Kümeler

“10’dan küçük pozitif çift tam sayılar” bir küme belirtir; hangi sayıların dahil olduğu bellidir. “Güzel sayılar” ise ortak, kesin bir ölçüt verilmeden küme belirtmez. Kümeleri A, B gibi büyük harflerle, elemanları süslü parantez içinde yazarız: $\displaystyle A=\{2,4,6,8\}$.

$\displaystyle 2\in A$ ifadesi 2’nin A’nın elemanı olduğunu, $\displaystyle 3\notin A$ olmadığını söyler. Liste yöntemi, ortak özellik yöntemi ve Venn şeması aynı kümeyi farklı biçimlerde gösterebilir. $\displaystyle A=\{x\in\mathbb Z:0<x<10,\ x\text{ çift}\}$ aynı örneğin özellik gösterimidir.

$\displaystyle \{1,2,3\}$ ile $\displaystyle \{3,1,2\}$ aynı kümedir. Bir elemanı tekrar yazmak yeni bir eleman oluşturmaz; $\displaystyle \{1,1,2\}=\{1,2\}$. A’nın eleman sayısı $\displaystyle s(A)$ veya |A| ile gösterilir.

Hiç elemanı olmayan küme $\displaystyle \varnothing$’dir; eleman sayısı 0’dır. $\displaystyle \{\varnothing\}$ ise içinde boş küme bulunan bir elemanlı bir kümedir. Parantezin dışındaki küme ile içindeki nesnenin türünü ayırmak, kümelerin de eleman olabildiği durumlarda önemlidir.

n elemanlı bir kümenin her elemanı için “alt kümeye al” veya “alma” diye iki bağımsız seçenek vardır. Bu nedenle alt küme sayısı $\displaystyle 2^n$’dir. Bu sayıya boş küme ve kümenin kendisi dahildir.

Kendisinden farklı alt kümelere öz alt küme denir; sayıları $\displaystyle 2^n-1$’dir. Belirli bir elemanın mutlaka bulunması isteniyorsa o elemanın seçimi sabitlenir, kalan n−1 eleman serbesttir: $\displaystyle 2^{n-1}$. Belirli r elemanlı alt kümeleri saymayı kombinasyonda ayrıca öğreneceğiz.

A ve B aynı elemanlara sahipse eşittir. Bunun için hem $\displaystyle A\subseteq B$ hem $\displaystyle B\subseteq A$ gerekir. Sonlu iki kümenin eleman sayılarının eşit olması, kümelerin eşit olduğunu göstermez: {1,2} ile {3,4} farklıdır.

Sonlu kümelerde $\displaystyle A\subseteq B$ ve $\displaystyle s(A)=s(B)$ birlikte verilirse A=B çıkar. Bir kümenin elemanları değişken içeriyorsa eşitliği incelerken yazılı sıraya göre eşleştirmek yerine hangi elemanların aynı topluluğu oluşturduğunu kontrol et.

$\displaystyle A\setminus B$, A’da olup B’de olmayan elemanları içerir. Örnekte {1,2}’dir; $\displaystyle B\setminus A=\{4\}$ olduğundan fark işlemi yer değiştirmez. Evrensel küme E, konuştuğumuz bütün olası elemanları belirler.

A’nın tümleyeni $\displaystyle A'=E\setminus A$’dır. E={1,2,3,4,5} ise A′={4,5}. Evrensel küme değişirse tümleyen de değişir. “Hiçbiri” ifadesi, birleşimin evrensel küme içindeki tümleyenidir.

$\displaystyle s(A)+s(B)$ toplandığında ortak elemanlar iki kez sayılır. Birleşimde her biri bir kez bulunmalı; bu yüzden $\displaystyle s(A\cup B)=s(A)+s(B)-s(A\cap B)$. Yalnız A’dakiler $\displaystyle s(A)-s(A\cap B)$’dir.

Üç kümede önce tek tek sayıları toplar, ikili kesişimleri çıkarır, üçlü kesişimi bir kez ekleriz. Çünkü üçlü ortak eleman başlangıçta üç kez sayılıp üç kez çıkarılmıştır. Soruda “A ve B” denildiğinde üçüncü kümeye de ait olanları kapsayabileceğini, “yalnız A ve B” denildiğinde kapsamayacağını ayır.

Bir eleman A veya B’nin hiçbirinde değilse hem A’nın hem B’nin dışındadır. Bu düşünce $\displaystyle (A\cup B)'=A'\cap B'$ eşitliğini verir. Benzer biçimde $\displaystyle (A\cap B)'=A'\cup B'$; ortak bölgede olmamak, en az birinin dışında olmaktır.

Bu iki ilişki De Morgan kurallarıdır. $\displaystyle A\setminus B=A\cap B'$ de aynı üyelik koşulunun başka yazımıdır. Formülleri ezberlemek yerine bir elemanın hangi koşulları sağlaması gerektiğini söyleyerek doğrulayabilirsin.