Fonksiyonlar · TYT Matematik

Tanım, değer ve görüntü kümesi

Her girdinin tam bir çıktısı olmalı.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.2.1.1Fonksiyonlarla ilgili problemler çözer.
Fonksiyon koşulunu kontrol eder; tanım, değer ve görüntü kümelerini ayırarak fonksiyon değerini hesaplar.

Bir eşleme ne zaman fonksiyondur?

$\displaystyle f:A\to B$ , A’daki her elemanı B’de tam bir elemana eşleyen kuraldır. A’da eşlenmemiş eleman kalamaz; aynı girdiden iki farklı çıktı çıkamaz. Farklı girdilerin aynı çıktıya gitmesi ise mümkündür.

A={1,2,3}, B={a,b,c} için 1→a, 2→b, 3→b bir fonksiyondur. B’deki c’ye ok gelmemesi fonksiyon olmayı bozmaz. Fonksiyon denetimini okların başladığı A kümesinden yaparız.

A’daki 1, 2 ve 3’ün her birinden tek ok çıkar. 2 ve 3 aynı b’ye gider; B’deki c kullanılmaz.

Üç kümenin görevleri

A tanım kümesi, B değer kümesi, gerçekten ulaşılan çıktılar $\displaystyle f(A)$ ise görüntü kümesidir. Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir; ona eşit olmak zorunda değildir. Örnekte $\displaystyle f(A)=\{a,b\}$ , B ise {a,b,c}’dir.

Bir formül tek başına bütün fonksiyonu anlatmayabilir; tanım ve değer kümeleri de belirlenmelidir. $\displaystyle f(x)=x^2$ için tanım kümesi gerçek sayılarsa görüntü negatif olmayan gerçeklerdir. Tanım yalnız {−2,1} ise görüntü {4,1} olur.

Fonksiyon değeri yerine koymadır

$\displaystyle f(x)=2x+3$ ise $\displaystyle f(4)=2\cdot4+3=11$ . $\displaystyle f(a+1)$ için x’in bulunduğu her yere a+1 gelir: $\displaystyle 2(a+1)+3=2a+5$ . f(x), f ile x’in çarpımı değildir; x girdisinin çıktısını adlandırır.

$\displaystyle f(x+2)=3x-1$ verilmişse f(5) için x+2=5, yani x=3 seçilir; f(5)=8. Fonksiyonun içindeki girdiyi doğrudan hedef değere eşitlemek, formülün hangi değişkeni kullandığını karıştırmayı önler.

f(x)=2x+3 işlem akışına 4 girer; önce ikiyle çarpılıp 8, ardından 3 eklenip 11 elde edilir. Aynı girdi tek çıktı üretir.

Tanım kısıtları işlemlerden doğar

Gerçek sayılarda $\displaystyle f(x)=1/(x-2)$ için x=2 tanımda olamaz. $\displaystyle g(x)=\sqrt{x+1}$ için x≥−1 gerekir. $\displaystyle h(x)=\sqrt{x+1}/(x-2)$ için iki koşul birlikte uygulanır: $\displaystyle [-1,\infty)\setminus\{2\}$ .

Soru ayrıca bir tanım kümesi verirse bunun izin verdiği değerlerle formülün koşullarını birlikte düşünürüz. Formülde sadeleşen bir payda, başlangıçta dışlanan girdiyi otomatik geri getirmez. f(a) sorulmadan önce a’nın tanım kümesinde olduğundan emin ol.

Tanıdık fonksiyon türleri

$\displaystyle f(x)=c$ sabit fonksiyonda bütün girdiler aynı c’ye gider; tanım kümesi boş değilse görüntü tek elemanlıdır. $\displaystyle f(x)=x$ birim fonksiyonda her girdi kendisine eşlenir. $\displaystyle f(x)=ax+b$ doğrusal kuralları günlük miktar değişimlerini modellemek için kullanırız.

Farklı girdiler farklı çıktılara gidiyorsa bire bir, görüntü değer kümesine eşitse örten denir. Bunlar fonksiyon olmak için zorunlu değildir. Bu kavramların ayrıntılı işlemleri AYT kapsamına uzanır; burada temel eşleme koşulundan farklı olduklarını bilmek yeterlidir.

Parçalı kuralda önce girdinin yerini seç

Bir fonksiyon x<0 için −x, x≥0 için x kuralını kullanıyorsa bu $\displaystyle |x|$ fonksiyonudur. f(−3) hesaplanırken negatifler için olan satır seçilir ve sonuç 3 olur. Sınır x=0, ikinci satırda bulunduğu için f(0)=0’dır.

Parçaların tanım bölgeleri girdiyi boşta bırakmamalı, aynı girdiye farklı sonuçlar da vermemelidir. İki formülü aynı x için rastgele kullanmak parçalı fonksiyonun anlamını bozar. Bir fonksiyonun sıfırı ise tanım kümesindeki f(x)=0 yapan girdidir; f(0) ile aynı kavram değildir.

Fonksiyon: her girdiye tam bir çıktı. Tanım A, değer B, görüntü $\displaystyle f(A)\subseteq B$ ’dir. Değer hesaplarken girdiyi ve tanım koşulunu birlikte izle.

Dikkat: Değer kümesinde kullanılmayan eleman bulunabilir. Farklı girdilerin aynı çıktıya gitmesi fonksiyon koşulunu bozmaz.

Fonksiyon grafikleri ve uygulamalar

Bir nokta, bir girdi–çıktı çiftidir.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.2.1.2Fonksiyonların grafiklerini çizer.
MEB 10.2.1.3Fonksiyonların grafiklerini yorumlar.
MEB 10.2.1.4Gerçek hayat durumlarından doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilenlerin grafik gösterimlerini yapar.
Grafikten tanım, görüntü, kök ve değişim aralıklarını okur; doğrusal modeli tablo ve grafiğe dönüştürür.

Grafikte yatay girdi, düşey çıktı

f fonksiyonunun grafiği $\displaystyle (x,f(x))$ noktalarından oluşur. f(2)=5 ise grafikte (2,5) noktası vardır. Bir x değerinin çıktısını okumak için x’ten dikey olarak grafiğe, oradan yatay olarak y eksenine gideriz.

Her dikey doğru grafiği en fazla bir noktada kesmelidir; iki farklı noktada keserse aynı girdinin iki çıktısı olur. Ayrıca verilen tanım kümesindeki her girdinin grafikte bir noktası bulunmalıdır. Çemberin tamamı bu dikey doğru koşulunu sağlamaz.

Dikey kesen çemberi iki noktada keser. Aynı x için iki farklı y oluştuğu için çemberin tamamı tek değerli bir y=f(x) grafiği değildir.

Doğrusal grafiği iki nokta ve eğimle kur

$\displaystyle f(x)=2x+1$ için x=0’da y=1, x=2’de y=5 elde ederiz. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi $\displaystyle (5-1)/(2-0)=2$ ’dir: girdi 1 arttıkça çıktı 2 artar. Genel $\displaystyle f(x)=ax+b$ kuralında a değişim oranı, b başlangıç çıktısıdır.

Doğrunun çizilen küçük parçası tüm grafiği temsil edebilir; fakat tanım kümesi sınırlıysa yalnız o aralıktaki parça alınır. Açık veya kapalı uçlar, sınır girdisinin tanımda olup olmadığını gösterir.

f(x)=2x+1 doğrusu (0,1) ve (2,5) noktalarından geçer. Yatay 2 birim artışa düşey 4 birim artış karşılık gelir.

Kökler ve eksen kesişimleri

Grafiğin x eksenini kestiği noktalarda y=0, yani f(x)=0’dır. Bunların x değerleri fonksiyonun kökleridir. y eksenindeki kesişim, 0 tanım kümesindeyse (0,f(0))’dır.

$\displaystyle f(x)=2x+1$ için kök x=−1/2, y ekseni kesişimi (0,1)’dir. f(x)>0 istenirse grafiğin x ekseninin üstünde olduğu girdileri, f(x)<0 istenirse altında olduğu girdileri seçeriz. Eksenin üzerindeki noktalar katı eşitsizlikte dahil değildir.

Tanım ve görüntüyü izdüşümle oku

Grafiği x eksenine düşürdüğünde görülen girdiler tanım kümesini, y eksenine düşürdüğünde görülen çıktılar görüntü kümesini verir. Bir uçta boş nokta varsa o nokta alınmaz; ancak aynı y değerini grafiğin başka bir yerinde dolu nokta veriyorsa o çıktı görüntüde yine vardır.

Görüntü kümesini yalnız iki uç noktanın yüksekliğinden çıkarmak her grafikte doğru değildir; arada daha yüksek veya daha düşük noktalar bulunabilir. f(x)=k denkleminin çözüm sayısı, y=k yatay doğrusuyla kesişim sayısıdır.

Örnek parçalı grafiğin x eksenine izdüşümü [−1,3], y eksenine izdüşümü [0,4] aralıklarıdır. Grafiğin ulaştığı tüm girdiler ve çıktılar birlikte taranır.

Artma ve azalma yüksek olmakla aynı değildir

x soldan sağa artarken çıktılar da artıyorsa fonksiyon o aralıkta artan, azalıyorsa azalandır. Grafiğin x ekseninin üstünde olması pozitif olmasıdır; azalan bir grafik yine pozitif kalabilir. Sabit parçada farklı girdilerin çıktıları eşittir.

İki fonksiyonun f(x)>g(x) koşulu için aynı x’te hangi grafiğin daha yukarıda olduğuna bakılır. Kesişimlerde çıktılar eşittir. Karşılaştırmayı farklı x değerlerindeki iki noktayı seçerek yapamayız.

Gerçek hayat modelinde bölgeyi sınırla

Sabit ücret 20, birim kullanım ücreti 5 ise toplam $\displaystyle f(x)=20+5x$ ’tir. Kullanım negatif olamayacağından gerçek modelde x≥0 gerekir. Kullanım adet cinsinden bölünemiyorsa x yalnız tam sayıları alır; çizimde her ara değer gerçek bir durumu temsil etmez.

Bir depodaki miktar $\displaystyle f(t)=100-4t$ ile azalıyorsa bu model 0≤t≤25 aralığında fiziksel anlam taşır. 25’ten sonra negatif stok yorumlanamaz. Formülün matematiksel olarak devam etmesi, olayın aynı şekilde devam ettiğini göstermez.

Grafikte her nokta $\displaystyle (x,f(x))$ ’tir. Kökler x ekseninde, f(0) y ekseninde okunur; doğrusal modelde eğim birim girdideki çıktı değişimidir.

Dikkat: Grafiğin yukarıda olması artan olduğunu göstermez. f(0) bir çıktı, f(x)=0 denkleminin çözümleri ise girdilerdir.