Olasılık Konu Anlatımı – TYT Matematik

Deney, örnek uzay ve olay

Durumları saymadan önce, aynı şansa sahip olup olmadıklarını sorgulayalım.

İki paranın olası sonuçları

İki adil parayı aynı anda atalım. “Bir yazı, bir tura” sonucu mu daha olasıdır, yoksa “iki yazı” sonucu mu? İkisi de tek bir durum gibi görünebilir. Fakat paraları birinci ve ikinci diye ayırdığımızda farklı sonuçların ortaya çıktığını görürüz.

Bir yazı bir tura iki farklı yoldan gelebilir: önce yazı sonra tura ya da önce tura sonra yazı. İki yazı ise yalnızca tek yoldan oluşur. İki tura da dördüncü sonucu oluşturur.

Bu nedenle dört eş şanslı sonuçtan ikisi karışık, biri iki yazı, biri de iki turadır. Olasılıkta olayların adını değil, o olayları oluşturan eş şanslı sonuçları sayarız.

Bağımsız iki adil paranın dört eş olasılıklı çıktısı YY, YT, TY, TT’dir. YT ve TY ayrı çıktılardır; ikisi de bir yazı bir tura olayına aittir.

Bir olay, birden fazla sonucu içinde taşıyabilir

Dört küçük kutu ayrı çıktıları, onları topladığımız üç başlık ise olayları gösteriyor. Bir yazı bir tura olayı iki kutu içerirken, iki yazı ve iki tura olayları birer kutu içerir. Olasılık, yalnız olayların kaç farklı ad taşıdığına bakmaz; bu olayların gerçekleşme payını ölçer.

Bütün mümkün çıktılara örnek uzay diyeceğiz. Sonlu ve eş olasılıklı çıktılarda bir olayın olasılığı, içerdiği çıktı sayısının toplam çıktı sayısına oranıdır. Önce deneyi ve çıktıları açıkça tanımlayacağız; sonra kesin, imkânsız ve ayrık olayları ayırıp sayma yöntemleriyle olasılık hesaplayacağız.

Dört eş payın biri YY, ikisi YT veya TY, biri TT’dir. Üç olayın olasılıkları sırasıyla 1/4, 1/2, 1/4 olur ve toplamları 1’dir.

Neyi kaydettiğimiz, örnek uzayı belirler

Para örneğinde iki paranın ayrı ayrı yüzlerini kaydettik: $\displaystyle \Omega=\{YY,YT,TY,TT\}$ . “Bir yazı bir tura” olayı $\displaystyle A=\{YT,TY\}$ , bu örnek uzayın bir alt kümesidir. Sonucu önceden kesin bilinmeyen bu süreci bir olasılık deneyi olarak ele alırız.

Bir zar atışında ise $\displaystyle \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ olur. “Çift sayı gelmesi” olayı {2,4,6}’dır; tek bir çıktı değildir. İki zarın ayrı yüzlerini kaydetmekle yalnız toplamını kaydetmek de farklı gösterimler verir. Birazdan neden eş olasılıklı temel çıktıları ayırt etmek zorunda olduğumuzu zarlar üzerinde yeniden göreceğiz; önce gerçekleşebilecek ve gerçekleşemeyecek olayları tanıyalım.

Kesin ve imkânsız olay

Zarda 1 ile 6 arasında sayı gelmesi bütün örnek uzaydır ve kesin olaydır. 8 gelmesi boş olaydır ve imkânsızdır. Olasılık 0 ile 1 arasında bir değerdir; kesin olayın olasılığı 1, imkânsız olayınki 0’dır.

Olayın tümleyeni $\displaystyle A'=\Omega\setminus A$ , A’nın gerçekleşmemesidir. Çift gelmenin tümleyeni tek gelmektir. Bir deneyde A ile A′ hem tüm olasılıkları kapsar hem aynı anda gerçekleşemez.

Ayrık olay aynı anda gerçekleşemez

A∩B boşsa A ve B ayrıktır. Tek zar atışında tek gelme ile çift gelme ayrıktır. Çift gelme ile 3’ten büyük gelme ise ayrık değildir; 4 ve 6 ortaktır.

Ayrıklık, olayların birbirleriyle ortak çıktı paylaşmamasıdır. Daha sonra kullanılan bağımsızlık kavramıyla aynı değildir. “Ayrı isimleri olan iki olay” olmak, ayrık olmalarını garanti etmez; elemanlarını veya koşullarını karşılaştır.

İki zar neden 36 temel çıktı verir?

İki ayırt edilebilir zarın sonuçlarını sıralı ikili olarak yazarız: (1,1), (1,2), …, (6,6). İlk zarın 6 sonucu, her biri için ikinci zarın 6 sonucu olduğundan 36 temel çıktı vardır. (2,5) ile (5,2) farklı çıktılardır.

Toplamları 2’den 12’ye kadar 11 farklı sayı olabilir; fakat bu toplamlar aynı sayıda temel çıktı taşımaz. Toplam 2 yalnız (1,1), toplam 7 altı farklı ikiliyle gelir. Toplam kümesindeki 11 elemanı eşit olasılıklı saymak bu yüzden yanlıştır.

Altı satır ve altı sütun iki zarın 36 eş olasılıklı çıktısını gösterir. Toplamı 7 yapan altı hücre boyalıdır; toplam değerleri eş olasılıklı değildir.

Eş olasılıklılık bir koşuldur

Adil bir zarın altı yüzünü eş olasılıklı kabul edebiliriz. Hileli zarda aynı kabul geçmez. Bir torbadan aynı fiziksel özellikteki topların rastgele seçilmesinde her tek top eş olasılıklı olabilir; renkler ise top adetleri farklıysa eş olasılıklı değildir.

Üç kırmızı, bir mavi top bulunan torbada iki renk vardır diye her renge 1/2 olasılık veremeyiz. Modelin temel elemanları dört toptur. “İstenen/tüm” oranını kullanmadan önce temel çıktıların eş olasılıklı olduğunu doğrula.

El Kindî, Laplace ve olasılığın gelişimi

El Kindî (yaklaşık 801–873) Bağdat’ta çalışan çok yönlü bir bilgindir. Şifreli mesajları çözmeye dair eserinde, bir dildeki harflerin kullanılma sıklıklarını sayıp bunları şifreli metindeki sembollerin sıklıklarıyla karşılaştırma yöntemini anlattı. Bu frekans analizi, olasılık ve istatistik düşüncesinin bilinen en eski uygulamalarındandır.

Olasılık, 17. yüzyılda Pascal ile Fermat’nın şans oyunları üzerine yazışmalarıyla matematiksel bir kurama dönüşmeye başladı. Pierre-Simon Laplace (1749–1827), 1812’de yayımladığı eserinde olasılığı sistemli bir kuram hâline getirdi ve astronomi ile nüfus istatistiklerine uyguladı. Eş olasılıklı çıktılar için kullandığımız “istenen durum sayısı / tüm durumların sayısı” tanımı klasik olasılık ya da Laplace tanımı olarak anılır.

Örnek: Bir zar atıldığında asal sayı gelmesi olayı {2, 3, 5}’tir. Örnek uzay 6 eş olasılıklı çıktı içerdiğinden olasılık $\displaystyle \frac36=\frac12$ ’dir. Hileli bir zarda 6 gelme olasılığı $\displaystyle \frac13$ ise diğer yüzler eş olasılıklı olamaz; çıktılar eş olasılıklı değilse olasılıklar ayrı ayrı verilmelidir.

Olay örnek uzayın alt kümesidir. Ayrık olayların kesişimi boş; tümleyen olay gerçekleşmeme durumudur. Eş olasılıklı çıktı ile farklı sonuç adı aynı şey değildir.

Dikkat: İki zarın 11 farklı toplamı eş olasılıklı değildir. Örnek uzayı hangi temel çıktılarla kurduğun hesaplamayı belirler.

Bu bölümün kazanımları

MEB 10.1.2.1Örnek uzay, deney, çıktı, bir olayın tümleyeni, kesin olay, imkânsız olay, ayrık olay ve ayrık olmayan olay kavramlarını açıklar.
Olasılık deneyinin çıktılarını ve olaylarını tanımlar; kesin, imkânsız, tümleyen ve ayrık olayları ayırır.