Yüzde ve Karışım Problemleri · TYT Matematik

Yüzde, kâr–zarar ve indirim

Yüzdeyi söylemek yetmez; neyin yüzdesi?

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 9.3.5.2Denklemler ve eşitsizlikler ile ilgili problemler çözer.
Yüzde değişimini çarpanla modeller; maliyet, satış fiyatı ve ardışık değişimlerin farklı referanslarını ayırır.

Yüzde, yüz eş parçadan kaçıdır?

%p, p/100 oranıdır. 240’ın %15’i $\displaystyle 240\cdot15/100=36$ olur. Bir miktarın başka bir miktara göre yüzdesi, parça/bütün oranının 100 ile çarpılmasıyla bulunur.

Bir sınıfta 12 kişinin 30 kişi içindeki payı %40’tır. Aynı 12 kişinin 20 kişiye oranı %60 olur. Sayılan miktar aynı olsa bile referans bütün değişince yüzde değişir; bütünün ne olduğunu açıkça yaz.

10×10 karelik bütünün 15 hücresi boyalıdır. Bu oran 240 birime uygulandığında 36 birim eder; bir hücre her zaman tek kişi veya tek lira değildir.

Artış ve azalışı tek çarpanda topla

x miktarı %p artarsa $\displaystyle x(1+p/100)$ , %p azalırsa $\displaystyle x(1-p/100)$ olur. %20 artış 1,20; %20 indirim 0,80 çarpanıdır. İndirim sonrası fiyat veriliyorsa başlangıcı bulmak için indirim çarpanına böleriz.

%20 indirimle 160 liraya düşen fiyatın başlangıcı $\displaystyle 160/0{,}8=200$ liradır. 160’a kendi %20’sini eklemek 192 verir; indirim oranı 160’a değil başlangıçtaki 200’e uygulanmıştı.

Ardışık yüzdeler çarpılır

Bir fiyat önce %20 artıp sonra %20 azalırsa son değer $\displaystyle x\cdot1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96x$ olur; başlangıca dönmez, %4 azalır. İkinci yüzde, ilk değişimden sonraki miktara uygulanmıştır.

Ardışık iki indirimde de oranlar doğrudan toplanmaz. %10 ve %20 indirimlerin çarpanı $\displaystyle 0{,}9\cdot0{,}8=0{,}72$ olduğundan toplam indirim %28’dir. Genel değişim çarpanını bulup 1 ile karşılaştırmak net değişimi verir.

Aynı ölçekteki şeritler 100, 120 ve 96 değerlerini gösterir. İkinci %20 azalış 120 üzerinden hesaplanır; son şerit başlangıç çizgisinin gerisinde kalır.

Kârın yüzdesi hangi fiyat üzerinden?

Maliyet M, satış S ise kâr $\displaystyle S-M$ ’dir. Maliyete göre kâr oranı $\displaystyle (S-M)/M$ olur; %p kârla satış $\displaystyle S=M(1+p/100)$ biçimindedir. Zarar varsa satış maliyetten küçüktür.

Maliyeti 80, satışı 100 olan üründe kâr 20’dir. Maliyete göre %25, satış fiyatına göre %20’dir. Soruda yüzde hangi fiyat üzerinden verilmişse o paydayı kullan. Liste fiyatı, indirimli satış fiyatı ve maliyet üç farklı nicelik olabilir.

100 liralık satış beş eş 20 liralık parçayla gösterilir. Dört parça maliyet, bir parça kârdır; kâr maliyete göre 1/4, satışa göre 1/5’tir.

Farklı grupların yüzdesini ağırlıklandır

100 ürünün %10’u, 300 ürünün %30’u kusurluysa kusurlu sayıları 10 ve 90’dır. Toplam oran $\displaystyle (10+90)/(100+300)=1/4$ , yani %25’tir. %10 ile %30’un basit ortalaması olan %20 doğru değildir; grup büyüklükleri eşit değildir.

Genel yöntem önce yüzdeyi gerçek miktara çevirmek, miktarları toplamak, sonra toplam bütüne bölmektir. Aynı yöntem farklı maliyetle alınan ürünlerde toplam kâr oranını ve karışımlarda derişimi hesaplamayı sağlar.

Yüzde puan ile yüzde değişimi ayır

Bir oran %20’den %25’e çıkmışsa 5 yüzde puan artmıştır. Eski orana göre artış ise $\displaystyle (25-20)/20=1/4$ , yani %25’tir. Bu iki ifade aynı değişimin farklı ölçüleridir.

Basit faiz modelinde ana para A, dönemlik yüzde p ve dönem sayısı t ise faiz $\displaystyle Apt/100$ ’dür; oran ile sürenin aynı döneme ait olması gerekir. Her dönem oluşan faizin de ana paraya eklendiği model ise ardışık çarpan taşır. Metin hangi modeli veriyorsa onu kullan.

Artış çarpanı $\displaystyle 1+p/100$ , azalış çarpanı $\displaystyle 1-p/100$ ’dür. Ardışık değişimlerde çarpanları çarp; kâr oranında referans fiyatı belirle.

Dikkat: Aynı yüzdeyle artış ve azalış birbirini götürmez. Kâr yüzdesinde maliyet ile satış fiyatını aynı payda sanma.

Karışım problemleri

Yüzdeyi değil, içindeki maddeyi topla.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 9.3.5.2Denklemler ve eşitsizlikler ile ilgili problemler çözer.
Karışımda toplam miktar ve saf madde miktarını ayrı izler; ekleme, çıkarma ve buharlaşmayı modeller.

Derişim bir parça–bütün oranıdır

Bir karışımdaki tuz miktarı T, toplam karışım miktarı K ise tuz oranı T/K’dır. 200 gramlık %15 tuzlu karışımda tuz $\displaystyle 200\cdot0{,}15=30$ gram, diğer madde 170 gramdır.

Derişimin kütlece mi hacimce mi verildiğini kontrol et; farklı türde birimleri doğrudan toplayamayız. Buradaki modeller aynı ölçü türündeki miktarların toplandığı ve kimyasal tepkime olmadığı kabulüyle kurulur. Karışımın toplamını yalnız su miktarı sanma; tuz da toplamın içindedir.

İki karışımı saf madde üzerinden birleştir

Miktarları a ve b, aynı maddeye ait oranları p ve q olan iki karışım birleşince saf madde $\displaystyle ap+bq$ , toplam a+b olur. Yeni oran $\displaystyle (ap+bq)/(a+b)$ ’dir. p ve q’yu yüzde değil ondalık oran olarak kullanıyorsan aynı gösterimi bütün işlem boyunca koru.

100 gram %10’luk ve 300 gram %30’luk karışımın saf maddesi 10+90=100 gramdır; toplam 400 gramda oran %25 olur. Miktarlar eşit olmadıkça derişimlerin aritmetik ortalaması alınmaz.

Şematik kaplarda alt tabaka tuz miktarını gösterir. 100 g %10’luk ve 300 g %30’luk karışım birleşince 100 g tuz, 400 g toplam içinde %25 olur. Tabakalar miktar hesabını göstermek içindir; gerçek karışım homojendir.

Karışım hesabında iki ayrı toplam tutulur
Karışım	Toplam (g)	Tuz oranı	Tuz (g)
Birinci	100	%10	10
İkinci	300	%30	90
Birleşim	400	%25	100

Su ve saf madde eklemek farklıdır

Yalnız su eklenirse tuz miktarı değişmez, toplam artar; oran azalır. T gram tuz içeren K gram karışıma x gram su eklenince yeni oran $\displaystyle T/(K+x)$ olur. Saf tuz eklenirse hem pay hem payda artar: $\displaystyle (T+x)/(K+x)$ .

Pozitif miktarlarda iki farklı derişim karıştırıldığında son derişim bu iki değerin arasında bulunur. Düşük derişimli karışımdan daha çok eklemek sonucu ona yaklaştırır. Sonucun iki başlangıç oranının dışına çıkması, ek bir işlem yoksa hesap hatasına işaret eder.

Su eklenince toplamı temsil eden seviye yükselir, tuz miktarını temsil eden alt tabaka sabit kalır. Aynı tuz daha büyük toplama bölündüğünden oran düşer; tabakalar şematik miktar gösterimidir.

Homojen karışımdan çıkarmak oranı değiştirmez

İyice karıştırılmış homojen bir karışımın her parçası aynı derişimdedir. Karışımın 1/4’ünü alırsak tuzun da toplamın da 1/4’ü gider; kalan oran değişmez. Başta T tuz, K toplam varsa kalan $\displaystyle 3T/4$ ve $\displaystyle 3K/4$ olur.

Aynı miktarda karışım çıkarıp yerine su koyarsak ikinci aşama oranı düşürür. Önce çıkarılan tuzu hesapla, sonra eklenen suyla toplamı güncelle. İşlemleri tek bir yüzde değişimi gibi toplamak, hangi maddenin korunduğunu gizler.

Buharlaşmada hangi madde gidiyor?

Yalnız su buharlaşıyor ve tuz kapta kalıyorsa T sabit, toplam K−x olur. Yeni derişim $\displaystyle T/(K-x)$ artar. x’in başlangıçtaki su miktarını aşmaması gerekir. “Karışımın bir kısmı döküldü” denilseydi tuz da birlikte azalırdı.

Çıkarma–su ekleme işlemi her defasında iyice karıştırılarak tekrarlanırsa her turda kalan tuz aynı tür bir çarpanla değişir. K gramlık karışımdan her tur r gram alınıp suyla tamamlanıyorsa n tur sonunda tuz $\displaystyle T(1-r/K)^n$ olur. Bu ilişki, her turda kalan payın yeniden uygulanmasından doğar.

Yeni oran = toplam saf madde / toplam karışım. Su ekleme, homojen karışım çıkarma ve su buharlaştırma işlemlerinde korunan miktar farklıdır.

Dikkat: Derişim yüzdeleri miktarlardan bağımsız toplanmaz veya ortalanmaz. Homojen karışımdan alınan parça yalnızca su içermez.