Oran ve Orantı Konu Anlatımı – TYT Matematik

Oran, doğru ve ters orantı

Boya karışımını çoğaltırken aynı tonu nasıl koruruz?

Ressamın boya tarifi

Bir ressam, hazırladığı her boya karışımında aynı tonu tutturmak istiyor. Tarifinde iki ölçü mavi boya, üç ölçü beyaz boya var. Bu karışımdan daha fazla hazırlamak için her renkten birer ölçü eklerse renk aynı kalır mı?

İlk karışımda mavi ile beyazın oranı ikiye üç. Her renge birer ölçü eklediğimizde üç ölçü mavi, dört ölçü beyaz elde ederiz. Miktarlar arasındaki fark hâlâ bir ölçü, fakat oran artık ikiye üç değil, üçe dörttür. Bu yüzden elde edilen renk değişir.

Aynı tonu korumak için miktarları aynı miktarda artırmak değil, aynı katsayıyla büyütmek gerekir. İki ölçü mavi ve üç ölçü beyazın iki katı; dört ölçü mavi ve altı ölçü beyazdır. Oran ve orantıyı, bir karışımı çoğaltırken dengenin nasıl korunacağını görerek öğreneceğiz.

Eş büyüklükteki ölçülerle ilk karışım 2 mavi ve 3 beyaz, birer ölçü eklenmiş karışım 3 mavi ve 4 beyazdır. 2/3 ile 3/4 farklı oranlardır; aynı tonu koruyan iki tarif ise 4 mavi ve 6 beyaz içerir.

Aynı tarif, iki miktarın da aynı katına çıkmasıdır

Çizimde ressamın ilk tarifinden iki tane hazırladık: 2+2=4 ölçü mavi, 3+3=6 ölçü beyaz boya. Mavi boyanın beyaz boyaya oranı hem 2/3 hem 4/6 için aynıdır. İki miktarın birbirine göre büyüklüğünü bölmeyle karşılaştırmaya oran, iki oranın eşitliğine orantı diyoruz.

Tarifi k kat büyütürsek miktarlar 2k ve 3k olur; toplam 5k’dır. Önce hangi miktarı hangisine böldüğümüzü ayıralım: mavi boyanın beyaz boyaya oranı 2/3, bütün karışıma oranı ise 2/5’tir. Aynı karışımda iki farklı sorunun iki farklı oranı vardır.

İki tam tarif 4 ölçü mavi ve 6 ölçü beyaz boya içerir. Mavi/beyaz=4/6=2/3, mavi/toplam=4/10=2/5 olur; her satır bir tam tariftir.

Oranın paydası hangi miktarı anlatıyor?

a’nın b’ye oranı, b≠0 olmak üzere a/b’dir. Tarifte a mavi boya, b beyaz boya miktarıydı. Bütüne göre pay isteseydik a/(a+b) yazardık. Bir grupta kızların erkeklere oranı 2/3 ise kızların bütün gruba oranının 2/5 olması da aynı parça–parça ve parça–bütün ayrımıdır.

Aynı tür niceliklerde birimleri de eşitlemeliyiz: 2 metre ile 50 santimetrenin oranı 2/50 değil 200/50=4’tür. Farklı tür nicelikleri bölersek hız gibi birimli bir büyüklük elde edebiliriz. Payı, paydayı ve birimi belirledikten sonra eşit oranları ortak katsayıyla yazmaya hazırız.

A iki, B üç eş k payından oluşur. A/B=2/3 iken A’nın beş paylık bütündeki oranı 2/5’tir.

Orantıda ortak katsayı

$\displaystyle a/b=2/3$ ise b≠0 koşuluyla $\displaystyle a=2k$ , $\displaystyle b=3k$ yazabiliriz. Pozitif miktarlarda k da pozitiftir. Toplam $\displaystyle 5k$ , fark k olur. Birden fazla oranda ortak geçen niceliğin katsayısını eşitlemek gerekir: a:b=2:3 ve b:c=4:5 için a:b:c=8:12:15 olur.

$\displaystyle a/b=c/d$ orantısında b ve d sıfır değilse $\displaystyle ad=bc$ elde edilir. İçler–dışlar çarpımı, iki tarafı bd ile çarpmanın sonucudur. Bu eşitlik oranların pay ve paydalarını rastgele değiştirebileceğimiz anlamına gelmez.

Doğru orantıda bölüm sabittir

Bir ürünün birim fiyatı değişmiyorsa miktarı iki katına çıkarmak tutarı da iki katına çıkarır. $\displaystyle y=kx$ , yani $\displaystyle y/x=k$ ilişkisi doğru orantıdır; x=0 noktasında oran tanımsız olsa da model y=0 verir. Grafik orijinden geçen bir doğrudur.

Her birlikte artış doğru orantı değildir. Sabit açılış ücreti olan $\displaystyle y=20+5x$ tarifesinde x iki katına çıkınca y iki katına çıkmaz. Doğru orantı diyebilmek için bölümün sabit kalması gerekir; yalnız yönün aynı olması yetmez.

y=2x doğrusu orijinden geçer. x=1 için y=2, x=2 için y=4; girdi ve çıktı aynı katsayıyla büyür.

Ters orantıda çarpım sabittir

Sabit bir yolu sabit hızla giderken hız iki katına çıkarsa süre yarıya iner. Yol L ise $\displaystyle vt=L$ . Genel ters orantıda $\displaystyle xy=k$ veya $\displaystyle y=k/x$ olur; x sıfır olamaz. Pozitif niceliklerde biri artarken diğeri aynı katsayıyla azalır.

“Biri artarken diğeri azalıyor” bilgisi tek başına ters orantıyı kanıtlamaz. Toplamı 10 olan x ve y de ters yönde değişir, ama çarpımları sabit değildir. Modelin gerçekten sabit yol, sabit iş veya sabit toplam ürün gibi bir çarpım taşıyıp taşımadığına bak.

xy = 6. x, 1'den 3'e artarken y, 6'dan 2'ye iner. Dikdörtgenin alanı sabittir; grafikteki hareketli nokta aynı çarpımı veren çiftleri izler.

Bir toplamı oranla paylaştır

150 birimlik bir miktarı 2:3 oranında bölmek için $\displaystyle 2k+3k=150$ yazılır; k=30, parçalar 60 ve 90 olur. 2 ve 3 ile ters orantılı paylaşımda oran $\displaystyle 1/2:1/3=3:2$ olduğundan parçalar bu kez 90 ve 60’tır.

Oran paylarını doğrudan miktar sanma: 2 ve 3 yalnızca göreli büyüklükleri söyler. Tüm parçalar aynı k katsayısını taşır. Payları bulduktan sonra toplamın baştaki miktarı verdiğini kontrol et.

Bileşik orantıda her etkiyi ayrı izle

Özdeş makineler sabit verimle çalışıyorsa üretim, makine sayısı ve süre ile doğru orantılıdır: $\displaystyle U=kn t$ . Aynı üretim isteniyorsa $\displaystyle n t$ sabit kalır. Hem üretim hem makine sayısı değişirse süreyi iki etkiyle buluruz: $\displaystyle t_2/t_1=(U_2/U_1)(n_1/n_2)$ .

Bu model makinelerin aynı hızda olması, birlikte çalışmanın verimi değiştirmemesi gibi koşullara dayanır. Yeni niceliği eklerken önce onu sabit tutup diğer değişkenin etkisini düşün. Ezber bir çapraz çarpım şeması yerine değişmeyen ilişkiyi yaz.

Altın oran

Bir doğru parçasını, bütünün büyük parçaya oranı büyük parçanın küçük parçaya oranına eşit olacak biçimde ikiye ayırırsak bu ortak oran yaklaşık 1,618 olur. Bu orana altın oran denir ve φ (fi) harfiyle gösterilir. Program altın oranın hesaplama yöntemlerine girmeden tanıtılmasını ister.

Altın orana yakın oranlar doğada ve sanatta sık görülür: ayçiçeği tohumlarının ve çam kozalağı pullarının sarmal dizilişleri, bazı deniz kabuklarının büyüme biçimi ve mimaride dengeli görünen cephe oranları bunlara örnektir. Kenar uzunluklarının oranı yaklaşık 1,618 olan dikdörtgene altın dikdörtgen denir; banka kartı gibi bazı günlük nesnelerin kenar oranları da bu değere yakındır.

Bu örneklerin çoğu yaklaşık değerlerdir. Her güzel görünen biçimin altın orana dayandığı iddiası doğru değildir; oranı ölçerek kontrol etmek gerekir.

Doğru orantı: $\displaystyle y/x=k$ . Ters orantı: $\displaystyle xy=k$ . Paylaştırmada önce ortak katsayıyı, uygulamada önce sabit kalan niceliği bul.

Dikkat: İki niceliğin birlikte artması doğru, ters yönde değişmesi ters orantı olduğunu tek başına göstermez. Bölümün ya da çarpımın sabitliği gerekir.

Bu bölümün kazanımları

MEB 9.3.5.1Oran ve orantı kavramlarını kullanarak problemler çözer.
Oran ve orantıyı birimlerle yorumlar; doğru, ters ve bileşik orantıda sabit kalan ilişkiyi belirler.