Üsler, Kökler ve Özdeşlikler

$\displaystyle a^m a^n=a^{m+n}$ çünkü m tane a ile n tane a toplam m+n çarpandır. Bölmede ortak çarpanlar gider: $\displaystyle a^m/a^n=a^{m-n}$; burada $\displaystyle a\ne0$. Bir kuvveti yeniden kuvvetlendirince $\displaystyle (a^m)^n=a^{mn}$ olur.

Aynı üs taşıyan çarpanlar birleştirilebilir: $\displaystyle a^n b^n=(ab)^n$. Bu kurallar toplam için geçerli değildir: $\displaystyle 2^3+2^3=2\cdot2^3=2^4$; üsleri doğrudan toplayıp $\displaystyle 2^6$ yazamayız. İlk açıklamalar tam sayı üslerde çarpan saymaya dayanır; gerçek üslerde pozitif taban koşuluyla kullanılır.

Pozitif a için $\displaystyle a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ ve $\displaystyle a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$ olur; n pozitif tam sayıdır. Örneğin $\displaystyle 16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=8$. Pozitif taban şartı, kesirli üsleri farklı eşdeğer gösterimlerde tutarlı kullanmamızı sağlar.

$\displaystyle a>1$ ise üs arttıkça değer artar. $\displaystyle 0<a<1$ ise her yeni çarpan sayıyı küçülttüğünden yön tersidir: $\displaystyle (1/2)^2>(1/2)^3$. Farklı tabanları karşılaştırırken hem tabanın hem üssün etkisini birlikte düşün.

$\displaystyle 2^{x+1}=8$ denkleminde $\displaystyle 8=2^3$ yazıp $\displaystyle x+1=3$ buluruz. Pozitif ve 1’den farklı aynı tabanın kuvvetleri eşitse üsleri eşittir. Taban 1 olduğunda bu çıkarım yapılamaz; $\displaystyle 1^2=1^5$ olduğu hâlde üsler eşit değildir.

$\displaystyle 3^{x+1}+3^x=36$ için ortak çarpan $\displaystyle 3^x$’i ayırırız: $\displaystyle 3^x(3+1)=36$, buradan $\displaystyle 3^x=9$ ve x=2. Üslü terimler toplanıyorsa önce çarpım yapısını ortaya çıkarmak, taban eşitlemeyi mümkün kılar.

Pozitif bir sayı $\displaystyle a\cdot10^n$, $\displaystyle 1\le a<10$ ve n tam sayı olacak biçimde yazılırsa bilimsel gösterimdedir. $\displaystyle 450000=4{,}5\cdot10^5$ ve $\displaystyle 0{,}00072=7{,}2\cdot10^{-4}$. Virgülü taşırken katsayıyı küçültüyorsan 10 kuvvetiyle bunu telafi edersin.

Çarpmada katsayıları çarpıp 10’un üslerini toplarız; sonra katsayıyı tekrar 1 ile 10 arasına getiririz. Toplamada önce 10 kuvvetlerini eşitlemek gerekir. Çok büyük veya küçük bir sonucu, beklenen basamak sayısıyla kontrol etmek yararlıdır.

$\displaystyle \sqrt{a^2}=|a|$ olur çünkü karekök sonucu negatif olamaz. a’nın pozitif olduğu verilmedikçe doğrudan a yazamayız. $\displaystyle \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$ biçiminde tam kare çarpan kök dışına çıkarılır.

Çift dereceli kökün içine bir katsayı alırken katsayının işaretini korumak gerekir. $\displaystyle 3\sqrt2=\sqrt{18}$ fakat $\displaystyle -3\sqrt2=-\sqrt{18}$. Eksi işaretini kökün içine alıp kaybetmek ifadeyi pozitif yapar ve değeri değiştirir.

$\displaystyle a,b\ge0$ için $\displaystyle \sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$; ayrıca b>0 ise $\displaystyle \sqrt a/\sqrt b=\sqrt{a/b}$. Toplamda kök içleri ancak sadeleştikten sonra aynıysa katsayıları birleştirebiliriz: $\displaystyle \sqrt8+\sqrt{18}=2\sqrt2+3\sqrt2=5\sqrt2$.

$\displaystyle \sqrt{a+b}$ genellikle $\displaystyle \sqrt a+\sqrt b$ değildir. $\displaystyle \sqrt{9+16}=5$ iken $\displaystyle 3+4=7$’dir. Negatif kök içleriyle gerçek sayılarda çarpma kuralını kullanamayız; önce ifadelerin tek tek tanımlı olması gerekir.

$\displaystyle 1/\sqrt3$ ifadesini $\displaystyle \sqrt3/\sqrt3$ ile çarparsak $\displaystyle \sqrt3/3$ elde ederiz. Aslında 1 ile çarptığımız için değer korunur. Paydada köklü iki terim varsa eşlenik, toplam ile farkın çarpımını kullanır.

$\displaystyle 1/(\sqrt3+\sqrt2)$ için pay ve paydayı $\displaystyle \sqrt3-\sqrt2$ ile çarparız. Payda $\displaystyle 3-2=1$, sonuç $\displaystyle \sqrt3-\sqrt2$ olur. Eşleniğin amacı bir terimin işaretini değiştirerek iki kare farkı oluşturmaktır; başlangıç paydasının sıfır olmaması koşulu sürer.

$\displaystyle \sqrt{x+1}=x-1$ denkleminde kök içinden x≥−1, sağ tarafın negatif olmamasından x≥1 gerekir. Kare alınca $\displaystyle x+1=(x-1)^2$, yani $\displaystyle x(x-3)=0$ elde edilir. Adaylar 0 ve 3’tür; yalnızca 3 başlangıç denklemini sağlar.

Kare alma işlemi $\displaystyle u=v$ ile birlikte $\displaystyle u=-v$ olasılığını da aynı sonuca götürebildiği için fazladan aday çözüm üretebilir. Son denklemin çözümlerini özgün denklemde kontrol etmek zorunludur. Birden fazla kök varsa birini yalnız bırakıp bu işlemi aşamalı uygula.

Karekök negatif olmayan sayılarda sıralamayı korur. $\displaystyle 4<7<9$ olduğundan $\displaystyle 2<\sqrt7<3$. Daha hassas tahminde kareleri karşılaştırabiliriz: $\displaystyle 2{,}6^2=6{,}76$, $\displaystyle 2{,}7^2=7{,}29$, dolayısıyla $\displaystyle 2{,}6<\sqrt7<2{,}7$.

İki negatif olmayan köklü ifadeyi karelerini karşılaştırarak sıralamak mümkündür. İşaretler farklıysa kareye almak bilgiyi kaybettirir; önce pozitifin negatiften büyük olduğunu kullan. Tahmin, kesin işlem sonucunun mantıklı büyüklükte olup olmadığını denetler.

$\displaystyle 2(x+3)=2x+6$ bütün gerçek x değerlerinde doğru olduğu için özdeşliktir. $\displaystyle 2x+6=10$ ise yalnızca belirli x için doğrudur. Özdeşlikleri bir ifadenin biçimini değiştirirken, denklemleri bilinmeyenin değerini ararken kullanırız.

$\displaystyle a(b+c)=ab+ac$ soldan sağa açma, sağdan sola ortak çarpan parantezine almadır. $\displaystyle 6x^2+9x=3x(2x+3)$ yazarken 3x her iki terimde de bulunur. Çarpanlara ayırmanın ilk adımı genellikle bu ortak parçayı aramaktır.

$\displaystyle ax+ay+bx+by$ ifadesinde ilk iki ve son iki terimi grupla: $\displaystyle a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$. Bazen ortak çarpan bütün terimlerde görünmez; önce grupların içinden çıkar.

$\displaystyle x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$ olduğundan $\displaystyle x^2+5x+6$ için toplamı 5, çarpımı 6 olan 2 ve 3’ü ararız. Sonuç $\displaystyle (x+2)(x+3)$ olur. Baş katsayı 1 değilse çarpanların x katsayılarını da hesaba kat: $\displaystyle 2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)$. Açıp kontrol etmek en sağlam doğrulamadır.

$\displaystyle (x^2-9)/(x-3)$ ifadesinde önce $\displaystyle x\ne3$ koşulunu koyarız. Payı $\displaystyle (x-3)(x+3)$ yazıp ortak çarpanı sadeleştirince x+3 kalır; x≠3 koşulu hâlâ geçerlidir. Sadeleşmiş ifade başlangıçta tanımsız olan noktayı kendiliğinden tanımlamaz.

$\displaystyle (x+3)/x$ içinde x’leri silip 3 yazamayız; pay bir toplamdır. İstersen $\displaystyle 1+3/x$ olarak ayırabilirsin. Çarpanlara ayırma, hangi sadeleştirmenin gerçekten geçerli olduğunu görünür kılar.

Gerçek sayılarda bir çarpım sıfırsa en az bir çarpan sıfırdır. $\displaystyle (x-2)(x+5)=0$ için x=2 veya x=−5 bulunur. Çarpım 6 olsaydı çarpanlardan birini 6, diğerini 1 seçmek bütün olasılıkları temsil etmezdi.

$\displaystyle x(x-4)=0$ denkleminde x’e bölmek x=0 çözümünü kaybettirir. Çarpan biçimini koruyup her çarpanın sıfır olma durumunu incelemek bu kaybı önler. Bu bölümdeki özdeşlikler, TYT’de sayı işlemlerini ve denklem kurmayı destekleyen cebir araçlarıdır.