İş, Hareket ve Grafik Problemleri Konu Anlatımı – TYT Matematik

İşçi, birlikte iş yapma ve havuz

İşi bitirme süresini değil, bir saatte yapılan miktarı birleştirelim.

Ali ve Burak birlikte çalışıyor

Bir duvarı Ali tek başına altı saatte, Burak ise üç saatte tamamlıyor. İkisi birlikte çalışırsa sürelerin ortalamasını alıp dört buçuk saat mi buluruz? Burak zaten tek başına üç saatte bitiriyorsa, yardım gelince iş nasıl daha uzun sürebilir?

Duvarı on sekiz eş parçaya ayıralım. Ali bir saatte üç parça, Burak ise altı parça kaplıyor. Aynı saat içinde birlikte dokuz parça tamamladıkları için bütün duvarı iki saatte bitiriyorlar.

Burada birleştirmemiz gereken şey bitirme süreleri değil, aynı zaman içinde yapılan iş miktarlarıdır. İş, havuz ve hareket problemlerinde bu düşünceyi kullanacağız.

Ali ve Burak sabit hızla, birbirlerini engellemeden çalışır. 18 parçalık duvarda Ali bir saatte 3, Burak 6 parça tamamlar. Birlikte yapılan 9 parça duvarın yarısıdır; iki saatte bütün iş biter.

Ortak dil: birim zamanda ne kadar?

Ali ve Burak’ın sabit hızla, birbirlerini engellemeden çalıştığını kabul ediyoruz. Duvarı 18 parça yerine “1 bütün iş” diye ölçsek Ali saatte 1/6, Burak saatte 1/3 iş yapar. Toplamları 1/2 iştir; yine iki saat gerekir. Parçaların birimini değiştirdik, gerçek süreyi değiştirmedik. Birim zamanda yapılan miktara çalışma hızı diyoruz.

Bir muslukta bu miktar litre, bir araçta kilometre olabilir. Sabit hızda hepsinin ortak ilişkisi miktar = hız × süre olur. Grafik de zaman ilerledikçe bu miktarın nasıl değiştiğini gösterir. Önce işi “1 bütün” üzerinden yazmayı öğrenelim; sonra ortak iş, havuz, hareket ve grafiklerde aynı düşünceyi kullanacağız.

Ali’nin 1/6 ve Burak’ın 1/3 işleri aynı bütün üzerinde 1/2 eder. İki adet yarım iş bütün işi tamamlar: (1/6+1/3)·2=1.

İşi 1 kabul etmek neden hesabı kolaylaştırır?

“1 iş” duvarın bir parçası değil, tamamıdır. Bütün işi a saatte bitiren kişinin bir saatte yaptığı pay 1/a, t saatte yaptığı pay t/a olur. a bitirme süresi, 1/a ise saatlik hızdır. Bunları birbirine karıştırmamak için birimleriyle okuyabiliriz: saat ve iş/saat.

Kesirler uygun değilse bütünü ortak kat kadar birim seçebiliriz. Örneğin 6 ve 8 günde bitiren iki kişi için 24 birimlik iş seçince günlük hızlar 4 ve 3 olur. Açılıştaki 18 parçalık duvar gibi bu da yalnız bir ölçü seçimidir. Şimdi iki kişinin aynı sürede yaptığı payları toplayıp genel birlikte çalışma bağıntısını çıkaralım.

Birlikte çalışanların hızları toplanır

Aynı işi birbirini engellemeden yapan iki kişinin hızları $\displaystyle 1/a$ ve $\displaystyle 1/b$ ise ortak hız $\displaystyle 1/a+1/b$ olur. Bütün iş için $\displaystyle t(1/a+1/b)=1$ , yani $\displaystyle t=ab/(a+b)$ bulunur.

Bu formül sabit hızla birlikte çalışmanın sonucudur. Süreleri toplayıp ikiye bölmek doğru değildir. Pozitif hızlarla iki kişi birlikte çalışırken süre, her birinin tek başına süresinden küçük olmalıdır; bu karşılaştırma hızlı bir kontrol sağlar.

24 birimlik işte A günde 4, B günde 3 birim tamamlar. Aynı 24 hücreli şeritte birlikte bir günlük üretim yedi hücreyi doldurur.

Katılma ve ayrılmayı zaman aralıklarına böl

Bir kişi önce 2 gün yalnız, sonra ikisi 3 gün birlikte çalışıyorsa ilk iş $\displaystyle 2/a$ , ikinci iş $\displaystyle 3(1/a+1/b)$ olur. Tamamlandıysa bu parçaların toplamı 1’dir. Her zaman aralığında aktif çalışanlar farklı olabileceği için ortak hız yeniden yazılır.

İşin yarısı tamamlandıktan sonra bir çalışan ayrılıyorsa kalan iş 1/2’dir; kalan süre bu miktarın yeni hıza bölünmesiyle bulunur. Başlangıçtan beri geçen süre ile kalan süreyi karıştırma.

İşçi sayısı ve verim aynı şey değildir

Özdeş n işçi aynı süre çalışıyorsa ekip hızı tek işçinin n katıdır. Aynı işte işçi sayısı iki katına çıkınca süre yarıya iner. Fakat işçilerin hızları farklıysa yalnız sayıları toplamak yeterli değildir.

Bir işçi diğerinin iki katı verimliyse hızları 2v ve v, aynı işi bitirme süreleri t ve 2t olarak alınabilir. Verim arttığında süre azalır. Mola, vardiya veya günlük çalışma saati değişiyorsa gerçek çalışma süresini kullan.

Havuzda boşaltan hız çıkarılır

Bir musluk havuzu a saatte dolduruyor, bir gider dolu havuzu b saatte boşaltıyorsa ve hızlar sabitse net hız $\displaystyle 1/a-1/b$ havuz/saattir. Pozitif net hızda boş havuzun dolma süresi bu hızın tersidir. Net hız sıfırsa seviye değişmez; negatifse boş havuz bu düzenle dolmaz.

Musluk belirli seviyeden sonra devreye giriyorsa veya gider daha yukarıdaysa hareketi seviyelere göre bölmek gerekir. Havuzun dışında negatif su miktarı varmış gibi modeli uzatamayız. Başlangıç doluluğu da yapılacak kalan işi belirler.

Havuza giren akış +1/a, çıkan akış −1/b havuz/saattir. Su seviyesini değiştiren net hız bu iki yönlü etkinin farkıdır.

İş = hız × süre. Birlikte yapanların hızlarını topla, ters yönde etki eden hızları çıkar; çalışma düzeni değişince yeni bir zaman aralığı aç.

Dikkat: Bitirme süreleri toplanmaz. ab/(a+b) formülü yalnız iki sabit hızın bütün iş boyunca birlikte çalıştığı durumda doğrudan kullanılır.

Bu bölümün kazanımları

MEB 9.3.5.2Denklemler ve eşitsizlikler ile ilgili problemler çözer.
Sabit çalışma hızını iş/zaman oranıyla tanımlar; ortak iş, değişen ekip ve doldurma–boşaltma modellerini kurar.