Oran ve Orantı · TYT Matematik

Oran, doğru ve ters orantı

Birlikte değişen iki niceliği izle.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 9.3.5.1Oran ve orantı kavramlarını kullanarak problemler çözer.
Oran ve orantıyı birimlerle yorumlar; doğru, ters ve bileşik orantıda sabit kalan ilişkiyi belirler.

Oran bir karşılaştırmadır

a’nın b’ye oranı, b≠0 olmak üzere $\displaystyle a/b$ ’dir. Aynı tür nicelikleri karşılaştırırken önce birimleri eşitle: 2 metre ile 50 santimetrenin oranı 2/50 değil 200/50=4’tür. Farklı tür niceliklerin oranı ise hız gibi birimli bir büyüklük verebilir.

Bir grupta kızların erkeklere oranı 2/3 ise kızların tüm gruba oranı 2/5’tir. Parça–parça oranını parça–bütün oranıyla karıştırma. Paydanın hangi topluluğu temsil ettiğini sözcüklerle söylemek bu ayrımı açık tutar.

A iki, B üç eş k payından oluşur. A/B=2/3 iken A’nın beş paylık bütündeki oranı 2/5’tir.

Orantıda ortak katsayı

$\displaystyle a/b=2/3$ ise b≠0 koşuluyla $\displaystyle a=2k$ , $\displaystyle b=3k$ yazabiliriz. Pozitif miktarlarda k da pozitiftir. Toplam $\displaystyle 5k$ , fark k olur. Birden fazla oranda ortak geçen niceliğin katsayısını eşitlemek gerekir: a:b=2:3 ve b:c=4:5 için a:b:c=8:12:15 olur.

$\displaystyle a/b=c/d$ orantısında b ve d sıfır değilse $\displaystyle ad=bc$ elde edilir. İçler–dışlar çarpımı, iki tarafı bd ile çarpmanın sonucudur. Bu eşitlik oranların pay ve paydalarını rastgele değiştirebileceğimiz anlamına gelmez.

Doğru orantıda bölüm sabittir

Bir ürünün birim fiyatı değişmiyorsa miktarı iki katına çıkarmak tutarı da iki katına çıkarır. $\displaystyle y=kx$ , yani $\displaystyle y/x=k$ ilişkisi doğru orantıdır; x=0 noktasında oran tanımsız olsa da model y=0 verir. Grafik orijinden geçen bir doğrudur.

Her birlikte artış doğru orantı değildir. Sabit açılış ücreti olan $\displaystyle y=20+5x$ tarifesinde x iki katına çıkınca y iki katına çıkmaz. Doğru orantı diyebilmek için bölümün sabit kalması gerekir; yalnız yönün aynı olması yetmez.

y=2x doğrusu orijinden geçer. x=1 için y=2, x=2 için y=4; girdi ve çıktı aynı katsayıyla büyür.

Ters orantıda çarpım sabittir

Sabit bir yolu sabit hızla giderken hız iki katına çıkarsa süre yarıya iner. Yol L ise $\displaystyle vt=L$ . Genel ters orantıda $\displaystyle xy=k$ veya $\displaystyle y=k/x$ olur; x sıfır olamaz. Pozitif niceliklerde biri artarken diğeri aynı katsayıyla azalır.

“Biri artarken diğeri azalıyor” bilgisi tek başına ters orantıyı kanıtlamaz. Toplamı 10 olan x ve y de ters yönde değişir, ama çarpımları sabit değildir. Modelin gerçekten sabit yol, sabit iş veya sabit toplam ürün gibi bir çarpım taşıyıp taşımadığına bak.

xy=6 eğrisinde (1,6) ve (3,2) aynı çarpımı verir. x üç katına çıkarken y üçte birine iner; grafik doğru değildir.

Bir toplamı oranla paylaştır

150 birimlik bir miktarı 2:3 oranında bölmek için $\displaystyle 2k+3k=150$ yazılır; k=30, parçalar 60 ve 90 olur. 2 ve 3 ile ters orantılı paylaşımda oran $\displaystyle 1/2:1/3=3:2$ olduğundan parçalar bu kez 90 ve 60’tır.

Oran paylarını doğrudan miktar sanma: 2 ve 3 yalnızca göreli büyüklükleri söyler. Tüm parçalar aynı k katsayısını taşır. Payları bulduktan sonra toplamın baştaki miktarı verdiğini kontrol et.

Bileşik orantıda her etkiyi ayrı izle

Özdeş makineler sabit verimle çalışıyorsa üretim, makine sayısı ve süre ile doğru orantılıdır: $\displaystyle U=kn t$ . Aynı üretim isteniyorsa $\displaystyle n t$ sabit kalır. Hem üretim hem makine sayısı değişirse süreyi iki etkiyle buluruz: $\displaystyle t_2/t_1=(U_2/U_1)(n_1/n_2)$ .

Bu model makinelerin aynı hızda olması, birlikte çalışmanın verimi değiştirmemesi gibi koşullara dayanır. Yeni niceliği eklerken önce onu sabit tutup diğer değişkenin etkisini düşün. Ezber bir çapraz çarpım şeması yerine değişmeyen ilişkiyi yaz.

Doğru orantı: $\displaystyle y/x=k$ . Ters orantı: $\displaystyle xy=k$ . Paylaştırmada önce ortak katsayıyı, uygulamada önce sabit kalan niceliği bul.

Dikkat: İki niceliğin birlikte artması doğru, ters yönde değişmesi ters orantı olduğunu tek başına göstermez. Bölümün ya da çarpımın sabitliği gerekir.