Üsler, Kökler ve Özdeşlikler Konu Anlatımı – TYT Matematik

Üslü ifadeler ve denklemler

Her adımda iki katına çıkan miktarı, uzun çarpımlar yazmadan nasıl anlatırız?

Kâğıdı üç kez ikiye katlamak

Bir kâğıdı üç kez ikiye katladığımızı düşünelim. İlk katlamadan sonra iki katman, ikinciden sonra dört katman, üçüncüden sonra ise sekiz katman oluşuyor. Üç katlama olduğu için akla hemen altı gelebilir. Peki sonuç neden altı değil, sekiz?

Çünkü her adımda yalnızca iki katman eklemiyoruz; o anda elimizde bulunan bütün katmanları ikiyle çarpıyoruz. Katman sayısı bir, iki, dört, sekiz diye ilerliyor. Bu yüzden işlem iki artı iki artı iki değil, iki çarpı iki çarpı ikidir.

Aynı çarpımı tekrar tekrar yazmak yerine üs kullanacağız. Sonra köklerle bu işlemi ters yönden nasıl okuyacağımızı ve özdeşliklerin bu yapıyla nasıl bağlantılı olduğunu göreceğiz.

İdeal katlama modelinde katman sayısı 1→2→4→8 ilerler. Her ok mevcut katmanların ikiye katlanmasını temsil eder.

Üs çarpımı kısaltır; kök soruyu ters yönden sorar

2·2·2 yerine 2³ yazarız. Alttaki 2 her adımda kullandığımız taban, üstteki 3 ise kaç tane 2’yi çarptığımızı söyleyen üstür. 2³·2² yazınca üç tane 2 ile iki tane 2 yan yana gelir; toplam beş çarpan olduğu için sonuç 2⁵’tir. Üsleri toplama kuralının kaynağı çizimdeki çarpan sayısıdır.

Köklerde yönü ters çevireceğiz: “Hangi negatif olmayan sayının karesi 9 olur?” sorusunun cevabı √9=3’tür. Özdeşliklerde de çarpımları açıp aynı miktarı farklı ifadelerle yazacağız. Bu üç bölümün ortak noktası, sembolün hangi çarpımı anlattığını görmek. Önce üslü yazımın kapsamını ve işaretini netleştirelim.

Üç tane 2 ile iki tane 2’nin çarpımı beş tane 2 içerir: 2³·2²=2⁵. Üsler, aynı tabanın kaç kez çarpıldığını sayar.

Parantez, hangi sayının kuvvetini aldığımızı belirler

Pozitif tam sayı n için aⁿ, n tane a’nın çarpımıdır. Örneğin 3⁴=3·3·3·3; 3 ile 4’ün çarpımı değildir. Taban negatifse çarpanların işaretini de tekrarlarız: (−3)²=(−3)·(−3)=9. Fakat −3² yazımında üs yalnız 3’e aittir; sonuç −(3·3)=−9 olur.

Pozitif tam sayı kuvvetinde negatif tabanın çift üssü pozitif, tek üssü negatiftir. Sıfırın bu kuvvetleri 0, 1’in kuvvetleri 1 olur; −1’in kuvvetleri ise tek ve çift üslerde −1 ile 1 arasında değişir. Şimdi katlama örneğinde saydığımız çarpanları genel harflerle sayarak işlem kurallarını çıkarabiliriz.

Üç aşamanın her birinde ikiye ayrılan dallar 2×2×2=8 uç üretir. Üs, kaç kez çarpıldığını gösterir.

Aynı tabanda çarpanları say

$\displaystyle a^m a^n=a^{m+n}$ çünkü m tane a ile n tane a toplam m+n çarpandır. Bölmede ortak çarpanlar gider: $\displaystyle a^m/a^n=a^{m-n}$ ; burada $\displaystyle a\ne0$ . Bir kuvveti yeniden kuvvetlendirince $\displaystyle (a^m)^n=a^{mn}$ olur.

Aynı üs taşıyan çarpanlar birleştirilebilir: $\displaystyle a^n b^n=(ab)^n$ . Bu kurallar toplam için geçerli değildir: $\displaystyle 2^3+2^3=2\cdot2^3=2^4$ ; üsleri doğrudan toplayıp $\displaystyle 2^6$ yazamayız. İlk açıklamalar tam sayı üslerde çarpan saymaya dayanır; gerçek üslerde pozitif taban koşuluyla kullanılır.

Sıfır ve negatif üs neden böyle tanımlanır?

$\displaystyle a\ne0$ için $\displaystyle a^n/a^n=1$ olmalıdır. Üs çıkarma kuralını koruyunca $\displaystyle a^0=1$ elde edilir. Benzer biçimde $\displaystyle a^0/a^n=1/a^n$ olduğundan $\displaystyle a^{-n}=1/a^n$ tanımlanır. Negatif üs sayıyı negatif yapmaz; çarpma tersine geçer.

$\displaystyle (2/3)^{-2}=(3/2)^2=9/4$ . $\displaystyle 0^0$ bu ders kapsamında tanımlı bir gerçek sayı kuvveti olarak kullanılmaz; sıfırın negatif kuvveti de sıfıra bölme gerektirdiği için tanımsızdır. Sıfır tabanlı ifadeyi kurala körlemesine sokma.

Üs bir azalırken değer ikiye bölünür: 4, 2, 1, 1/2, 1/4. Sıfır ve negatif üsler aynı çarpım düzenini sürdürür.

Kesirli üs kökle bağlantı kurar

Pozitif a için $\displaystyle a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ ve $\displaystyle a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$ olur; n pozitif tam sayıdır. Örneğin $\displaystyle 16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=8$ . Pozitif taban şartı, kesirli üsleri farklı eşdeğer gösterimlerde tutarlı kullanmamızı sağlar.

$\displaystyle a>1$ ise üs arttıkça değer artar. $\displaystyle 0<a<1$ ise her yeni çarpan sayıyı küçülttüğünden yön tersidir: $\displaystyle (1/2)^2>(1/2)^3$ . Farklı tabanları karşılaştırırken hem tabanın hem üssün etkisini birlikte düşün.

Denklemde aynı tabanı oluştur

$\displaystyle 2^{x+1}=8$ denkleminde $\displaystyle 8=2^3$ yazıp $\displaystyle x+1=3$ buluruz. Pozitif ve 1’den farklı aynı tabanın kuvvetleri eşitse üsleri eşittir. Taban 1 olduğunda bu çıkarım yapılamaz; $\displaystyle 1^2=1^5$ olduğu hâlde üsler eşit değildir.

$\displaystyle 3^{x+1}+3^x=36$ için ortak çarpan $\displaystyle 3^x$ ’i ayırırız: $\displaystyle 3^x(3+1)=36$ , buradan $\displaystyle 3^x=9$ ve x=2. Üslü terimler toplanıyorsa önce çarpım yapısını ortaya çıkarmak, taban eşitlemeyi mümkün kılar.

Bilimsel gösterim basamak ölçeğidir

Pozitif bir sayı $\displaystyle a\cdot10^n$ , $\displaystyle 1\le a<10$ ve n tam sayı olacak biçimde yazılırsa bilimsel gösterimdedir. $\displaystyle 450000=4{,}5\cdot10^5$ ve $\displaystyle 0{,}00072=7{,}2\cdot10^{-4}$ . Virgülü taşırken katsayıyı küçültüyorsan 10 kuvvetiyle bunu telafi edersin.

Çarpmada katsayıları çarpıp 10’un üslerini toplarız; sonra katsayıyı tekrar 1 ile 10 arasına getiririz. Toplamada önce 10 kuvvetlerini eşitlemek gerekir. Çok büyük veya küçük bir sonucu, beklenen basamak sayısıyla kontrol etmek yararlıdır.

$\displaystyle a^m a^n=a^{m+n}$ , $\displaystyle (a^m)^n=a^{mn}$ ; $\displaystyle a\ne0$ için $\displaystyle a^0=1$ ve $\displaystyle a^{-n}=1/a^n$ . Toplamlar bu kurallara uymaz.

Dikkat: Negatif üs negatif sonuç demek değildir. Üs eşitlemeden önce ortak tabanın pozitif ve 1’den farklı olduğunu kontrol et.

Bu bölümün kazanımları

MEB 9.3.4.1Üslü ifadeleri içeren denklemleri çözer.
Üslü ifadelerin kurallarını açıklar; bilimsel gösterim ve ortak tabanla denklem çözümünü uygular.