 0{,}9\cdot0{,}8=0{,}72$ olduğundan toplam indirim %28’dir. Genel değişim çarpanını bulup 1 ile karşılaştırmak net değişimi verir.

Aynı ölçekteki şeritler 100, 120 ve 96 değerlerini gösterir. İkinci %20 azalış 120 üzerinden hesaplanır; son şerit başlangıç çizgisinin gerisinde kalır.

Kârın yüzdesi hangi fiyat üzerinden?

Maliyet M, satış S ise kâr $\displaystyle S-M$ ’dir. Maliyete göre kâr oranı $\displaystyle (S-M)/M$ olur; %p kârla satış $\displaystyle S=M(1+p/100)$ biçimindedir. Zarar varsa satış maliyetten küçüktür.

Maliyeti 80, satışı 100 olan üründe kâr 20’dir. Maliyete göre %25, satış fiyatına göre %20’dir. Soruda yüzde hangi fiyat üzerinden verilmişse o paydayı kullan. Liste fiyatı, indirimli satış fiyatı ve maliyet üç farklı nicelik olabilir.

100 liralık satış beş eş 20 liralık parçayla gösterilir. Dört parça maliyet, bir parça kârdır; kâr maliyete göre 1/4, satışa göre 1/5’tir.

Farklı grupların yüzdesini ağırlıklandır

100 ürünün %10’u, 300 ürünün %30’u kusurluysa kusurlu sayıları 10 ve 90’dır. Toplam oran $\displaystyle (10+90)/(100+300)=1/4$ , yani %25’tir. %10 ile %30’un basit ortalaması olan %20 doğru değildir; grup büyüklükleri eşit değildir.

Genel yöntem önce yüzdeyi gerçek miktara çevirmek, miktarları toplamak, sonra toplam bütüne bölmektir. Aynı yöntem farklı maliyetle alınan ürünlerde toplam kâr oranını ve karışımlarda derişimi hesaplamayı sağlar.

Yüzde puan ile yüzde değişimi ayır

Bir oran %20’den %25’e çıkmışsa 5 yüzde puan artmıştır. Eski orana göre artış ise $\displaystyle (25-20)/20=1/4$ , yani %25’tir. Bu iki ifade aynı değişimin farklı ölçüleridir.

Basit faiz modelinde ana para A, dönemlik yüzde p ve dönem sayısı t ise faiz $\displaystyle Apt/100$ ’dür; oran ile sürenin aynı döneme ait olması gerekir. Her dönem oluşan faizin de ana paraya eklendiği model ise ardışık çarpan taşır. Metin hangi modeli veriyorsa onu kullan.

Artış çarpanı $\displaystyle 1+p/100$ , azalış çarpanı $\displaystyle 1-p/100$ ’dür. Ardışık değişimlerde çarpanları çarp; kâr oranında referans fiyatı belirle.

Dikkat: Aynı yüzdeyle artış ve azalış birbirini götürmez. Kâr yüzdesinde maliyet ile satış fiyatını aynı payda sanma.

Bu bölümün kazanımları

MEB 9.3.5.2Denklemler ve eşitsizlikler ile ilgili problemler çözer.
Yüzde değişimini çarpanla modeller; maliyet, satış fiyatı ve ardışık değişimlerin farklı referanslarını ayırır.