Problem Kurma, Sayı ve Kesir Problemleri

Bir probleme başlarken x’in neyi temsil ettiğini yaz: “x, başlangıçtaki bilet sayısıdır” veya “x, bir ürünün lira cinsinden fiyatıdır.” Aynı x’i iki farklı nicelik için kullanma. Birden fazla bilinmeyen gerekiyorsa bunların ilişkisini kur.

Soru sonucu doğrudan istemeyebilir; önce toplamı bulup kalan miktarı hesaplamak gerekebilir. Verilenler, aranan ve bunları birbirine bağlayan cümleler ayrı ayrı belirlenince uzun bir paragraf daha yönetilebilir hâle gelir.

“Bir sayının 3 katının 5 fazlası” $\displaystyle 3x+5$; “bir sayının 5 fazlasının 3 katı” $\displaystyle 3(x+5)$ olur. “a, b’den 4 fazla” ifadesi $\displaystyle a=b+4$; “a’nın b’ye oranı 2/3” ifadesi $\displaystyle a/b=2/3$ demektir.

“En az 8” için ≥8, “8’den fazla” için >8 kullanılır. “En çok” sınırı dahil eder; “daha az” etmez. Sözcüğü tek başına bir işlemle eşlemek yerine cümlenin hangi niceliğe hangi işlemi uyguladığını takip et.

Bilet sayısı tam sayı, süre negatif olmayan sayı, olasılık 0 ile 1 arasında bir değerdir. “Farklı” sözcüğü eşitliği yasaklar; “pozitif tam sayı” hem işaret hem kesirsizlik koşuludur. Denklem bu bilgilerin tamamını tek başına içermez.

Bazı problemlerde tek değer yerine bir aralık çıkar. En az kaç kutu gerektiği soruluyorsa $\displaystyle 23/5=4{,}6$ kutu kullanılamaz; 5 kutu gerekir. En çok kaç tam grup kurulacağı soruluyorsa aynı bölmede 4 tam grup alınır. Yuvarlama yönünü bağlam belirler.

Çözümden sonra bulunan değeri yalnız denklemde değil, sorunun cümlelerinde de sınayalım: toplam tutuyor mu, kim kimden büyük, kalan miktar negatif mi, birim doğru mu? Bir hızın sonucuna kilometre yazmak, hesabın hangi niceliği verdiğinin karıştığını gösterir.

Yaklaşık bir tahmin de yap. Bir miktarın dörtte biri alındığında kalanın başlangıçtan büyük çıkması beklenmez. Bu kontrol yeni bir çözüm yöntemi değil, kurduğun modelin metni doğru temsil edip etmediğinin denetimidir.

Biri diğerinin 3 katı olan iki sayı x ve 3x yazılır; toplamları 4x’tir. “Büyük sayı küçüğün 3 katından 2 eksik” denirse x ve 3x−2 olur. Fazlalığı kimin taşıdığını doğru yerleştirmek gerekir.

Ardışık sayılarda değişkeni ortadan seçmek çoğu kez toplamı kolaylaştırır. Üç ardışık çift sayı $\displaystyle 2k-2,2k,2k+2$; toplam $\displaystyle 6k$’dır. Bu gösterim hem çiftliği hem ardışıklığı aynı anda korur.

Rakamları toplamı 11 olan iki basamaklı bir sayı için $\displaystyle a+b=11$, sayı için $\displaystyle 10a+b$ yazarız. Rakamlar yer değiştirince sayının 27 azalması $\displaystyle 9(a-b)=27$ ilişkisini verir. Bu iki denklem a=7, b=4 sonucuna götürür; böylece sayı 74’tür.

Burada 74, ayrı bir soru çözme ezberi değil, iki sözel ilişkinin iki denklem hâline gelmesidir. a’nın 1–9, b’nin 0–9 arasında olması koşulları sürer. Sonuç 12 gibi bir rakam verirse model veya varsayımlar yeniden incelenmelidir.

Pozitif tam sayı iki niceliğin çarpımı 24 ise olası sırasız çiftler (1,24), (2,12), (3,8), (4,6)’dır. Toplamları aynı değildir; sayılar birbirine yaklaştıkça bu listede toplam küçülür. Tam sayı koşulu olmasaydı arada sonsuz çift bulunurdu.

“Birbirinden farklı”, “biri tek” veya “aralarında asal” gibi ek bilgiler bu listeyi daraltır. En büyük–en küçük arayışında önce olası değer kümesini belirlemek, rastgele denemelerden daha güvenilir bir yoldur.

Bir sayı 5’e bölününce 2 kalıyorsa $\displaystyle N=5k+2$ biçimindedir. Ayrıca iki basamaklıysa $\displaystyle 10\le5k+2\le99$ koşulunu ekleriz. Bir başka bölme koşulu varsa aynı N’nin diğer gösterimiyle ilişki kurarız.

Ardışık olaylar veya bir listede belirli sıradaki terim sorulduğunda da aynı fikir işler: başlangıç + adım sayısı × artış. İlk terimden n’inci terime n−1 adım olduğunu korumak, bir fazla sayma hatasını önler.

Bir miktarın 2/5’i kullanılıyorsa başlangıcı x alıp kullanılanı $\displaystyle 2x/5$, kalanı $\displaystyle 3x/5$ yazarız. Payda, x’in kaç eş parçaya ayrıldığını; pay, bu parçalardan kaçının alındığını gösterir.

Başlangıç miktarı bilinmiyorsa 5k gibi bir gösterim de işlemleri kolaylaştırabilir. Ancak soru bir miktarı veriyorsa x yerine gerçek miktarı kullanmak mümkündür. Önemli olan, bütün değişmedikçe aynı sembolün aynı miktarı temsil etmesidir.

Bir miktarın 3/8’i harcanınca 25 birim kalıyorsa kalan, başlangıcın 5/8’idir. Dolayısıyla $\displaystyle (5/8)x=25$, $\displaystyle x=25\cdot8/5=40$. Verilen kalan miktarı doğrudan 8 ile çarpmak, beş payı tek pay sanmak olur.

Birden fazla aşama varsa her aşamanın kalan çarpanını çarparız. Son miktar $\displaystyle x(1-a)(1-b)$ ise başlangıcı bulmak için bu çarpıma böleriz; burada a ve b ilgili aşamalardaki tüketilen oranlardır.

Kesir bir oran, kesirle çarpılan x ise litre, lira veya kişi gibi bir miktardır. Kapasite ile içindeki sıvıyı, toplam yol ile gidilen yolu farklı nicelikler olarak tut. Doluluk oranı olağan bir kap probleminde 0 ile 1 arasında kalmalıdır.

Nesneler bölünemiyorsa ara aşamalardaki kişi veya bilet sayılarının da tam sayı olması gerekir. Sonucun başlangıç koşullarını sağlaması, yalnızca son eşitliğin doğru olmasından daha güçlü bir kontroldür.

Bugünkü yaşları a ve b olan iki kişi t yıl sonra a+t ve b+t yaşında olur. t yıl önceyse a−t ve b−t yazılır. Bütün yaşların hangi zamana ait olduğunu belirtmek, farklı yılların yaşlarını yanlışlıkla karşılaştırmayı önler.

Aynı t bütün kişilere uygulanır. İki kişiden yalnız birinin yaşına t eklemek, onları artık aynı tarihte değerlendirmemek demektir. Tablo, bu düzeni görünür tutmanın en kolay yoludur.

n kişinin yaşları toplamı S ise t yıl sonra toplam $\displaystyle S+nt$ olur. Çünkü her kişiye ayrı ayrı t eklenmiştir. Aynı kişilerin t yıl önceki toplamı $\displaystyle S-nt$’dir.

Gruba yeni biri katılır veya biri ayrılırsa yalnız zaman değişimini kullanmak yetmez. Toplama katılanın o andaki yaşı eklenir, ayrılanınki çıkarılır. Yaş ortalaması da toplamın o andaki kişi sayısına bölünmesiyle bulunur.

Bugün A, B’den büyük olsun; yaşları a ve b. “A, B’nin bugünkü yaşındayken” ifadesinde a−b yıl geriye gideriz. O tarihte A’nın yaşı b, B’nin yaşı $\displaystyle b-(a-b)=2b-a$ olur.

“B, A’nın bugünkü yaşına geldiğinde” ise a−b yıl ileri gideriz. O zaman B’nin yaşı a, A’nın yaşı $\displaystyle a+(a-b)=2a-b$’dir. Önce geçen süreyi bulup sonra her kişiye aynı süreyi uygulamak, bu tür cümleleri çözer.

Geçmişteki yaşların negatif çıkması, anlatılan olayın o kişi için doğumdan önceye gittiğini gösterir. Problem o kişinin yaşından söz ediyorsa bu aday uygun değildir. Oran kurulan yaşın sıfır olması da paydayı tanımsız yapabilir.

Doğum yılı verildiğinde yıl farkı ile tamamlanmış yaşın ayrımına dikkat et. Doğum günleri hakkında bilgi yoksa takvim yılını çıkararak her zaman kesin tamamlanmış yaş bulunamaz. Ders problemlerinde kullanılan zaman kabulünü verilen ifadeden oku.