Saymanın temel ilkeleri ve faktöriyel
Sonuçları tek tek yazmadan saymanın yolu, önce bir sonucu doğru tanımlamaktır.
Kafedeki menü seçenekleri
Bir kafede üç çeşit sandviç ve iki çeşit içecek var. Dolapta toplam beş çeşit ürün gördüğümüz halde, bir sandviçle bir içecekten altı farklı menü oluşturabiliyoruz. Beş üründen nasıl altı menü çıkıyor?
Çünkü burada yalnızca ürünleri saymıyoruz; bir sandviçle bir içeceğin oluşturduğu ikiliyi sayıyoruz. İlk sandviç iki farklı içecekle, ikinci sandviç yine iki farklı içecekle, üçüncü sandviç de iki farklı içecekle eşleşiyor.
Ürün sayısı beş, menü sayısı ise altı. Sayma problemlerinde toplama mı, çarpma mı yapacağımızı belirleyen şey, bir sonuç olarak neyi kabul ettiğimizdir.
Seçimin anlamı, toplama mı çarpma mı yapacağımızı belirler
Yalnız tek ürün alacaksak bir sandviç veya bir içecek seçeriz: 3+2=5 seçenek. Menü alacaksak bir sandviç ve bir içecek seçeriz: 3·2=6 seçenek. Sayılar değişmedi; “bir sonuç” dediğimiz şey değişti.
Sayma, farklı sonuçları atlamadan ve aynı sonucu iki kez saymadan belirlemektir. Küçük örnekte hepsini listeledik; büyük örneklerde bu düzeni toplama ve çarpma ilkeleriyle kısaltacağız. Ardından sıranın önemli olup olmadığına bakarak dizme ve seçme problemlerine geçeceğiz. Önce ayrı alternatiflerin neden toplandığını netleştirelim.
Ayrı alternatifleri toplarken örtüşme var mı?
Kafede tek ürün alırken sandviç ve içecek listeleri ayrıydı; aynı ürünü iki listede saymadık. Bir yere yalnız otobüsle veya yalnız trenle gideceksek 3 otobüs ve 2 tren seçeneği de 3+2=5 farklı yolculuk seçeneği verir. Ayrık seçenek gruplarında bu toplama ilkesidir.
Fakat iki listede araçları değil yolcuları sayıyorsak aynı kişi iki listede birden bulunabilir. O zaman toplam kişi sayısı için ortak kişileri bir kez saymalıyız. Önce neyin bir sonuç olduğunu ve seçeneklerin örtüşüp örtüşmediğini belirleriz. Şimdi menüdeki gibi bir sonucun ardışık iki seçimle oluştuğu duruma geçelim.
Ardışık seçimler çarpılır
3 gömlekten biri ve 2 pantolondan biri seçilerek bir kıyafet oluşturuluyorsa her gömleğin yanına 2 pantolon gelebilir. Toplam kıyafet vardır. Her aşamadaki seçenek sayısı belirliyse çarpma ilkesi aşamaları birleştirir.
Seçenek sayısı önceki seçime göre değişiyorsa dallara ayırmak gerekir. Bir ağaç diyagramında her dalın ucundaki farklı sonuçları saymak, düzensiz durumlarda aynı çarpanı her yere uygulama hatasını önler.
Kısıtlı yeri önce seç
0,1,2,3 rakamlarıyla rakamları farklı üç basamaklı sayı yazalım. İlk rakam 0 olamaz: 3 seçenek. İkinci yerde kalan 3, üçüncüde kalan 2 seçenek vardır; toplam 18 sayı. Rakam tekrarı serbest olsaydı son iki yerde dörder seçenek bulunurdu.
Son rakamın çift olması gibi ek koşul varsa 0 ile diğer çift rakamların etkisi farklı olabilir. Son rakam 0 olduğunda ilk yerin seçenekleri, son rakam 2 olduğundakinden farklıdır. Bu tür durumları ayrı sayıp toplamak gerekir.
Faktöriyel azalan seçimlerin kısa yazımıdır
n pozitif tam sayı için ’dir. n farklı nesneyi sıraya dizerken ilk yere n, sonraki yere n−1 seçenek kalır; bütün çarpım n! olur. tanımı, hiçbir nesneyi yerleştirmenin tek boş düzeni olmasıyla uyumludur.
Faktöriyel farkları üs gibi dağılmaz: , fakat genellikle a!+b! değildir. Oranlarda açılımı yeterli yerde durdur: .
En az bir için istenmeyeni çıkar
Bazı saymalarda “en az bir” koşulunu doğrudan durumlara bölmek uzun sürer. Bütün sonuçları sayıp hiç olmayan durumu çıkarmak daha kolaydır. Üç basamaklı 1 ve 2 rakamlarından oluşan dizilerde en az bir 2 bulunması farklı dizi verir; çıkarılan tek dizi 111’dir.
Bu yöntem toplam kümeden istenmeyen alt kümeyi çıkarmaktır. “Tam bir”, “en az bir” ve “en çok bir” aynı koşullar değildir. “En çok bir” hiç olmama durumunu da içerir; “tam bir” içermez.
Saymanın tarihi ve Sâbit İbn Kurrâ
Sayma problemleri çok eski çağlardan beri ilgi görmüştür. Hint matematikçileri hece ölçülerinin olası dizilişlerini, Çinli düşünürler sembol dizilişlerini sayarken seçme ve sıralama fikrine ulaştı.
İslam medeniyetinde Sâbit İbn Kurrâ (826–901) Harran’da doğdu ve Bağdat’ta çalıştı. Yunanca matematik ve astronomi eserlerini Arapçaya kazandırdı; sayılar kuramı, geometri ve astronomi üzerine özgün çalışmalar yaptı. Dost sayılar (her birinin kendisi dışındaki bölenlerinin toplamı diğerine eşit olan sayı çiftleri; 220 ile 284 gibi) üretmek için verdiği kural ünlüdür. Bu kural, sayıların bölenlerini sistemli biçimde sayıp sınıflandırmaya dayanır; MEB programı da saymanın tarihsel gelişiminde onun çalışmalarını anar.
Sonraki yüzyıllarda Kerecî ve İbnü’l-Bennâ gibi matematikçiler seçme sayılarını hesaplayan kurallar verdi; Avrupa’da Pascal, Fermat ve Leibniz bu kuralları olasılıkla birleştirdi. n! gösterimini ise 1808’de Christian Kramp kullanmaya başladı.
Örnek: 220’nin kendisi dışındaki bölenlerinin toplamı ’tür.
Ayrık alternatifleri topla, aşamalı seçimleri çarp. Kısıtlı konumları önce ele al; en az bir için bütün−hiç yöntemini düşün.
Bu bölümün kazanımları
- MEB 10.1.1.1Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma yöntemlerini kullanarak hesaplar.
- Toplama ve çarpma ilkelerini ayrık durumlarla uygular; faktöriyel ve tümden çıkarma yöntemini açıklar.