İş, Hareket ve Grafik Problemleri

İşçi, birlikte iş yapma ve havuz

Süreleri değil, birim zamanda yapılan işi birleştir.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 9.3.5.2Denklemler ve eşitsizlikler ile ilgili problemler çözer.
Sabit çalışma hızını iş/zaman oranıyla tanımlar; ortak iş, değişen ekip ve doldurma–boşaltma modellerini kurar.

Bütün işi 1 kabul et

Bir işi a günde tek başına bitiren kişinin sabit günlük çalışma hızı $\displaystyle 1/a$ iştir. t günde yaptığı iş t/a olur. Burada a süre, 1/a hızdır; aynı nicelik değildir.

İşi 1 yerine uygun bir ortak kat kadar birim seçmek de mümkündür. Biri 6, diğeri 8 günde bitiriyorsa işi 24 birim seçip hızlarını günde 4 ve 3 birim yazabiliriz. Ölçek değişir ama süre sonucu değişmez.

Birlikte çalışanların hızları toplanır

Aynı işi birbirini engellemeden yapan iki kişinin hızları $\displaystyle 1/a$ ve $\displaystyle 1/b$ ise ortak hız $\displaystyle 1/a+1/b$ olur. Bütün iş için $\displaystyle t(1/a+1/b)=1$ , yani $\displaystyle t=ab/(a+b)$ bulunur.

Bu formül sabit hızla birlikte çalışmanın sonucudur. Süreleri toplayıp ikiye bölmek doğru değildir. Pozitif hızlarla iki kişi birlikte çalışırken süre, her birinin tek başına süresinden küçük olmalıdır; bu karşılaştırma hızlı bir kontrol sağlar.

24 birimlik işte A günde 4, B günde 3 birim tamamlar. Aynı 24 hücreli şeritte birlikte bir günlük üretim yedi hücreyi doldurur.

Katılma ve ayrılmayı zaman aralıklarına böl

Bir kişi önce 2 gün yalnız, sonra ikisi 3 gün birlikte çalışıyorsa ilk iş $\displaystyle 2/a$ , ikinci iş $\displaystyle 3(1/a+1/b)$ olur. Tamamlandıysa bu parçaların toplamı 1’dir. Her zaman aralığında aktif çalışanlar farklı olabileceği için ortak hız yeniden yazılır.

İşin yarısı tamamlandıktan sonra bir çalışan ayrılıyorsa kalan iş 1/2’dir; kalan süre bu miktarın yeni hıza bölünmesiyle bulunur. Başlangıçtan beri geçen süre ile kalan süreyi karıştırma.

İşçi sayısı ve verim aynı şey değildir

Özdeş n işçi aynı süre çalışıyorsa ekip hızı tek işçinin n katıdır. Aynı işte işçi sayısı iki katına çıkınca süre yarıya iner. Fakat işçilerin hızları farklıysa yalnız sayıları toplamak yeterli değildir.

Bir işçi diğerinin iki katı verimliyse hızları 2v ve v, aynı işi bitirme süreleri t ve 2t olarak alınabilir. Verim arttığında süre azalır. Mola, vardiya veya günlük çalışma saati değişiyorsa gerçek çalışma süresini kullan.

Havuzda boşaltan hız çıkarılır

Bir musluk havuzu a saatte dolduruyor, bir gider dolu havuzu b saatte boşaltıyorsa ve hızlar sabitse net hız $\displaystyle 1/a-1/b$ havuz/saattir. Pozitif net hızda boş havuzun dolma süresi bu hızın tersidir. Net hız sıfırsa seviye değişmez; negatifse boş havuz bu düzenle dolmaz.

Musluk belirli seviyeden sonra devreye giriyorsa veya gider daha yukarıdaysa hareketi seviyelere göre bölmek gerekir. Havuzun dışında negatif su miktarı varmış gibi modeli uzatamayız. Başlangıç doluluğu da yapılacak kalan işi belirler.

Havuza giren akış +1/a, çıkan akış −1/b havuz/saattir. Su seviyesini değiştiren net hız bu iki yönlü etkinin farkıdır.

İş = hız × süre. Birlikte yapanların hızlarını topla, ters yönde etki eden hızları çıkar; çalışma düzeni değişince yeni bir zaman aralığı aç.

Dikkat: Bitirme süreleri toplanmaz. ab/(a+b) formülü yalnız iki sabit hızın bütün iş boyunca birlikte çalıştığı durumda doğrudan kullanılır.

Hareket ve hız problemleri

Konum, yol ve zamanın görevlerini ayır.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 9.3.5.2Denklemler ve eşitsizlikler ile ilgili problemler çözer.
Sabit hız, bağıl hız, ortalama sürat ve parçalı hareketi doğru birimlerle modeller.

Yol, hızın zaman boyunca birikmesidir

Sabit süratte $\displaystyle L=vt$ olur. L alınan yol, v birim zamanda alınan yol, t süredir. 60 km/sa hızla 30 dakika gitmek için t=1/2 saat alınır ve yol 30 km bulunur. Dakikayı saat hızına doğrudan yerleştiremeyiz.

Birim dönüşümünde $\displaystyle 1\ \mathrm{m/s}=3{,}6\ \mathrm{km/sa}$ olur; bir saatte 3600 saniye, bir kilometrede 1000 metre vardır. Bir yolun farklı kısımlarında hız değişirse her bölüm için ayrı L=vt yazılır.

Karşılaşmada aradaki mesafe kapanır

Birbirine doğru giden iki araç arasındaki başlangıç mesafesi L ise her saatte aralık $\displaystyle v_1+v_2$ kadar azalır. Bu nedenle karşılaşma süresi $\displaystyle t=L/(v_1+v_2)$ ’dir. Aynı yönde gidiyorlarsa aralık hız farkıyla değişir; arkadaki daha hızlıysa yakalama süresi $\displaystyle L/(v_{\text{arka}}-v_{\text{ön}})$ olur.

Bu hızlar “bağıl hız”dır: bir aracı sabit kabul ettiğinde diğerinin ona göre hareketini ölçer. Başlangıç anları farklıysa önce erken çıkanın aldığı yolu hesaplayıp ortak zaman başlangıcındaki aralığı bul.

A ve B birbirine doğru ilerler. Karşılaşma anına kadar aldıkları v₁t ve v₂t yollarının toplamı başlangıç mesafesi L’yi tamamlar.

Konum grafiği eğimi hızı anlatır

Yatay ekseni zaman, düşey ekseni konum olan bir grafikte doğru parçasının eğimi $\displaystyle \Delta x/\Delta t$ işaretli hızı verir. Yatay parça konumun değişmediğini, aşağı eğimli parça seçilen pozitif yönün tersine gidildiğini gösterir.

Bir araç 0 konumundan 2 saatte 100 km’ye gidip 1 saat beklesin, sonra 1 saatte 0’a dönsün. Grafikte önce yükselen, sonra yatay, sonra alçalan üç parça vardır. Geri dönmek, daha önce aldığı yolun silinmesi değildir.

Konum grafiği: (0,0) → (2,100) → (3,100) → (4,0). Araç bir saat bekler, son saatte başlangıca döner.

Ortalama sürat toplam yol bölü toplam süredir

$\displaystyle v_{\text{ort}}=L_{\text{toplam}}/t_{\text{toplam}}$ . Yol boyunca 40 ve 60 km/sa ile eşit süre gidiliyorsa ortalama 50’dir. Eşit yol gidiliyorsa süreler farklıdır ve ortalama $\displaystyle 2v_1v_2/(v_1+v_2)$ olur; 40 ve 60 için 48 km/sa çıkar.

Grafikteki gidiş–bekleme–dönüşte toplam yol 200 km, toplam süre 4 saat olduğundan ortalama sürat 50 km/sa’tir. Net yer değiştirme sıfır olduğundan işaretli ortalama hız sıfırdır. Sorudaki “ortalama hız” ifadesinin toplam yol mu yer değiştirme mi kullandığını bağlamdan ayır; molalar toplam seyahat süresine dahildir.

Tren ve dairesel pistte kapanan uzunluğu bul

Bir trenin direği tamamen geçmesi için kendi uzunluğu kadar, tüneli tamamen geçmesi için tren + tünel uzunluğu kadar yol alması gerekir. İki tren birbirini tamamen geçecekse uzunlukları toplanır; süre için uygun bağıl hıza bölünür.

Çevresi C olan pistte aynı noktadan zıt yönlerde çıkanlar ilk kez $\displaystyle C/(v_1+v_2)$ sonra karşılaşır. Aynı yönde, farklı hızlarla çıkanlarda hızlı olan bir tur fark attığında yetişir: $\displaystyle C/|v_1-v_2|$ . Başlangıç noktaları farklıysa önce aradaki yay uzunluğunu modele kat.

Akıntı ve yürüyen bantta referansı belirt

Durgun sudaki tekne sürati v, akıntı sürati u ise kıyıya göre akıntı yönünde v+u, ters yönde v−u olur. Ters yönde ilerlemek için v>u gerekir. Süreleri kıyıya göre alınan yol üzerinden bu hızlarla hesaplarız.

Yürüyen bantta da kişinin banda göre hareketi ile bandın yere göre hareketi birlikte düşünülür. Yönler aynıysa hızlar toplanır, tersse çıkarılır. Her problemde hızın neye göre verildiğini açık tutmak yanlış toplamı önler.

Sabit süratte $\displaystyle L=vt$ . Karşılaşma/yakalama için aralığın kapanma hızını; ortalama sürat için toplam yol/toplam süreyi kullan.

Dikkat: Farklı hızların aritmetik ortalaması yalnız eşit sürelerde doğrudan geçerlidir. Dönüş yolunu negatif yol diye toplamdan çıkarma.

Tablo, grafik ve çok adımlı problemler

Görseldeki veriyi ilişkiye dönüştür.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 9.3.5.2Denklemler ve eşitsizlikler ile ilgili problemler çözer.
Tablo ve grafiklerden birimli veri okur; parçalı tarifeleri, eşik değerleri ve çok adımlı süreçleri modeller.

Önce eksen, birim ve ölçeği oku

Bir grafikte 4 yüksekliğindeki sütun 4 kişi, 4 bin kişi veya %4 anlamına gelebilir. Başlık, eksen adı ve birim bunu belirler. İşaret aralıklarının eşit olup olmadığını ve düşey eksenin sıfırdan başlayıp başlamadığını kontrol et.

Tabloda satır ve sütunun kesişimi tek bir veri verir. Bir satırın toplamıyla diğer satırın tek hücresini karşılaştırmak farklı nicelikleri karıştırabilir. Önce arananın hangi hücreler veya farklar arasında ilişki kurduğunu belirle.

Toplam ve değişim farklı sorulardır

Bir depodaki ürün sayısı pazartesi 80, salı 95 ise net artış 15’tir. Bu bilgi tek başına salı 15 ürün geldiğini göstermez; 30 ürün gelip 15 ürün çıkmış olabilir. Stok için son = ilk + giriş − çıkış eşitliği kullanılır.

Benzer biçimde satış tutarı ile satılan adet aynı değildir. Tutarı bulmak için her ürünün adedini kendi fiyatıyla çarpıp sonuçları toplamak gerekir. Birimleri eşleşmeyen sayıları aynı toplamın içine koyma.

Başlangıç stoku 80’e 30 ürün gelir, 15 ürün çıkar; son stok 95 olur. Net artış 15 olmasına rağmen giriş 30’dur.

Tarifeyi tek doğru sanma

İlk 10 birimi 4 liradan, sonraki her birimi 3 liradan ücretlenen kullanımda x≤10 için ücret 4x’tir. x>10 için ilk bölümün ücreti sabit 40, ek bölüm $\displaystyle 3(x-10)$ olur: $\displaystyle 40+3(x-10)$ .

Burada bütün kullanımın 3 liraya düşmesi ile yalnız 10’u aşan kısmın 3 liradan ücretlenmesi farklı modellerdir. “Her başlayan saat” deniyorsa süre kesirliyken ücret bir üst tam saate göre alınabilir. Eşiklerde hangi parçanın geçerli olduğunu metinden belirle.

İki seçeneği eşitle, sonra hangi tarafta olduğunu incele

A planı 20 lira sabit ücret + birim başına 5 lira, B planı 50 lira + birim başına 3 lira olsun. Eşitlik $\displaystyle 20+5x=50+3x$ ile x=15’te sağlanır. Daha küçük kullanımlarda A, daha büyüklerde B ucuzdur.

Sonuç kullanımın izin verilen aralığında olmalı. x yalnız tam sayı olabiliyorsa aradaki kesirli eşik, ilk uygun tam sayıya göre yorumlanır. Karşılaştırma “en az”, “daha ucuz” veya “eşit” olduğunda sınırın dahil oluşu değişir.

A=20+5x ve B=50+3x tarifeleri x=15, ücret=95 noktasında eşitlenir. Bu noktanın solunda A, sağında B daha aşağıdadır ve daha ucuzdur.

Çok adımı küçük bir kayıt düzeniyle yönet

Bir düzenekte önce ürün ekleniyor, sonra bir kısmı satılıyor, ardından kalanlar paketleniyorsa her aşamadaki miktarı ayrı satıra yaz. Son satırın girdisi bir öncekinin çıktısıdır; başlangıçtaki miktarı her aşamada tekrar kullanma.

Koşulları tabloya yerleştirmek veya küçük geçerli durumları sistemli listelemek yararlıdır. Ancak birkaç örneğin uyması bütün olasılıkları kapsadığını göstermez. Sonucun tekliğini, aralık veya tam sayı kısıtlarının diğer adayları nasıl elediğini açıklayarak doğrula.

Başlık ve birim → doğru hücre veya grafik parçası → ilişki → denklem/eşitsizlik → sınır ve bağlam kontrolü.

Dikkat: Grafikteki net artış toplam giriş miktarı değildir. Bir eşikten sonra değişen ücretin yalnız aşan kısma mı, tüm miktara mı uygulandığını kontrol et.