Veri ve İstatistik Konu Anlatımı – TYT Matematik

Merkezî eğilim ve yayılım

Aynı ortalamaya sahip iki grup neden birbirinden çok farklı olabilir?

Bir sınıfın okuduğu kitaplar

Beş öğrencilik bir sınıfta ay boyunca toplam yirmi kitap okunmuş. Öğretmen, “Kişi başına ortalama dört kitap düşüyor,” diyor. Bu cümleyi duyunca herkesin dörder kitap okuduğunu düşünebiliriz. Peki gerçekten öyle olmak zorunda mı?

İlk grupta beş öğrencinin tamamı dörder kitap okumuş olabilir. İkinci grupta ise bir öğrenci yirmi kitap okurken diğer dört öğrenci hiç kitap okumamış olabilir. İki grubun toplamı da yirmi, kişi başına ortalaması da dört çıkar.

Ortalama doğru bir bilgi verir ama tek başına verilerin nasıl dağıldığını göstermez. İstatistikte yalnızca ortalamayı değil, verilerin arkasındaki dağılımı da okumamız gerekir.

A grubunda 4,4,4,4,4; B grubunda 0,0,0,0,20 kitap vardır. Aynı ölçekli sütunlarda her grubun toplamı 20 ve ortalaması 4’tür.

Ortalama, toplamı eşit paylaştıran bir denge değeridir

İkinci gruptaki 20 kitabı, yalnız hesap üzerinde beş kişiye eşit paylaştıralım: kişi başına 4 düşer. Aritmetik ortalama tam olarak bu eşit paylaştırma değeridir. Kimsenin gerçekte dört kitap okumuş olması gerekmez; toplamı ve kişi sayısını kullanarak bir karşılaştırma ölçüsü kurarız.

Ortadaki kişinin değerini sorarsak ikinci grupta 0 buluruz; buna ortanca diyeceğiz. Değerlerin birbirinden ne kadar uzaklaştığını ise yayılım ölçüleriyle inceleyeceğiz. Önce eşit paylaştırmadan ortalama formülünü çıkaralım; sonra tek sayının yetersiz kaldığı yerde hangi ölçünün ek bilgi verdiğini görelim.

20 birimlik toplam beş eş gruba dağıtılır: 4+4+4+4+4. Bu yeniden dağıtım yalnız ortalamanın hesabını gösterir; gerçek okuma kayıtları değişmez.

Toplamı koruyup kişi sayısına bölelim

Beş kişiye 20/5=4 pay düşmesi gibi, n tane verinin aritmetik ortalaması $\displaystyle \bar x=(x_1+\cdots+x_n)/n$ olur. Pay bütün değerlerin toplamı, payda veri sayısıdır. 2, 4 ve 9’un toplamı 15 olduğundan ortalamaları 5’tir; 5’in listede bulunmaması sorun değildir. Çizimdeki eşit sütunlar, aynı toplamın eşit paylaşımını gösterir.

Ortalama ve kişi sayısı biliniyorsa toplamı geri buluruz: $\displaystyle n\bar x$ . Yeni bir veri eklenince hem toplam hem sayı değişir; ortalamanın üstündeki bir değer onu yükseltir, altındaki düşürür. Bu toplamı koruma düşüncesiyle şimdi farklı büyüklükteki grupların ortalamasını birleştirelim.

2, 4 ve 9 değerleri eşit paylaştırılıyor. Her anda toplam 15 korunur; üç sütun da 5 olduğunda aritmetik ortalama görünür hâle gelir.

Grup ortalamalarını kişi sayısıyla ağırlıklandır

10 kişilik grubun ortalaması 60, 20 kişilik grubunki 75 ise toplam puanlar 600 ve 1500’dür. Birleşik ortalama $\displaystyle (600+1500)/30=70$ olur. Grup ortalamalarını doğrudan ortalamak yalnız grup büyüklükleri eşitse uygundur.

Frekans tablosunda $\displaystyle x_i$ değeri $\displaystyle f_i$ kez görülüyorsa ortalama $\displaystyle \sum f_i x_i/\sum f_i$ biçiminde hesaplanır. Her değerin kaç kez tekrarlandığını toplama yansıtmak, aynı ağırlık fikridir.

Ortanca için önce sırala

Verileri küçükten büyüğe dizdiğimizde ortadaki konum ortancayı (medyanı) verir. n tekse (n+1)/2’nci veri alınır. n çiftse n/2’nci ve hemen sonraki verinin ortalaması alınır.

2, 4, 4, 9, 11 için ortanca 4’tür. 2, 4, 9, 11 için ortanca (4+9)/2=6,5 olur. Verilerin yazıldığı sıradaki ortayı almak doğru değildir; ortanca büyüklük sırasındaki konumla tanımlanır. Uçtaki çok büyük bir değer ortalamayı kuvvetle değiştirirken ortancayı aynı ölçüde etkilemeyebilir.

Sıralı 2,4,4,9,11 listesinde beş konumun ortasındaki üçüncü konum vurgulanır. Ortanca veri 4’tür.

Tepe değer en sık görülendir

Tepe değer (mod), frekansı en yüksek olan değerdir. 2, 4, 4, 9, 11 listesinde mod 4’tür. Birden fazla değer aynı en yüksek tekrar sayısına sahipse birden fazla mod olabilir. Bütün değerler aynı sıklıkta olduğunda tek bir tepe değer ayırt edilemez.

Mod, sayısal olmayan kategorilerde de anlamlı olabilir; en çok tercih edilen renk gibi. Ortalama bu kategorilerde hesaplanamaz. Kullanılacak merkez ölçüsünü verinin türü ve anlatmak istediğin özellik belirler.

Açıklık uçların arasındaki farktır

Açıklık = en büyük veri − en küçük veri. 4, 5, 6 ve 0, 5, 10 listelerinin ortalamaları aynı 5’tir; açıklıkları ise 2 ve 10’dur. İkinci liste daha geniş yayılır. Aynı merkez, aynı dağılım anlamına gelmez.

Açıklık yalnız iki uç değeri kullanır; aradaki verilerin nasıl dağıldığını göstermez. Yeni bir uç değer açıklığı çok değiştirebilir. Merkez ile yayılımı birlikte incelemek bu yüzden gereklidir.

4,5,6 ve 0,5,10 verileri aynı ölçekte iki doğru üzerinde gösterilir. Merkez ikisinde de 5; uçlar arası açıklık 2 ve 10’dur.

Standart sapma bütün uzaklıkları kullanır

Önce ortalamayı bul, her veriden ortalamayı çıkar, farkların karelerini topla. Bu dersin MEB okul hesabında n>1 için $\displaystyle s=\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2/(n-1)}$ kullanılır. Kareler artı ve eksi farkların birbirini yok etmesini önler; son karekök ölçüyü verinin birimine döndürür.

2, 4, 6 için ortalama 4, kareli farklar toplamı 4+0+4=8; $\displaystyle s=\sqrt{8/2}=2$ olur. Bazı kaynaklarda tüm ana kütle için paydada n kullanılır; soru hangi tanımı veriyorsa onu uygula. Aynı tür ölçümde küçük sapma değerlerin merkeze daha yakın toplandığını gösterir.

Veriyi dönüştürünce ölçüler nasıl değişir?

Her veriye c eklenirse ortalama, ortanca ve mod c kadar kayar; açıklık ve standart sapma değişmez. Çünkü verilerin birbirine ve yeni ortalamaya uzaklıkları aynı kalır.

Her veri k ile çarpılırsa ortalama k ile, açıklık ve standart sapma |k| ile çarpılır. Sabit bir sayı listesinde bütün uzaklıklar sıfırdır; standart sapma da sıfır olur. Ölçüleri yorumlarken birimlerin aynı olması ve karşılaştırılan grupların anlamlı biçimde benzer olması gerekir.

Ortalama toplamı, ortanca sıralı merkezi, mod en sık değeri anlatır. Açıklık ve standart sapma yayılımı gösterir; merkezle birlikte yorumlanır.

Dikkat: Grupların kişi sayıları farklıysa ortalamalarını doğrudan ortalama. Ortanca için sıralamayı, standart sapma için kullanılan payda tanımını kontrol et.

Bu bölümün kazanımları

MEB 9.5.1.1Verileri merkezî eğilim ve yayılım ölçülerini hesaplayarak yorumlar.
Ortalama, ortanca, tepe değer, açıklık ve standart sapmayı hesaplar; uç değerlerin etkisini yorumlar.