Sayılar ve İşlemler Konu Anlatımı – TYT Matematik

Sayı kümeleri ve işlem önceliği

Saymak için bulduğumuz sayılar, paylaşmaya ve borç anlatmaya yetiyor mu?

Üç pasta, dört kişi

Masada üç pasta var, karşımızda da dört kişi. Pastaları hiç bölmeden paylaştırırsak bir kişiye pasta kalmıyor. Peki pastaları eşit bölersek, bir kişiye düşen payı hangi sayıyla anlatacağız?

Her pastayı dört eş parçaya bölelim. Herkes üç pastanın her birinden bir çeyrek alırsa kişi başına üç çeyrek pasta düşer. Burada yalnızca sıfır, bir, iki, üç diye saymak yetmedi; bir bütünün parçasını anlatabilmek için üç bölü dört gibi sayılara ihtiyaç duyduk.

Aynı sayı dili borçları anlatırken de karşımıza çıkar. Cebimizdeki üç lirayı harcayıp iki lira borçlanırsak, bu durumu eksi ikiyle gösteririz. Sayılar, anlatmak istediğimiz durumlar çoğaldıkça genişler.

Üç eş pasta dörder parçaya ayrılır. Her pastadan bir çeyrek alan kişinin payı 1/4+1/4+1/4=3/4 pastadır; dört kişinin toplam payı üç pastayı tamamlar.

Bir sayı bazen adet, bazen durum, bazen pay anlatır

Çizimde üç farklı durumu aynı sayı doğrusu üzerinde işaretledik: 3 pasta adedini, 3/4 bir kişinin payını, −2 ise borcu anlatıyor. 3/4, sıfır ile bir arasında; −2, sıfırın solunda yer alır. Eksi işareti burada eksi iki madeni para bulunduğunu değil, borcumuz olduğunu gösterir.

Sayı kümeleri, hangi sayıları birlikte ele aldığımızı adlandırır; işlemler de bu miktarların nasıl birleştiğini veya değiştiğini anlatır. Önce sayma, paylaşma ve borç örneklerindeki sayıların hangi kümelere ait olduğunu belirleyelim. Sonra yönü, işareti ve işlem sırasını kuracağız.

Eş ölçekli sayı doğrusunda −2 borcu, 3/4 bir pasta payını, 3 pasta sayısını temsil eder. 3/4 noktası 0 ile 1 arasındadır.

Örneklerin sayı dilindeki adları

Pastaları sayarken kullandığımız $\displaystyle \mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ kümesi doğal sayılardır. Negatifleri de ekleyince $\displaystyle \mathbb Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$ tam sayılarını elde ederiz. Paylaştırmadaki 3/4 gibi, $\displaystyle a,b\in\mathbb Z$ ve $\displaystyle b\ne0$ olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı deriz; kümesi $\displaystyle \mathbb Q$ ile gösterilir.

Her tam sayı paydası 1 olan bir kesir olarak yazılır: 3=3/1. Bu yüzden yeni kümeye geçerken eskileri kaybetmeyiz; $\displaystyle \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q$ . Peki her uzunluk mutlaka iki tam sayının oranı olarak yazılabilir mi? Şimdi bu dilin de sınırını göreceğiz.

İç içe bölgelerde doğal sayılar tam sayıların, tam sayılar rasyonellerin, rasyoneller gerçeklerin içindedir. √2 ve π rasyonellerin dışında, gerçeklerin içindedir.

Kesir olarak yazılamayanlar da var

Ondalık açılımı sonlu veya devirli olan sayılar rasyoneldir. $\displaystyle \sqrt2$ ve $\displaystyle \pi$ gibi ondalık açılımı sonsuz olup devirli olmayan sayılar irrasyoneldir. Rasyoneller ve irrasyoneller birlikte gerçek sayıları, $\displaystyle \mathbb R$ ’yi oluşturur. Bir sayı hem rasyonel hem irrasyonel olamaz.

Kök işareti tek başına irrasyonellik göstermez: $\displaystyle \sqrt9=3$ rasyoneldir. İki irrasyonelin toplamı veya çarpımı da rasyonel çıkabilir: $\displaystyle \sqrt2+(-\sqrt2)=0$ ve $\displaystyle \sqrt2\cdot\sqrt2=2$ . Küme üyeliğine işlemin sonucundan karar ver.

Sayı doğrusunda yön ve uzaklık

Sayı doğrusunda eşit aralıklar eşit farkları gösterir; sağa gidildikçe sayı büyür. Bu yüzden $\displaystyle -3<-1<0<2$ . Negatiflerde sıfırdan daha uzakta olmak daha büyük olmak değildir: −3, −1’in solundadır.

Toplamayı yönlü ilerleme olarak düşünebilirsin. $\displaystyle -3+5=2$ işleminde −3’ten beş birim sağa gideriz. Çıkarmak karşıtını eklemektir: $\displaystyle a-b=a+(-b)$ . Bu nedenle $\displaystyle 4-(-2)=4+2=6$ .

−3’ten başlayan beş birimlik sağa hareket 2’de biter; eşit aralıklar bir birimdir.

Çarpma ve bölmede işaret

Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif, farklı işaretlilerin çarpımı negatiftir. Negatifle negatifin neden pozitif olduğunu dağıtma özelliği gösterir: $\displaystyle (-2)(3+(-3))=0$ . İlk çarpım −6 olduğuna göre ikinci çarpım +6 olmalıdır.

Bir çarpımda sıfır çarpanı varsa sonuç sıfırdır. Sıfır yoksa negatif çarpan sayısı çiftken sonuç pozitif, tekken negatiftir. Bölmede de aynı işaret kuralı geçerlidir; ancak sıfıra bölme tanımsızdır. $\displaystyle 0/5=0$ iken $\displaystyle 5/0$ ve $\displaystyle 0/0$ birer gerçek sayı değildir.

İşlemlerin sırası anlamı korur

Önce parantez içi, sonra üsler, ardından çarpma–bölme, en son toplama–çıkarma yapılır. Aynı öncelikteki işlemler soldan sağa yürütülür: $\displaystyle 24/6\cdot2=4\cdot2=8$ . Çarpma, bölmeden önce gelmez.

$\displaystyle 2+3\cdot4=14$ iken $\displaystyle (2+3)\cdot4=20$ olur. Kesir çizgisi de payı ve paydayı ayrı ayrı gruplayan bir parantez gibi çalışır. Üs işaretinin kapsamını ayrıca kontrol et: $\displaystyle -2^2=-4$ , fakat $\displaystyle (-2)^2=4$ .

Hangi özelliği kullanıyorsun?

Toplama ve çarpmada yer değiştirme ve gruplama sonucu değiştirmez. Çıkarma ve bölmede aynı serbestlik yoktur: $\displaystyle 8-3\ne3-8$ . Dağıtma özelliği $\displaystyle a(b+c)=ab+ac$ biçimindedir; parantezin dışındaki eksi de −1 ile çarpmaktır: $\displaystyle -(a-b)=-a+b$ .

Toplamanın etkisiz elemanı 0, çarpmanınki 1’dir. Bir sayının toplama tersi karşıtı, sıfırdan farklı bir sayının çarpma tersi $\displaystyle 1/a$ ’dır. İşlemi kısaltırken bu özelliklerden hangisini kullandığını bilmek, işaret hatasını yakalamanı sağlar.

$\displaystyle \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$ . Önce işlemin kapsamını, sonra önceliğini, en son işaretini kontrol et.

Dikkat: Negatif bir sayının mutlak büyüklüğü arttıkça sayı büyümez; sayı doğrusunda sola gider. Sıfır pozitif de negatif de değildir.

Bu bölümün kazanımları

MEB 9.3.1.1Sayı kümelerini birbiriyle ilişkilendirir.
Sayıları ait oldukları kümelerle ilişkilendirir; işaret ve işlem önceliğini gerekçelendirir.