Kümeler

Çizimdeki küçük kazanan listesi A={Ece, Ali, Can} olsun. Ece∈A, Ece’nin üye olduğunu; Deniz∉A, Deniz’in üye olmadığını söyler. Aynı dili sayılarda da kullanırız: “10’dan küçük pozitif çift tam sayılar” kümesi $\displaystyle B=\{2,4,6,8\}$ olur. Kümeleri büyük harfle adlandırır, elemanlarını süslü parantez içinde yazarız.

Bu sayı kümesini ortak özelliğiyle $\displaystyle B=\{x\in\mathbb Z:0<x<10,\ x\text{ çift}\}$ biçiminde de gösterebiliriz. Liste, koşul ve Venn şeması aynı üyelik bilgisinin farklı gösterimleridir. Üyeliği belirledik; şimdi liste sırasının veya aynı adı tekrar yazmanın kümeyi değiştirip değiştirmediğine bakalım.

$\displaystyle \{1,2,3\}$ ile $\displaystyle \{3,1,2\}$ aynı kümedir. Bir elemanı tekrar yazmak yeni bir eleman oluşturmaz; $\displaystyle \{1,1,2\}=\{1,2\}$. A’nın eleman sayısı $\displaystyle s(A)$ veya |A| ile gösterilir.

Hiç elemanı olmayan küme $\displaystyle \varnothing$’dir; eleman sayısı 0’dır. $\displaystyle \{\varnothing\}$ ise içinde boş küme bulunan bir elemanlı bir kümedir. Parantezin dışındaki küme ile içindeki nesnenin türünü ayırmak, kümelerin de eleman olabildiği durumlarda önemlidir.

n elemanlı bir kümenin her elemanı için “alt kümeye al” veya “alma” diye iki bağımsız seçenek vardır. Bu nedenle alt küme sayısı $\displaystyle 2^n$’dir. Bu sayıya boş küme ve kümenin kendisi dahildir.

Kendisinden farklı alt kümelere öz alt küme denir; sayıları $\displaystyle 2^n-1$’dir. Belirli bir elemanın mutlaka bulunması isteniyorsa o elemanın seçimi sabitlenir, kalan n−1 eleman serbesttir: $\displaystyle 2^{n-1}$. Belirli r elemanlı alt kümeleri saymayı kombinasyonda ayrıca öğreneceğiz.

A ve B aynı elemanlara sahipse eşittir. Bunun için hem $\displaystyle A\subseteq B$ hem $\displaystyle B\subseteq A$ gerekir. Sonlu iki kümenin eleman sayılarının eşit olması, kümelerin eşit olduğunu göstermez: {1,2} ile {3,4} farklıdır.

Sonlu kümelerde $\displaystyle A\subseteq B$ ve $\displaystyle s(A)=s(B)$ birlikte verilirse A=B çıkar. Bir kümenin elemanları değişken içeriyorsa eşitliği incelerken yazılı sıraya göre eşleştirmek yerine hangi elemanların aynı topluluğu oluşturduğunu kontrol et.

Georg Cantor (1845–1918) kümeler kuramının kurucusu kabul edilir. Sonsuz kümelerin de karşılaştırılabileceğini gösterdi: doğal sayılarla bire bir eşlenebilen kümeler “sayılabilir sonsuz”dur; tam sayılar ve rasyonel sayılar da böyledir. Gerçek sayıların ise doğal sayılarla bire bir eşlenemeyeceğini kanıtladı; yani her sonsuz küme aynı büyüklükte değildir. Bu fikirler önce çok tartışıldı; bugün matematiğin hemen her dalı kümeler diliyle yazılır.

Gerçek hayatta kümeler: Bir sınıftaki gözlüklü öğrenciler, haftanın günleri ya da bir alışveriş listesindeki ürünler birer kümedir. “Uzun boylu öğrenciler” ise kimin dahil olduğu kişiden kişiye değiştiği için bir küme belirtmez. Bir telefondaki uygulamalar bir küme ise oyun uygulamaları bu kümenin bir alt kümesidir.

Örnek: A = {a, b, c, d} kümesinin alt kümelerinden kaçında a bulunur ama b bulunmaz? a kesin alınıp b kesin dışarıda bırakılınca c ve d için ikişer seçenek kalır: $\displaystyle 2^2=4$ alt küme. Bunlar {a}, {a, c}, {a, d} ve {a, c, d} kümeleridir.