Bölünebilme ve Çarpanlar Konu Anlatımı – TYT Matematik

Bölünebilme kuralları ve kalan

Bir sayıyı tek tek bölmeden, eş gruplara ayrılıp ayrılmadığını anlayabilir miyiz?

617 boncuğu beşerli paketlemek

617 boncuğu, her pakette beş boncuk olacak şekilde paketlemek istiyoruz. Uzun uzun bölme yapmadan, yalnızca sayının bir kısmına bakarak kalanı bulabilir miyiz?

Önce 17 boncuğu beşerli paketlere ayıralım. Üç paket dolar ve dışarıda iki boncuk kalır. Bu iki boncuk yeni bir paket oluşturmaya yetmez; bir paket daha doldurmak için üç boncuk gerekir.

Şimdi bu 17 boncuğun yanına, beşerli paketlere tam olarak ayrılabilen 600 boncuk ekleyelim. Toplam sayı büyüdü ama dışarıda kalan boncuklar değişti mi? Bölünebilme kurallarının temelinde tam olarak bu fikri kullanacağız.

17 boncuk, beşer boncukluk üç tam paket ve dışarıda kalan iki boncuk olarak gösterilir: 17=5·3+2.

Tam paketler eklemek kalanı değiştirir mi?

Eklediğimiz 600 boncuk, beşerli 120 pakete tam yerleşir. Önceki 17 boncuktan üç paket ve iki artan çıkmıştı. Birleştirince 123 tam paket ve yine 2 artan var. 617’nin 5 ile bölümünden kalanı, büyük kısmın paketlerini tek tek çizmeden bulduk.

Bölünebilme kurallarının arkasında bu fikir vardır: sayının bir kısmı zaten tam bölünüyorsa kalanı bulmak için geri kalan kısmı incelemek yeterlidir. Önce bölünen, bölen, bölüm ve kalan dilini bu paket hesabından kuracağız. Ardından son basamağın veya rakamlar toplamının ne zaman yeterli olduğunu açıklayıp ortak paket büyüklüklerine, yani çarpanlara geçeceğiz.

617=600+17. 600’den 120, 17’den 3 tam paket çıkar; toplam 123 paket ve 2 boncuk kalır. Büyük kutu 600 boncuğu şematik olarak temsil eder.

Paket hesabını bir eşitliğe çevirelim

17=5·3+2 yazımında 17 bölünen, paketin büyüklüğü 5 bölen, tam paket sayısı 3 bölüm, artan 2 ise kalandır. Genel olarak bir tam sayı A ve pozitif tam sayı b için $\displaystyle A=bq+r$ , $\displaystyle 0\le r<b$ yazarız. Kalan b’ye ulaşsaydı bir paket daha doldururduk; bu yüzden b’den küçük olmalıdır. r=0 olduğunda A, b’ye tam bölünür.

Paket benzetmesini negatif sayılara aynen taşımayız ama aynı eşitlik ve kalan aralığını kullanırız: −7=3·(−3)+2. Dolayısıyla −7’nin 3 ile bölümünden kalan 2’dir. Bu yapıyı onluk basamaklara uygulayınca, büyük sayılarda bölme yapmadan karar verebileceğimiz kurallar çıkacak.

17 nokta, beşerli üç tam grup ve iki artan noktaya ayrılır. Bölünen = bölen × bölüm + kalan.

Son basamaklar neden yeterli?

Onluk sistemde 10, hem 2’ye hem 5’e bölünür. $\displaystyle N=10q+r$ yazınca bu bölenler için yalnızca son rakamı incelemek yeterli olur: 2 için 0, 2, 4, 6, 8; 5 için 0 veya 5; 10 için 0.

100 sayısı 4’e, 1000 sayısı 8’e bölündüğünden 4 için son iki, 8 için son üç basamak yeterlidir. Aynı düşünce 25 için son iki basamağa bakmayı sağlar: 00, 25, 50 veya 75. Kurallar, soldaki basamakların oluşturduğu kısmın zaten bölünebilmesinden doğar.

Rakamlar toplamı neden 3 ve 9’da işe yarar?

$\displaystyle 100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)$ yazabiliriz. İlk iki terim 9’a da 3’e de bölünür. Bu nedenle sayının 3 veya 9 ile bölümünden kalan, rakamlar toplamının aynı bölenle bölümünden kalanına eşittir.

Rakamlar toplamı 3’ün katıysa sayı 3’e, 9’un katıysa 9’a bölünür. 3’e bölünmek 9’a bölünmeyi zorunlu kılmaz. Bu yöntem kalan bulmada da geçerlidir: toplam 17 ise 9 ile bölümden kalan 8’dir.

11’de artı ve eksi sırayla gelir

10 sayısı 11’e göre −1 gibi davranır; 100 ise +1 gibi. Bu yüzden sağdan başlayarak rakamlara sırayla + ve − işareti veririz. Elde edilen fark 11’in katıysa sayı 11’e bölünür. $\displaystyle 2728$ için $\displaystyle 8-2+7-2=11$ olduğundan sayı 11’in katıdır.

Kalan isteniyorsa negatif farkı uygun aralığa taşı: $\displaystyle 152$ için $\displaystyle 2-5+1=-2$ ; 11 ile bölümden kalan 9 olur. Yalnız bölünebilirliği incelerken soldan veya sağdan başlamak sonucu değiştirmez; kalan hesabında işaret yönünü korumak gerekir.

Kuralları birleştirmek için ortak çarpanı kontrol et

Aralarında asal iki pozitif bölenin her birine bölünen sayı, çarpımlarına da bölünür. Bu yüzden 6 için 2 ve 3; 12 için 3 ve 4; 15 için 3 ve 5 birlikte kontrol edilir.

Ortak çarpan varsa çarpımı kullanamayız. 12 hem 4’e hem 6’ya bölünür ama 24’e bölünmez. İki koşulun birlikte istediği şey, ileride göreceğimiz EKOK’a bölünmedir. Kural birleştirirken bu ayrımı koru.

Toplam, çarpım ve kuvvetlerde kalanla çalış

$\displaystyle A=bq+r$ ve $\displaystyle B=bp+s$ ise $\displaystyle A+B$ ’de b’nin katları dışında $\displaystyle r+s$ , çarpımda ise $\displaystyle rs$ kalır. Bu sonuçları yeniden b’ye bölerek kalanı $\displaystyle 0,1,\ldots,b-1$ aralığına indiririz. Pozitif tam sayı kuvvetleri de tekrar çarpma olduğundan aynı ilkeyle hesaplanır.

Örneğin 7’nin 5’e göre kalanı 2’dir; $\displaystyle 7^3$ ’ün kalanı $\displaystyle 2^3=8$ ’in kalanı olan 3’tür. Kalanları bölerken benzer bir kısayol otomatik geçerli değildir; önce özgün eşitliği kullanmak daha güvenlidir.

$\displaystyle A=bq+r$ , $\displaystyle 0\le r<b$ . Toplam ve çarpımda sayılar yerine kalanları kullan, sonucu yeniden bölenin aralığına indir.

Dikkat: İki sayıya bölünebilmek her zaman onların çarpımına bölünebilmek değildir. Kalan negatif olamaz ve bölenden küçük olmalıdır.

Bu bölümün kazanımları

MEB 9.3.2.1Tam sayılarda bölünebilme kurallarıyla ilgili problemler çözer.
Bölme algoritmasını kullanır; bölünebilme kurallarını basamak değerleriyle gerekçelendirir.