Fonksiyonlar Konu Anlatımı – TYT Matematik

Tanım, değer ve görüntü kümesi

Bir kuralı güvenilir yapan şey, her girdiye belirli bir çıktı vermesidir.

Öğrenci numarasından sınav puanına

Bir sınavın sonuç ekranını düşün. Öğrenci numaranı giriyorsun ve sistem sana bir puan gösteriyor. Aynı numarayı tekrar girdiğinde bu kez başka bir puan çıkarsa sisteme güvenebilir misin? Buna karşılık iki farklı öğrenci aynı puanı alırsa bu sistemin bozuk olduğu anlamına gelir mi?

Hayır. Aynı girdinin, yani aynı öğrenci numarasının, her seferinde tek bir çıktısı olmalıdır. Fakat farklı girdiler aynı çıktıya gidebilir; iki farklı öğrenci de aynı puanı alabilir. Fonksiyonu belirleyen şey bütün çıktıların farklı olması değil, her girdinin tam olarak bir çıktısının bulunmasıdır.

Şimdi bu ilişkiyi bir sayı makinesine taşıyalım. Makinenin kuralı “sayıyı ikiyle çarp, bir ekle” olsun. İki girince beş, üç girince yedi, dört girince dokuz çıkar. Aynı üçü tekrar verdiğimizde yine yedi çıkmasını bekleriz; sekiz çıkarsa artık aynı kurala sahip bir makineden söz edemeyiz.

Aynı sınavda her öğrenci numarası tek puana bağlanır; farklı numaralar aynı puanı alabilir. Sayı makinesinde ikiyle çarpıp bir ekleme kuralı 2→5, 3→7, 4→9 eşlemelerini verir. Öğrenci numarası ve puan etiketleri şematiktir; gerçek kayıt değildir.

Her girdiye tam olarak bir çıktı

Sonuç ekranında o sınava kayıtlı öğrenci numaralarını ele alalım. Bir numaraya hiç puan atanmazsa eşleme eksik kalır. Aynı numaraya iki farklı puan atanırsa çıktı tek olmaz. Fonksiyonda her girdinin bir çıktısı bulunmalı ve bu çıktı tek olmalıdır. Farklı numaraların aynı puana bağlanması bu koşulu bozmaz.

Sayı makinesinin kuralına f adını verip f(x)=2x+1 yazarız. f(3)=7, üçün bu kuralla eşlendiği çıktının yedi olduğunu belirtir. Şimdi izin verilen girdileri, çıktıların bulunacağı kümeyi ve gerçekten ulaşılan çıktıları ayrı ayrı adlandıracağız.

Solda aynı öğrenci numarasına iki farklı puan atanması, sağda bir öğrenci numarasına hiç puan atanmaması gösterilir. İki eşleme de her girdiye tam olarak bir çıktı koşulunu sağlamaz.

Sayı makinesinden genel eşlemeye

$\displaystyle f:A\to B$ , A’daki her elemanı B’de tam bir elemana eşleyen kuraldır. A, izin verilen girdileri; B, çıktıların içinde bulunacağı kümeyi belirtir. Bu kural mutlaka cebirsel bir formül olmak zorunda değildir. A={1,2,3}, B={a,b,c} için 1→a, 2→b, 3→b okları da bir fonksiyon tanımlar.

Çizimde A’dan çıkan her oku denetleyelim: hiçbir girdi açıkta değil, hiçbirinden iki farklı ok çıkmıyor. 2 ile 3’ün aynı b’ye gitmesi ve c’ye hiç ok gelmemesi bunu bozmaz. Şimdi A, B ve gerçekten ulaşılan {a,b} kümesini ayrı ayrı adlandırarak fonksiyonun üç kümesini tanıyacağız.

A’daki 1, 2 ve 3’ün her birinden tek ok çıkar. 2 ve 3 aynı b’ye gider; B’deki c kullanılmaz.

Üç kümenin görevleri

A tanım kümesi, B değer kümesi, gerçekten ulaşılan çıktılar $\displaystyle f(A)$ ise görüntü kümesidir. Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir; ona eşit olmak zorunda değildir. Örnekte $\displaystyle f(A)=\{a,b\}$ , B ise {a,b,c}’dir.

Bir formül tek başına bütün fonksiyonu anlatmayabilir; tanım ve değer kümeleri de belirlenmelidir. $\displaystyle f(x)=x^2$ için tanım kümesi gerçek sayılarsa görüntü negatif olmayan gerçeklerdir. Tanım yalnız {−2,1} ise görüntü {4,1} olur.

Fonksiyon değeri yerine koymadır

$\displaystyle f(x)=2x+3$ ise $\displaystyle f(4)=2\cdot4+3=11$ . $\displaystyle f(a+1)$ için x’in bulunduğu her yere a+1 gelir: $\displaystyle 2(a+1)+3=2a+5$ . f(x), f ile x’in çarpımı değildir; x girdisinin çıktısını adlandırır.

$\displaystyle f(x+2)=3x-1$ verilmişse f(5) için x+2=5, yani x=3 seçilir; f(5)=8. Fonksiyonun içindeki girdiyi doğrudan hedef değere eşitlemek, formülün hangi değişkeni kullandığını karıştırmayı önler.

f(x)=2x+3 işlem akışına 4 girer; önce ikiyle çarpılıp 8, ardından 3 eklenip 11 elde edilir. Aynı girdi tek çıktı üretir.

Tanım kısıtları işlemlerden doğar

Gerçek sayılarda $\displaystyle f(x)=1/(x-2)$ için x=2 tanımda olamaz. $\displaystyle g(x)=\sqrt{x+1}$ için x≥−1 gerekir. $\displaystyle h(x)=\sqrt{x+1}/(x-2)$ için iki koşul birlikte uygulanır: $\displaystyle [-1,\infty)\setminus\{2\}$ .

Soru ayrıca bir tanım kümesi verirse bunun izin verdiği değerlerle formülün koşullarını birlikte düşünürüz. Formülde sadeleşen bir payda, başlangıçta dışlanan girdiyi otomatik geri getirmez. f(a) sorulmadan önce a’nın tanım kümesinde olduğundan emin ol.

Tanıdık fonksiyon türleri

$\displaystyle f(x)=c$ sabit fonksiyonda bütün girdiler aynı c’ye gider; tanım kümesi boş değilse görüntü tek elemanlıdır. $\displaystyle f(x)=x$ birim fonksiyonda her girdi kendisine eşlenir. $\displaystyle f(x)=ax+b$ doğrusal kuralları günlük miktar değişimlerini modellemek için kullanırız.

Farklı girdiler farklı çıktılara gidiyorsa bire bir, görüntü değer kümesine eşitse örten denir. Bunlar fonksiyon olmak için zorunlu değildir. Bu kavramların ayrıntılı işlemleri AYT kapsamına uzanır; burada temel eşleme koşulundan farklı olduklarını bilmek yeterlidir.

Parçalı kuralda önce girdinin yerini seç

Bir fonksiyon x<0 için −x, x≥0 için x kuralını kullanıyorsa bu $\displaystyle |x|$ fonksiyonudur. f(−3) hesaplanırken negatifler için olan satır seçilir ve sonuç 3 olur. Sınır x=0, ikinci satırda bulunduğu için f(0)=0’dır.

Parçaların tanım bölgeleri girdiyi boşta bırakmamalı, aynı girdiye farklı sonuçlar da vermemelidir. İki formülü aynı x için rastgele kullanmak parçalı fonksiyonun anlamını bozar. Bir fonksiyonun sıfırı ise tanım kümesindeki f(x)=0 yapan girdidir; f(0) ile aynı kavram değildir.

Tek, çift ve eşit fonksiyonlar; fonksiyonlarla işlemler

Her x için $\displaystyle f(-x)=f(x)$ ise f çift fonksiyondur; grafiği y eksenine göre simetriktir: $\displaystyle f(x)=x^2$ gibi. Her x için $\displaystyle f(-x)=-f(x)$ ise f tek fonksiyondur; grafiği orijine göre simetriktir: $\displaystyle f(x)=x^3$ veya $\displaystyle f(x)=2x$ gibi. $\displaystyle f(x)=x+1$ ne tek ne çifttir: $\displaystyle f(-1)=0$ , $\displaystyle f(1)=2$ .

Tanım kümeleri aynı olan ve her girdide aynı çıktıyı veren iki fonksiyon eşittir. $\displaystyle f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ ile $\displaystyle g(x)=x+1$ eşit değildir; çünkü 1 sayısı f’nin tanım kümesinde yoktur. Görüntü kümesi değer kümesine eşit değilse fonksiyon içine fonksiyondur.

İşlemler: Ortak tanım kümesinde $\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)$ , $\displaystyle (f-g)(x)=f(x)-g(x)$ , $\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$ ve $\displaystyle g(x)\ne0$ olan yerlerde $\displaystyle (f/g)(x)=f(x)/g(x)$ tanımlanır. $\displaystyle f(x)=2x+1$ ve $\displaystyle g(x)=x-3$ için $\displaystyle (f+g)(2)=5+(-1)=4$ , $\displaystyle (f\cdot g)(2)=-5$ ’tir; $\displaystyle f/g$ ise x = 3’te tanımsızdır.

Gerçek hayat: Bir telefon tarifesinde aylık sabit ücret 120 TL ve her ek GB 15 TL ise ödeme $\displaystyle f(x)=120+15x$ ’tir. Tablo hâlinde (0, 120), (2, 150), (4, 180) değerleri, grafikte ise eğimi 15 olan bir doğru elde edilir.

Fonksiyon: her girdiye tam bir çıktı. Tanım A, değer B, görüntü $\displaystyle f(A)\subseteq B$ ’dir. Değer hesaplarken girdiyi ve tanım koşulunu birlikte izle.

Dikkat: Değer kümesinde kullanılmayan eleman bulunabilir. Farklı girdilerin aynı çıktıya gitmesi fonksiyon koşulunu bozmaz.

Bu bölümün kazanımları

MEB 10.2.1.1Fonksiyonlarla ilgili problemler çözer.
Fonksiyon koşulunu kontrol eder; tanım, değer ve görüntü kümelerini ayırarak fonksiyon değerini hesaplar.