Olasılık

Sonucu önceden kesin bilinmeyen bir süreci olasılık deneyi olarak ele alırız. Bir zar atışındaki çıktı 4 olabilir; bütün olası çıktılar $\displaystyle \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ örnek uzayını oluşturur.

“Çift sayı gelmesi” tek bir çıktı değil, $\displaystyle A=\{2,4,6\}$ olayıdır. Olay, örnek uzayın bir alt kümesidir. Deneyin neyi kaydettiğini doğru tanımlamak gerekir: iki zarın üst yüzleri ile üst yüzlerin toplamı farklı örnek uzay gösterimleri oluşturur.

Zarda 1 ile 6 arasında sayı gelmesi bütün örnek uzaydır ve kesin olaydır. 8 gelmesi boş olaydır ve imkânsızdır. Olasılık 0 ile 1 arasında bir değerdir; kesin olayın olasılığı 1, imkânsız olayınki 0’dır.

Olayın tümleyeni $\displaystyle A'=\Omega\setminus A$, A’nın gerçekleşmemesidir. Çift gelmenin tümleyeni tek gelmektir. Bir deneyde A ile A′ hem tüm olasılıkları kapsar hem aynı anda gerçekleşemez.

A∩B boşsa A ve B ayrıktır. Tek zar atışında tek gelme ile çift gelme ayrıktır. Çift gelme ile 3’ten büyük gelme ise ayrık değildir; 4 ve 6 ortaktır.

Ayrıklık, olayların birbirleriyle ortak çıktı paylaşmamasıdır. Daha sonra kullanılan bağımsızlık kavramıyla aynı değildir. “Ayrı isimleri olan iki olay” olmak, ayrık olmalarını garanti etmez; elemanlarını veya koşullarını karşılaştır.

Adil bir zarın altı yüzünü eş olasılıklı kabul edebiliriz. Hileli zarda aynı kabul geçmez. Bir torbadan aynı fiziksel özellikteki topların rastgele seçilmesinde her tek top eş olasılıklı olabilir; renkler ise top adetleri farklıysa eş olasılıklı değildir.

Üç kırmızı, bir mavi top bulunan torbada iki renk vardır diye her renge 1/2 olasılık veremeyiz. Modelin temel elemanları dört toptur. “İstenen/tüm” oranını kullanmadan önce temel çıktıların eş olasılıklı olduğunu doğrula.

Sonlu ve eş olasılıklı örnek uzayda $\displaystyle P(A)=s(A)/s(\Omega)$. Adil zarda asal gelmesi A={2,3,5} olduğundan P(A)=3/6=1/2. Payda bütün deney sonuçlarını, pay bunlardan istenen koşulu sağlayanları sayar.

Sonucu sadeleştirmek olasılığı değiştirmez. Negatif veya 1’den büyük bir sonuç, sayma ya da model hatasıdır. Olay büyük bir küme olabilir; formülü kullanmak için önce o kümeyi doğru saymamız gerekir.

$\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Çünkü ortak sonuçlar iki kez sayılmıştır. Olaylar ayrıksa kesişim olasılığı sıfır olur ve yalnız toplama yeterlidir.

Adil zarda “çift veya 3’ten büyük” olayında A={2,4,6}, B={4,5,6}, ortak {4,6}’dır. Olasılık $\displaystyle 3/6+3/6-2/6=4/6$ olur. “Veya” ikisini birden sağlayanları dışlamaz; yalnız birini sağlayanlar istenirse ortak bölge farklı ele alınır.

Aynı torbadan sırayla iki top çekilip ilk top geri konmazsa toplam sıralı çıktı sayısı $\displaystyle 5\cdot4=20$’dir; iki kırmızı için $\displaystyle 3\cdot2=6$, yine 3/10 bulunur. Sıralı sayma da tutarlıdır, yeter ki hem pay hem payda aynı düzeni kullansın.

İlk top geri konup torba yeniden karıştırılırsa ikinci çekişte yine 5 top bulunur. İki kırmızı için $\displaystyle 3\cdot3/(5\cdot5)=9/25$ olur. Geri koyma ile koymama aynı deney değildir; sıradaki seçimlerin sayısını güncellemek gerekir.

Olasılığı 1/2 olan bir olayın 20 denemede tam 10 kez gerçekleşmesi zorunlu değildir. Olasılık uzun dönem davranışını ve belirsizliği modeller; kısa bir dizinin kesin sonucunu söylemez. Deneysel sıklık, gerçekleşme sayısının deneme sayısına oranıdır.

Adil ve birbirinden bağımsız para atışlarında peş peşe yazı gelmiş olması sonraki atışta turayı zorunlu kılmaz. Yeni atışın modeldeki olasılığı değişmez. Önceki sonuçların mekanizmayı değiştirip değiştirmediğini deneyin koşulları belirler.