Veri ve İstatistik · TYT Matematik

Merkezî eğilim ve yayılım

Tek bir ortalama bütün hikâyeyi anlatmaz.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 9.5.1.1Verileri merkezî eğilim ve yayılım ölçülerini hesaplayarak yorumlar.
Ortalama, ortanca, tepe değer, açıklık ve standart sapmayı hesaplar; uç değerlerin etkisini yorumlar.

Aritmetik ortalama toplamı eşit dağıtır

n tane verinin aritmetik ortalaması $\displaystyle \bar x=(x_1+\cdots+x_n)/n$ ’dir. 2, 4 ve 9’un toplamı 15, ortalaması 5’tir. Ortalama listede bulunmak zorunda değildir; toplamı n kişiye eşit paylaştırılmış gibi düşünürüz.

Ortalama ve eleman sayısı biliniyorsa toplam $\displaystyle n\bar x$ bulunur. Listeye yeni bir sayı eklenince hem toplam hem eleman sayısı değişir. Ortalama üstünde bir veri eklemek ortalamayı yükseltir, altında bir veri eklemek düşürür.

2, 4, 9 yüksekliğindeki sütunların toplamı 15’tir. Aynı toplam üç eş sütuna dağıtılınca her biri 5 olur; kesikli çizgi bu ortak yüksekliği gösterir.

Grup ortalamalarını kişi sayısıyla ağırlıklandır

10 kişilik grubun ortalaması 60, 20 kişilik grubunki 75 ise toplam puanlar 600 ve 1500’dür. Birleşik ortalama $\displaystyle (600+1500)/30=70$ olur. Grup ortalamalarını doğrudan ortalamak yalnız grup büyüklükleri eşitse uygundur.

Frekans tablosunda $\displaystyle x_i$ değeri $\displaystyle f_i$ kez görülüyorsa ortalama $\displaystyle \sum f_i x_i/\sum f_i$ biçiminde hesaplanır. Her değerin kaç kez tekrarlandığını toplama yansıtmak, aynı ağırlık fikridir.

Ortanca için önce sırala

Verileri küçükten büyüğe dizdiğimizde ortadaki konum ortancayı (medyanı) verir. n tekse (n+1)/2’nci veri alınır. n çiftse n/2’nci ve hemen sonraki verinin ortalaması alınır.

2, 4, 4, 9, 11 için ortanca 4’tür. 2, 4, 9, 11 için ortanca (4+9)/2=6,5 olur. Verilerin yazıldığı sıradaki ortayı almak doğru değildir; ortanca büyüklük sırasındaki konumla tanımlanır. Uçtaki çok büyük bir değer ortalamayı kuvvetle değiştirirken ortancayı aynı ölçüde etkilemeyebilir.

Sıralı 2,4,4,9,11 listesinde beş konumun ortasındaki üçüncü konum vurgulanır. Ortanca veri 4’tür.

Tepe değer en sık görülendir

Tepe değer (mod), frekansı en yüksek olan değerdir. 2, 4, 4, 9, 11 listesinde mod 4’tür. Birden fazla değer aynı en yüksek tekrar sayısına sahipse birden fazla mod olabilir. Bütün değerler aynı sıklıkta olduğunda tek bir tepe değer ayırt edilemez.

Mod, sayısal olmayan kategorilerde de anlamlı olabilir; en çok tercih edilen renk gibi. Ortalama bu kategorilerde hesaplanamaz. Kullanılacak merkez ölçüsünü verinin türü ve anlatmak istediğin özellik belirler.

Açıklık uçların arasındaki farktır

Açıklık = en büyük veri − en küçük veri. 4, 5, 6 ve 0, 5, 10 listelerinin ortalamaları aynı 5’tir; açıklıkları ise 2 ve 10’dur. İkinci liste daha geniş yayılır. Aynı merkez, aynı dağılım anlamına gelmez.

Açıklık yalnız iki uç değeri kullanır; aradaki verilerin nasıl dağıldığını göstermez. Yeni bir uç değer açıklığı çok değiştirebilir. Merkez ile yayılımı birlikte incelemek bu yüzden gereklidir.

4,5,6 ve 0,5,10 verileri aynı ölçekte iki doğru üzerinde gösterilir. Merkez ikisinde de 5; uçlar arası açıklık 2 ve 10’dur.

Standart sapma bütün uzaklıkları kullanır

Önce ortalamayı bul, her veriden ortalamayı çıkar, farkların karelerini topla. Bu dersin MEB okul hesabında n>1 için $\displaystyle s=\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2/(n-1)}$ kullanılır. Kareler artı ve eksi farkların birbirini yok etmesini önler; son karekök ölçüyü verinin birimine döndürür.

2, 4, 6 için ortalama 4, kareli farklar toplamı 4+0+4=8; $\displaystyle s=\sqrt{8/2}=2$ olur. Bazı kaynaklarda tüm ana kütle için paydada n kullanılır; soru hangi tanımı veriyorsa onu uygula. Aynı tür ölçümde küçük sapma değerlerin merkeze daha yakın toplandığını gösterir.

Veriyi dönüştürünce ölçüler nasıl değişir?

Her veriye c eklenirse ortalama, ortanca ve mod c kadar kayar; açıklık ve standart sapma değişmez. Çünkü verilerin birbirine ve yeni ortalamaya uzaklıkları aynı kalır.

Her veri k ile çarpılırsa ortalama k ile, açıklık ve standart sapma |k| ile çarpılır. Sabit bir sayı listesinde bütün uzaklıklar sıfırdır; standart sapma da sıfır olur. Ölçüleri yorumlarken birimlerin aynı olması ve karşılaştırılan grupların anlamlı biçimde benzer olması gerekir.

Ortalama toplamı, ortanca sıralı merkezi, mod en sık değeri anlatır. Açıklık ve standart sapma yayılımı gösterir; merkezle birlikte yorumlanır.

Dikkat: Grupların kişi sayıları farklıysa ortalamalarını doğrudan ortalama. Ortanca için sıralamayı, standart sapma için kullanılan payda tanımını kontrol et.

Veri grafikleri ve histogram

Grafik, veriyi görünür kılan bir seçimdir.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 9.5.2.1Bir veri grubuna ilişkin histogram oluşturur.
MEB 9.5.2.2Gerçek hayat durumunu yansıtan veri gruplarını uygun grafik türleriyle temsil ederek yorumlar.
Veri türüne uygun grafik seçer; eş genişlikli histogram oluşturur ve ölçek kaynaklı yanlış yorumları ayırt eder.

Grafik türünü soruna göre seç

Kategorilerin miktarlarını karşılaştırmak için sütun grafiği, zaman boyunca değişimi izlemek için çizgi grafiği, bir bütünün paylarını göstermek için daire grafiği kullanılır. Aynı veri farklı grafiklerle anlatılabilir ama her grafik aynı soruyu kolay yanıtlamaz.

Sütun grafiğinde kategoriler arasında boşluk bulunabilir; yatay konumlar ardışık sayısal aralık olmak zorunda değildir. Çizgi grafiğinde noktaları birleştirmek aradaki değişimi görmeyi sağlar, ancak ölçülmemiş ara değerleri kesin veri hâline getirmez.

Daire grafiğinde bütün 360 derecedir

Bir grubun payı p ise merkez açısı $\displaystyle 360^\circ p$ olur. %25’lik dilim 90°’dir. Açı verilirse toplam içindeki oran açı/360° ile bulunur; kişi sayısı için bu oran toplam kişi sayısıyla çarpılır.

Farklı toplamları temsil eden iki dairede eşit açılar eşit miktar demek değildir. 100 kişide %20, 20 kişidir; 300 kişide aynı açı 60 kişiyi gösterir. Daire dilimlerinin hem oranlarını hem temsil ettikleri toplamı birlikte oku.

Tam dairenin 90 derecelik dilimi dörtte birini kaplar. Merkez açısı oranı 90/360=1/4=%25’tir.

Histogram için sayısal aralıklar kur

Çok sayıda boy, süre veya puanı gruplarken birbirini örtmeyen ve bütün verileri kapsayan aralıklar seçeriz. Örneğin ölçümleri $\displaystyle [0,10)$ , $\displaystyle [10,20)$ , $\displaystyle [20,30)$ aralıklarına yerleştiririz. 10 tam sınırdaysa ikinci aralığa girer; aynı ölçüm iki kez sayılmaz.

Her aralıktaki veri sayısı frekanstır. Eş genişlikli histogramda yatay eksen aralıkları, düşey eksen frekansı gösterir; sütunlar sayısal aralıkların sürekliliğini belirtmek için bitişiktir. Kategorik sütun grafiğinden farkı budur.

Frekans tablosundan histogramı oluştur

2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 19, 24, 28 verilerini onar birimlik üç aralığa ayıralım. İlk aralıkta 3, ikincide 5, üçüncüde 2 gözlem vardır. Yükseklikleri 3, 5 ve 2 olan bitişik sütunlar çizilir; frekansların toplamı 10 veri sayısını verir.

Bir aralıkta veri yoksa o aralığı eksenden silmeyiz; yüksekliği sıfır olur. Aralıkların genişliği aynı olduğunda yükseklikleri doğrudan frekans olarak karşılaştırabiliriz.

[0,10), [10,20), [20,30) aralıklarının frekansları 3, 5, 2’dir. Eş genişlikli bitişik sütunların toplam frekansı 10’dur.

Gruplama ayrıntıyı kaybettirir

Yalnız histogramdan 10–20 aralığında beş gözlem olduğunu biliriz; bu gözlemlerin tam değerlerini bilemeyiz. Bu yüzden ham verinin kesin ortalaması veya ortancası her zaman çıkarılamaz. Sınıf orta noktalarıyla yapılan ortalama hesabı, veri hakkında ek bilgi yoksa bir yaklaşıktır.

Eşit olmayan aralık genişliklerinde frekansı yalnız yükseklikle göstermek yanıltır; frekans alanla ilişkilendirilir ve yükseklik frekans/genişlik yoğunluğu olur. Bu bölümde kurduğumuz histogram eş genişliklidir; genişliği değişen bir grafikte eksenin neyi ölçtüğünü yeniden kontrol et.

Ölçek görsel etkiyi büyütebilir

Düşey eksen 0 yerine 90’dan başlarsa 95 ile 100 arasındaki fark sütunlarda çok büyük görünebilir. Veriler yanlış olmasa bile görünüm artışı abartabilir. Yüzde değişimini sütunun ekrandaki boyundan değil sayısal değerlerden hesapla.

Örneklem yalnız belirli bir gruptan toplanmışsa bütün topluma ilişkin çıkarım sınırlı olabilir. İki değişkenin birlikte değişmesi de tek başına birinin diğerine neden olduğunu göstermez. Grafik okuma, yalnız noktaları görmek değil verinin nasıl elde edildiğini ve hangi ölçekte sunulduğunu anlamaktır.

95 ve 100 değerleri bir solda 0’dan, sağda 90’dan başlayan eksende gösterilir. Gerçek fark her ikisinde 5 iken kesilmiş eksen farkı görsel olarak büyütür.

Grafiği veri türüne göre seç. Dairede pay = açı/360°; eş genişlikli histogramda yükseklik frekanstır. Gruplanmış veriden kaybolan ayrıntıyı kesinmiş gibi üretme.

Dikkat: Histogram aralıklarını örtüştürme ve boş aralığı silme. Farklı toplamlı dairelerde eşit açılar eşit kişi sayısı anlamına gelmez.