Bölünebilme ve Çarpanlar · TYT Matematik

Bölünebilme kuralları ve kalan

Büyük sayıyı küçük bir kalana indir.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 9.3.2.1Tam sayılarda bölünebilme kurallarıyla ilgili problemler çözer.
Bölme algoritmasını kullanır; bölünebilme kurallarını basamak değerleriyle gerekçelendirir.

Bölme işlemini tek eşitlikte topla

Bir tam sayı A, pozitif tam sayı b’ye bölündüğünde $\displaystyle A=bq+r$ ve $\displaystyle 0\le r<b$ yazılır. q bölüm, r kalandır. Kalan sıfırsa A, b’ye tam bölünür. Kalanın bölen kadar büyük olamamasının nedeni, o durumda bir grup daha çıkarabilmemizdir.

Negatif sayılarda da kalanı bu aralıkta seçeriz: $\displaystyle -7=3(-3)+2$ . Dolayısıyla −7’nin 3 ile bölümünden kalan 2’dir. Bölümün veya bölenin yeriyle ilgili ek bir sıralama varsayma; temel koşul kalan aralığıdır.

17 nokta, beşerli üç tam grup ve iki artan noktaya ayrılır. Bölünen = bölen × bölüm + kalan.

Son basamaklar neden yeterli?

Onluk sistemde 10, hem 2’ye hem 5’e bölünür. $\displaystyle N=10q+r$ yazınca bu bölenler için yalnızca son rakamı incelemek yeterli olur: 2 için 0, 2, 4, 6, 8; 5 için 0 veya 5; 10 için 0.

100 sayısı 4’e, 1000 sayısı 8’e bölündüğünden 4 için son iki, 8 için son üç basamak yeterlidir. Aynı düşünce 25 için son iki basamağa bakmayı sağlar: 00, 25, 50 veya 75. Kurallar, soldaki basamakların oluşturduğu kısmın zaten bölünebilmesinden doğar.

Rakamlar toplamı neden 3 ve 9’da işe yarar?

$\displaystyle 100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)$ yazabiliriz. İlk iki terim 9’a da 3’e de bölünür. Bu nedenle sayının 3 veya 9 ile bölümünden kalan, rakamlar toplamının aynı bölenle bölümünden kalanına eşittir.

Rakamlar toplamı 3’ün katıysa sayı 3’e, 9’un katıysa 9’a bölünür. 3’e bölünmek 9’a bölünmeyi zorunlu kılmaz. Bu yöntem kalan bulmada da geçerlidir: toplam 17 ise 9 ile bölümden kalan 8’dir.

11’de artı ve eksi sırayla gelir

10 sayısı 11’e göre −1 gibi davranır; 100 ise +1 gibi. Bu yüzden sağdan başlayarak rakamlara sırayla + ve − işareti veririz. Elde edilen fark 11’in katıysa sayı 11’e bölünür. $\displaystyle 2728$ için $\displaystyle 8-2+7-2=11$ olduğundan sayı 11’in katıdır.

Kalan isteniyorsa negatif farkı uygun aralığa taşı: $\displaystyle 152$ için $\displaystyle 2-5+1=-2$ ; 11 ile bölümden kalan 9 olur. Yalnız bölünebilirliği incelerken soldan veya sağdan başlamak sonucu değiştirmez; kalan hesabında işaret yönünü korumak gerekir.

Kuralları birleştirmek için ortak çarpanı kontrol et

Aralarında asal iki pozitif bölenin her birine bölünen sayı, çarpımlarına da bölünür. Bu yüzden 6 için 2 ve 3; 12 için 3 ve 4; 15 için 3 ve 5 birlikte kontrol edilir.

Ortak çarpan varsa çarpımı kullanamayız. 12 hem 4’e hem 6’ya bölünür ama 24’e bölünmez. İki koşulun birlikte istediği şey, ileride göreceğimiz EKOK’a bölünmedir. Kural birleştirirken bu ayrımı koru.

Toplam, çarpım ve kuvvetlerde kalanla çalış

$\displaystyle A=bq+r$ ve $\displaystyle B=bp+s$ ise $\displaystyle A+B$ ’de b’nin katları dışında $\displaystyle r+s$ , çarpımda ise $\displaystyle rs$ kalır. Bu sonuçları yeniden b’ye bölerek kalanı $\displaystyle 0,1,\ldots,b-1$ aralığına indiririz. Pozitif tam sayı kuvvetleri de tekrar çarpma olduğundan aynı ilkeyle hesaplanır.

Örneğin 7’nin 5’e göre kalanı 2’dir; $\displaystyle 7^3$ ’ün kalanı $\displaystyle 2^3=8$ ’in kalanı olan 3’tür. Kalanları bölerken benzer bir kısayol otomatik geçerli değildir; önce özgün eşitliği kullanmak daha güvenlidir.

$\displaystyle A=bq+r$ , $\displaystyle 0\le r<b$ . Toplam ve çarpımda sayılar yerine kalanları kullan, sonucu yeniden bölenin aralığına indir.

Dikkat: İki sayıya bölünebilmek her zaman onların çarpımına bölünebilmek değildir. Kalan negatif olamaz ve bölenden küçük olmalıdır.

Asal çarpanlar, EBOB ve EKOK

Ortak parçayla ortak buluşma aynı şey değildir.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 9.3.2.2Tam sayılarda EBOB ve EKOK ile ilgili uygulamalar yapar.
MEB 9.3.2.3Gerçek hayatta periyodik olarak tekrar eden durumları içeren problemleri çözer.
Asal çarpanlardan bölen sayısını, EBOB ve EKOK’u bulur; parçalama ve periyodik tekrar modellerini kurar.

Sayının yapı taşlarını ayır

1’den büyük her pozitif tam sayı, asal sayıların çarpımı olarak yazılır. $\displaystyle 360=2^3\cdot3^2\cdot5$ gibi bir ayrışımda üsler, her asalın kaç kez bulunduğunu söyler. Asal çarpanlara ayırırken en küçük asal bölenle başlayıp bölüm 1 olana kadar sürdürebiliriz.

Bir bölen oluşturmak için bu asal çarpanların bir kısmını seçeriz. $\displaystyle 2^3$ ’ten 0, 1, 2 veya 3 tane 2 seçmek mümkündür; daha fazlası 360’ı bölmez. Bu seçim fikri hem bölen sayısını hem ortak böleni açıklar.

Pozitif bölen sayısı seçimlerin çarpımıdır

$\displaystyle N=p^a q^b$ ve p, q farklı asal sayılar olsun. Her pozitif bölen $\displaystyle p^i q^j$ biçimindedir; $\displaystyle 0\le i\le a$ , $\displaystyle 0\le j\le b$ . i için a+1, j için b+1 seçim vardır. Dolayısıyla pozitif bölen sayısı $\displaystyle (a+1)(b+1)$ olur; daha çok asal çarpanda yeni bir çarpan eklenir.

$\displaystyle 12=2^2\cdot3$ için $\displaystyle 3\cdot2=6$ pozitif bölen vardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Negatif bölenler de sayılıyorsa aynı sayıda negatif bölen eklenir. Tam karede bütün asal üsler çift olduğu için pozitif bölen sayısı tektir.

EBOB, iki sayının da verebildiği en büyük parçadır

$\displaystyle 24=2^3\cdot3$ ve $\displaystyle 36=2^2\cdot3^2$ olsun. Ortak bölenin üsleri iki sayıda bulunanı aşamaz. Bu nedenle ortak asalların küçük üslerini alırız: $\displaystyle \operatorname{EBOB}(24,36)=2^2\cdot3=12$ .

24 ve 36 birim uzunluğundaki iki şeridi hiç artmadan eşit ve olabildiğince büyük parçalara ayırmak, parça uzunluğunun iki sayıyı da bölmesini ister. En büyük uzunluk 12’dir; parça sayıları 2 ve 3 olur. EBOB uzunluğu verir, toplam parça sayısını değil.

Aynı ölçekteki 24 ve 36 birimlik şeritler 12 birimlik eş parçalara ayrılır; ilkinde iki, ikincide üç parça bulunur.

EKOK, ikisini de içinde taşıyan en küçük kattır

Ortak kat, her iki sayının asal çarpanlarını yeterli sayıda içermelidir. Bu kez büyük üsleri seçeriz: $\displaystyle \operatorname{EKOK}(24,36)=2^3\cdot3^2=72$ . Yalnız bir sayıda bulunan asal da ortak katın içinde yer alır.

24’lü ve 36’lı gruplarla ayrı ayrı tam doldurulabilecek en küçük pozitif miktar 72’dir. Pozitif iki tam sayı için $\displaystyle \operatorname{EBOB}(a,b)\operatorname{EKOK}(a,b)=ab$ . Üç sayıda aynı çarpım eşitliğini doğrudan kullanamayız.

İşlem adından önce modelin yönünü seç

“En büyük” gördüğün her soruda EBOB, “en küçük” gördüğün her soruda EKOK kullanılmaz. Önce arananın verilenleri bölen bir parça mı, yoksa verilenlerin katı olan bir miktar mı olduğuna karar ver. En az kutu sayısı istenirken kutu kapasitesini EBOB ile bulman gerekebilir.

Kenarları 24 ve 36 olan dikdörtgeni eş ve en büyük karelerle kaplarken kare kenarı 12, kare sayısı $\displaystyle (24/12)(36/12)=6$ olur. EBOB ile bulduğun ara değeri, sorunun istediği niceliğe dönüştürmeyi unutma.

Tekrar eden olayların ortak zamanı

Aynı anda başlayan ve 6 ile 8 dakikada bir tekrarlanan iki olay, başlangıçtan sonra ilk kez $\displaystyle \operatorname{EKOK}(6,8)=24$ dakika sonra birlikte olur. Başlangıç anı sayılıyorsa 0 ile 72 dakika arasında 0, 24, 48 ve 72 olmak üzere dört ortak gerçekleşme vardır; başlangıç hariçse üçtür.

Başlangıç anları farklıysa yalnız EKOK’u almak yetmez. Ortak zamanın iki olayın başlangıcına göre uygun kalanları vermesi gerekir. Haftanın günleri gibi döngülerdeyse geçen gün sayısının 7’ye göre kalanı, başlangıç gününden kaç gün ilerleyeceğini söyler.

Aynı anda başlayan 6 ve 8 dakikalık tekrarlar iki zaman doğrusunda gösterilir. Başlangıçtan sonraki ilk ortak işaret 24’tür.

EBOB ortak asalların küçük, EKOK tüm asalların büyük üsleriyle kurulur. İki pozitif tam sayıda $\displaystyle \operatorname{EBOB}(a,b)\operatorname{EKOK}(a,b)=ab$ .

Dikkat: EBOB veya EKOK işlemini yalnızca sorudaki en büyük/en küçük kelimesine bakarak seçme. Başlangıç anının sayılıp sayılmadığını kontrol et.