Problem dili ve denklem kurma
Aynı sayılarla anlatılan iki hikâye neden farklı hesap ister?
Kutulara beş top eklemek
Üç kutunun her birinde dört top var. Şimdi kutulara beş top daha ekleyeceğiz. “Toplam beş top ekleyin” dersek başka, “her kutuya beş top ekleyin” dersek bambaşka bir sonuç çıkıyor. Aynı sayılar nasıl oluyor da iki farklı cevaba dönüşüyor?
Beş topu bütün kutulara bir kez eklersek, toplam on iki topa beş ekler ve on yedi buluruz. Ama beş topu her kutuya ayrı ayrı eklersek, her kutuda dokuz top olur ve toplam yirmi yediye çıkarız.
Hesabı değiştiren şey sayılar değil, beş topun hangi miktara ait olduğudur. Problem çözerken önce işlemi değil, cümlenin anlattığı ilişkiyi anlamamız gerekir.
Hikâyedeki sırayı işlem zincirine taşıyalım
Bir kutudaki başlangıç top sayısını henüz bilmeseydik ona x diyebilirdik. Önce üç kutuyu toplamak, sonra beş eklemek 3x+5’tir. Önce bir kutuya beş eklemek, sonra bunu üç kutu için saymak 3(x+5)’tir. Çizimde okların sırası değişince parantezin neden gerektiği görülüyor.
Bu bölümde matematiksel model kuracağız: metindeki nicelikleri harflerle, aralarındaki ilişkileri işlem ve eşitliklerle yazacağız. Modeli kurunca sayı, kesir ve yaş problemleri ayrı birer ezber olmaktan çıkar; “hangi miktar, hangi anda, ne kadar?” sorularını izleriz. İlk işimiz bilinmeyene açık bir anlam vermek.
x bir etiket: neyi saydığını yazmadan işleme başlama
Kutulu örnekte x, bir kutudaki başlangıç top sayısıdır. Toplam top sayısı değildir; üç kutunun toplamı 3x’tir. Bu ayrımı baştan yazmazsak doğru görünen işlemleri yanlış niceliğe uygulayabiliriz. Başka bir soruda x bilet adedi, litre cinsinden su miktarı veya lira cinsinden fiyat olabilir; anlamını ve varsa birimini belirtiriz.
Sonra verilenleri, arananı ve bunları bağlayan cümleleri ayırırız. Soru bir kutunun içini değil son toplamı istiyorsa x’i bulduktan sonra bir işlem daha gerekir. Şimdi bu yöntemi sözcük sırasına ve sınır bildiren ifadelere uygulayalım.
Sözcük sırası işlemin sırasını belirler
“Bir sayının 3 katının 5 fazlası” ; “bir sayının 5 fazlasının 3 katı” olur. “a, b’den 4 fazla” ifadesi ; “a’nın b’ye oranı 2/3” ifadesi demektir.
“En az 8” için ≥8, “8’den fazla” için >8 kullanılır. “En çok” sınırı dahil eder; “daha az” etmez. Sözcüğü tek başına bir işlemle eşlemek yerine cümlenin hangi niceliğe hangi işlemi uyguladığını takip et.
Korunan toplamı veya eşit miktarı bul
Alışverişte toplam ödeme = birim fiyat × adet; bir grupta toplam = ayrık grupların toplamı; başlangıç miktarı = kullanılan + kalan. Bu eşitlikler, metnin matematiksel omurgasıdır.
İki farklı yoldan tarif edilen aynı miktarı eşitleyebiliriz. Bir para hem üç ürünün toplam bedeli hem başlangıç parası eksi kalan para ise bu iki ifade aynı değeri taşır. Denklem kurmak, rastgele sayı yerleştirmek değil aynı niceliğin iki anlatımını birleştirmektir.
Koşulları modelin içine taşı
Bilet sayısı tam sayı, süre negatif olmayan sayı, olasılık 0 ile 1 arasında bir değerdir. “Farklı” sözcüğü eşitliği yasaklar; “pozitif tam sayı” hem işaret hem kesirsizlik koşuludur. Denklem bu bilgilerin tamamını tek başına içermez.
Bazı problemlerde tek değer yerine bir aralık çıkar. En az kaç kutu gerektiği soruluyorsa kutu kullanılamaz; 5 kutu gerekir. En çok kaç tam grup kurulacağı soruluyorsa aynı bölmede 4 tam grup alınır. Yuvarlama yönünü bağlam belirler.
Sonucu özgün cümlelere geri yerleştir
Çözümden sonra bulunan değeri yalnız denklemde değil, sorunun cümlelerinde de sınayalım: toplam tutuyor mu, kim kimden büyük, kalan miktar negatif mi, birim doğru mu? Bir hızın sonucuna kilometre yazmak, hesabın hangi niceliği verdiğinin karıştığını gösterir.
Yaklaşık bir tahmin de yap. Bir miktarın dörtte biri alındığında kalanın başlangıçtan büyük çıkması beklenmez. Bu kontrol yeni bir çözüm yöntemi değil, kurduğun modelin metni doğru temsil edip etmediğinin denetimidir.
Bilinmeyeni birimiyle tanımla → aynı niceliğin iki anlatımını eşitle → kısıtları uygula → sonucu metinde denetle.
Bu bölümün kazanımları
- MEB 9.3.5.2Denklemler ve eşitsizlikler ile ilgili problemler çözer.
- Bir problemde bilinmeyeni, verileri ve kısıtları belirler; sözel ilişkileri matematiksel modele dönüştürür.