Sayılar ve İşlemler

Ondalık açılımı sonlu veya devirli olan sayılar rasyoneldir. $\displaystyle \sqrt2$ ve $\displaystyle \pi$ gibi ondalık açılımı sonsuz olup devirli olmayan sayılar irrasyoneldir. Rasyoneller ve irrasyoneller birlikte gerçek sayıları, $\displaystyle \mathbb R$’yi oluşturur. Bir sayı hem rasyonel hem irrasyonel olamaz.

Kök işareti tek başına irrasyonellik göstermez: $\displaystyle \sqrt9=3$ rasyoneldir. İki irrasyonelin toplamı veya çarpımı da rasyonel çıkabilir: $\displaystyle \sqrt2+(-\sqrt2)=0$ ve $\displaystyle \sqrt2\cdot\sqrt2=2$. Küme üyeliğine işlemin sonucundan karar ver.

Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif, farklı işaretlilerin çarpımı negatiftir. Negatifle negatifin neden pozitif olduğunu dağıtma özelliği gösterir: $\displaystyle (-2)(3+(-3))=0$. İlk çarpım −6 olduğuna göre ikinci çarpım +6 olmalıdır.

Bir çarpımda sıfır çarpanı varsa sonuç sıfırdır. Sıfır yoksa negatif çarpan sayısı çiftken sonuç pozitif, tekken negatiftir. Bölmede de aynı işaret kuralı geçerlidir; ancak sıfıra bölme tanımsızdır. $\displaystyle 0/5=0$ iken $\displaystyle 5/0$ ve $\displaystyle 0/0$ birer gerçek sayı değildir.

Önce parantez içi, sonra üsler, ardından çarpma–bölme, en son toplama–çıkarma yapılır. Aynı öncelikteki işlemler soldan sağa yürütülür: $\displaystyle 24/6\cdot2=4\cdot2=8$. Çarpma, bölmeden önce gelmez.

$\displaystyle 2+3\cdot4=14$ iken $\displaystyle (2+3)\cdot4=20$ olur. Kesir çizgisi de payı ve paydayı ayrı ayrı gruplayan bir parantez gibi çalışır. Üs işaretinin kapsamını ayrıca kontrol et: $\displaystyle -2^2=-4$, fakat $\displaystyle (-2)^2=4$.

Toplama ve çarpmada yer değiştirme ve gruplama sonucu değiştirmez. Çıkarma ve bölmede aynı serbestlik yoktur: $\displaystyle 8-3\ne3-8$. Dağıtma özelliği $\displaystyle a(b+c)=ab+ac$ biçimindedir; parantezin dışındaki eksi de −1 ile çarpmaktır: $\displaystyle -(a-b)=-a+b$.

Toplamanın etkisiz elemanı 0, çarpmanınki 1’dir. Bir sayının toplama tersi karşıtı, sıfırdan farklı bir sayının çarpma tersi $\displaystyle 1/a$’dır. İşlemi kısaltırken bu özelliklerden hangisini kullandığını bilmek, işaret hatasını yakalamanı sağlar.

Çarpımın tek olması bütün tam sayı çarpanlarının tek olmasını gerektirir. Çarpım çiftse en az bir çarpan çifttir; hepsinin çift olması gerekmez. Bir tam sayının pozitif tam sayı kuvveti, tabanın tek–çift özelliğini korur.

Bölmede böyle bir tabloyu koşulsuz kullanamayız: çift/çift için $\displaystyle 8/2=4$, $\displaystyle 6/2=3$, $\displaystyle 2/4=1/2$ olabilir. Sonucun tam sayı olup olmadığı bile baştan belli değildir. Tek–çift çıkarımı yapmadan önce değişkenlerin tam sayı olduğu bilgisini ara.

Ardışık tam sayılar $\displaystyle n,n+1,n+2,\ldots$ biçimindedir. Ardışık çiftler veya ardışık tekler ikişer artar. Üç ardışık tam sayıyı $\displaystyle x-1,x,x+1$ yazmak toplamı $\displaystyle 3x$ olarak görmeyi sağlar; beş ardışık tek sayıda orta sayıdan uzaklıklar 2 ve 4’tür.

Terimler eşit miktarda artıyorsa terim sayısı $\displaystyle (\text{son}-\text{ilk})/\text{artış}+1$ olur. +1, ilk terimi de saydığımız içindir. 4, 7, 10, 13 dizisinde üç aralık ama dört terim vardır.

Eşit artışlı bir listedeki ilk ve son terimin toplamı, ikinci ve sondan ikinci terimin toplamına eşittir. Listeyi bir de ters sırada yazıp toplarsak her sütunda aynı toplam çıkar. Böylece $\displaystyle S=n(\text{ilk}+\text{son})/2$ elde edilir.

Buradan $\displaystyle 1+2+\cdots+n=n(n+1)/2$, ilk n pozitif çiftin toplamı $\displaystyle n(n+1)$ ve ilk n pozitif tekin toplamı $\displaystyle n^2$ çıkar. Ortalama, eşit artışlı listenin ilk ve son teriminin ortalamasıdır; herhangi bir düzensiz listeye bu kolaylığı taşıyamayız.

1’den büyük, yalnızca 1’e ve kendisine bölünen pozitif tam sayılar asaldır. 2 en küçük ve tek çift asal sayıdır. 1 asal değildir; yalnızca bir pozitif böleni vardır. Negatif tam sayıları bu tanımda asal saymayız.

Bir $\displaystyle n>1$ sayısı bileşikse $\displaystyle n=ab$ biçiminde 1’den büyük çarpanlara ayrılır. İki çarpan da $\displaystyle \sqrt n$’den büyük olamaz. Bu nedenle asallık kontrolünde $\displaystyle \sqrt n$’ye kadar olan asal bölenleri denemek yeterlidir. 97 için 2, 3, 5 ve 7’yi kontrol etmek bu yüzden yeterli olur.

İki pozitif tam sayının 1 dışında ortak pozitif böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Kendilerinin asal olması gerekmez: 8 ve 9 aralarında asaldır. Ardışık iki pozitif tam sayının ortak böleni farkları olan 1’i de bölmek zorunda olduğundan bu sayılar aralarında asaldır.

Farklı iki asal sayı da aralarında asaldır; aynı asalın iki kopyası değildir. Bir kesrin payı ile paydası aralarında asalsa kesir en sade durumdadır. Bu kavramı ileride EBOB ile $\displaystyle \operatorname{EBOB}(a,b)=1$ olarak yazacağız.

İki basamaklı $\displaystyle \overline{ab}=10a+b$; üç basamaklı $\displaystyle \overline{abc}=100a+10b+c$ olur. Burada a, b, c birer rakamdır; ilk rakam a sıfır olamaz. Harflerin farklı olduğu söylenmedikçe aynı rakamı temsil etmeleri mümkündür.

Dört basamak için katsayılar 1000, 100, 10 ve 1’dir. Genel kural, sağdan sola doğru 10’un kuvvetleriyle çarpmaktır. Böylece harfli bir basamak sorusu, rakam kısıtları olan bir denkleme dönüşür.

Bir doğal sayı N’nin sağına b rakamını eklemek $\displaystyle 10N+b$ sayısını oluşturur. Sağına 0 eklemek 10 ile çarpmaktır; iki rakamlı bir blok eklemekse önce 100 ile çarpmayı gerektirir. Sola rakam eklerken mevcut sayının kaç basamaklı olduğu önemlidir.

Son rakamı b olan N sayısını $\displaystyle N=10q+b$ yazabiliriz. Son rakam silinince q kalır; N’den yalnızca b çıkarmak silme işlemi değildir. Örneğin 347’den 7 çıkınca 340 kalır; son rakam silinince 34 kalır.

Basamak sayısı sabitse soldaki basamak daha etkilidir: yüzlerde 1 artış, onlar ve birlerdeki her değişimden büyüktür. Verilen rakamlarla en büyük sayıyı kurarken büyükleri sola yerleştiririz. En küçük sayıda ise ilk yere sıfırdan farklı en küçük rakam, sonra varsa sıfır, ardından kalanlar küçükten büyüğe gelir.

“Rakamları farklı”, “çift sayı” veya “üç basamaklı” gibi her koşul bir yeri sınırlar. Çiftlik son rakamı, basamak sayısı ilk rakamı belirler. Bulduğun adayın bütün koşulları aynı anda sağladığını kontrol et.

$\displaystyle 2/3$’ün $\displaystyle 3/4$’ü, $\displaystyle 3/4\cdot2/3=1/2$’dir. Genel çarpım $\displaystyle (a/b)(c/d)=ac/(bd)$ olur. Ortak çarpanları işlemden önce sadeleştirmek yalnızca sayıları küçültür; sonucu değiştirmez.

Bir kesre bölmek onun çarpma tersiyle çarpmaktır: $\displaystyle (a/b)/(c/d)=ad/(bc)$; b, c ve d sıfır olamaz. Bunun nedeni $\displaystyle (c/d)(d/c)=1$ olmasıdır. Toplamın içindeki terimler sadeleştirilemez; sadeleşenler çarpanlardır.

Pozitif kesirlerde paydalar eşitse payı büyük olan büyüktür; paylar eşitse paydası küçük olan büyüktür. Pozitif paydalı $\displaystyle a/b$ ve $\displaystyle c/d$ için $\displaystyle ad$ ile $\displaystyle bc$ karşılaştırılabilir. Paydaların işaretleri belli değilse çapraz çarpmanın yönünü doğrudan kullanma.

Önce 0, 1 veya $\displaystyle 1/2$ gibi bir referansa bakmak işi kısaltabilir. $\displaystyle 7/8$ ile $\displaystyle 8/9$’un 1’e uzaklıkları $\displaystyle 1/8$ ve $\displaystyle 1/9$ olduğundan $\displaystyle 8/9$ daha büyüktür. Negatiflerin sıralamasında pozitif büyüklüklerin sırası tersine döner.

$\displaystyle 2{,}375=2+3/10+7/100+5/1000=2375/1000$. Ondalık sayıları toplarken virgüller alt alta gelir; çünkü aynı basamaklar toplanmalıdır. Çarpmada önce virgülsüz çarpıp iki sayının toplam ondalık basamak sayısı kadar yer ayırırız. Bölmede böleni tam sayı yapmak için bölünen ve böleni aynı 10 kuvvetiyle çarparız.

Sade bir kesrin pozitif paydası yalnızca 2 ve 5 asal çarpanlarından oluşuyorsa ondalık açılımı sonludur. Çünkü bu payda bir 10 kuvvetine genişletilebilir. Başka asal çarpan varsa açılım devirlidir.

$\displaystyle x=0{,}\overline{27}$ yazalım. Devir iki basamaklı olduğu için $\displaystyle 100x=27{,}\overline{27}$ olur. İki eşitliği çıkarınca sonsuz kuyruklar gider: $\displaystyle 99x=27$, yani $\displaystyle x=27/99=3/11$.

Devretmeyen kısım varsa iki kaydırma gerekir. $\displaystyle x=0{,}1\overline6$ için $\displaystyle 10x=1{,}\overline6$ ve $\displaystyle 100x=16{,}\overline6$; farkları $\displaystyle 90x=15$ verir. Böylece $\displaystyle x=1/6$. Virgülden sonraki her sonsuz açılım devirli değildir; devirli olma rasyonelliğin özel koşuludur.