Sayma ve Seçme

Bir yere yalnız otobüs veya yalnız trenle gidilebiliyor; 3 otobüs, 2 tren seçeneği bulunuyorsa tek bir yolculuk biçimi 3+2=5 yolla seçilir. Bu toplama ilkesi, seçenek grupları birbirinden ayrık olduğunda doğrudan geçerlidir.

Bir kişi hem otobüs hem tren listesinde sayılıyorsa iki listenin kişi sayılarını toplamak onu iki kez sayar. Aynı sonucu üreten durumlar örtüşüyorsa ortak kısmı çıkarmak gerekir. Önce neyin bir sonuç sayıldığını tanımla.

0,1,2,3 rakamlarıyla rakamları farklı üç basamaklı sayı yazalım. İlk rakam 0 olamaz: 3 seçenek. İkinci yerde kalan 3, üçüncüde kalan 2 seçenek vardır; toplam 18 sayı. Rakam tekrarı serbest olsaydı son iki yerde dörder seçenek bulunurdu.

Son rakamın çift olması gibi ek koşul varsa 0 ile diğer çift rakamların etkisi farklı olabilir. Son rakam 0 olduğunda ilk yerin seçenekleri, son rakam 2 olduğundakinden farklıdır. Bu tür durumları ayrı sayıp toplamak gerekir.

n pozitif tam sayı için $\displaystyle n!=n(n-1)\cdots2\cdot1$’dir. n farklı nesneyi sıraya dizerken ilk yere n, sonraki yere n−1 seçenek kalır; bütün çarpım n! olur. $\displaystyle 0!=1$ tanımı, hiçbir nesneyi yerleştirmenin tek boş düzeni olmasıyla uyumludur.

Faktöriyel farkları üs gibi dağılmaz: $\displaystyle (n+1)!=(n+1)n!$, fakat $\displaystyle (a+b)!$ genellikle a!+b! değildir. Oranlarda açılımı yeterli yerde durdur: $\displaystyle 8!/6!=8\cdot7=56$.

Bazı saymalarda “en az bir” koşulunu doğrudan durumlara bölmek uzun sürer. Bütün sonuçları sayıp hiç olmayan durumu çıkarmak daha kolaydır. Üç basamaklı 1 ve 2 rakamlarından oluşan dizilerde en az bir 2 bulunması $\displaystyle 2^3-1=7$ farklı dizi verir; çıkarılan tek dizi 111’dir.

Bu yöntem toplam kümeden istenmeyen alt kümeyi çıkarmaktır. “Tam bir”, “en az bir” ve “en çok bir” aynı koşullar değildir. “En çok bir” hiç olmama durumunu da içerir; “tam bir” içermez.

n farklı sembolle r konumlu bir kodda her sembol tekrar kullanılabiliyorsa her konumda n seçenek vardır; sonuç $\displaystyle n^r$ olur. Bu, tekrar yasaklı $\displaystyle P(n,r)$ formülünden farklıdır.

Şifre ile basamaklı sayı da aynı kısıtları taşımayabilir. Dört haneli bir kod 0 ile başlayabilir; dört basamaklı doğal sayı başlayamaz. “Hane” veya “sayı” sözcüğünün hangi başlangıç koşulunu getirdiğini açıklamadan formül seçme.

Beş farklı kişi bir sırada dururken A ile B’nin yan yana olması isteniyorsa ikisini tek blok düşünürüz. Blok ve kalan üç kişi toplam dört nesne gibi 4! şekilde sıralanır; blok içinde AB veya BA olmak üzere 2! düzen vardır. Sonuç $\displaystyle 4!\cdot2!$ olur.

Blok içindeki sıranın ayrıca sabitlendiği söylenmişse 2! ile çarpılmaz. Yan yana olmama durumu ise bütün dizilişlerden yan yana olanları çıkararak bulunabilir. Birden fazla blokta blokların birbirleriyle karışıp karışamayacağını kontrol et.

Yan yana gelmemesi istenen kişileri, önce diğerlerini dizip aralarındaki boşluklara yerleştirebiliriz. Üç kişi sıralandığında başta, sonda ve aralarda toplam dört boşluk oluşur. İki ayrı kişi farklı boşluklara yerleştirilirse yan yana gelmez; boşluk seçimi ve kişilerin kendi sırası birlikte sayılır.

Numarasız yuvarlak masa etrafında n farklı kişinin yalnız dönmeyle aynı olan dizilişleri tek sayılıyorsa bir kişiyi sabitleyip kalanları $\displaystyle (n-1)!$ şekilde dizeriz. Koltuklar numaralıysa dönmüş düzenler farklıdır ve bu kısayol geçmez. Yansıma da sırf dönmeyle aynı kabul edilmez.

n kişiden r kişiyi seçmek, dışarıda kalacak n−r kişiyi seçmekle bire bir eşleşir. Bu yüzden $\displaystyle \binom nr=\binom n{n-r}$. 10 kişiden 8 seçmek yerine 2 kişiyi dışarıda bırakmayı sayabiliriz.

$\displaystyle \binom n0=\binom nn=1$; hiç kimseyi seçmemenin ve herkesi seçmenin birer yolu vardır. $\displaystyle \binom n1=n$. Bu sınır durumları formülün faktöriyel tanımıyla da tutarlıdır.

4 kız ve 5 erkek arasından 2 kız, 1 erkek seçilecekse kız seçimi $\displaystyle \binom42$, erkek seçimi $\displaystyle \binom51$ şekilde yapılır. Her kız seçimi her erkek seçimiyle birleşebildiğinden sonuç çarpımlarıdır.

Toplam 3 kişi seçilirken kız sayısı belirtilmemişse 0, 1, 2 ve 3 kız durumları ayrı sayılıp toplanabilir. Bu durumlar birbirinden ayrıdır; her ekip tam bir durumda yer alır. Aynı ekibi iki farklı başlıkta tekrar saymamaya dikkat et.

Bir ekipte en az bir belirli gruptan kişi isteniyorsa tüm ekiplerden o gruptan hiç kimsenin olmadığı ekipleri çıkarabiliriz. 9 kişi içinde 4’ü kızsa 3 kişilik ve en az bir kız içeren ekip sayısı $\displaystyle \binom93-\binom53$ olur.

Belirli A ve B kişileri birlikte seçilecekse önce ikisini sabitleyip kalan kontenjanı diğer kişilerden seçeriz. “Ya ikisi de olsun ya ikisi de olmasın” denirse iki ayrık durumu toplarız. Görev dağılımı belirtilmedikçe seçilenleri ayrıca sıralamayız.

n noktadan iki nokta seçmek $\displaystyle \binom n2$ çift verir. Fakat bu çiftlerin belirlediği farklı doğruları sayarken aynı doğru üzerindeki üç veya daha fazla noktanın aynı doğruyu tekrar üretebileceğini hesaba katmalıyız.

Üçgen sayısı için $\displaystyle \binom n3$ ancak her seçilen üçlü doğrusal değilse doğrudan geçerlidir. Aynı doğru üzerindeki üçlüler üçgen oluşturmaz ve çıkarılır. Kombinasyon seçimi sayar; seçimin sorudaki nesneyi gerçekten oluşturup oluşturmadığı ayrı bir koşuldur.