Denklemler ve Eşitsizlikler Konu Anlatımı – TYT Matematik

Birinci dereceden denklemler

Kapalı kutunun içini açmadan, eşitlik bilgisinden miktarını bulalım.

Kapalı kutulardaki ağırlık

Kapalı iki kutunun içinde eşit miktarda ağırlık var. Terazinin bir kefesinde bu iki kutuya ek olarak üç birim, diğer kefesinde ise on bir birim bulunuyor ve terazi dengede. Kutuları açmadan içlerinde ne olduğunu bulabilir miyiz?

İki kefeden de üç birimlik ağırlığı çıkarırsak denge bozulmaz. Geriye iki kutuya karşılık sekiz birim kalır. Kutular eşit olduğuna göre sekizi ikiye böleriz ve her kutunun dört birim taşıdığını buluruz.

Denklem çözerken yaptığımız şey, bilinmeyeni sihirli biçimde karşı tarafa geçirmek değildir. Eşitliği bozmadan iki tarafa da aynı işlemi uygulamaktır.

Eşit miktar taşıyan iki kutu ve 3 birim, 11 birimle dengededir. Kutuların her birinin bilinmeyen ağırlığı x ile gösterilir.

Denklem çözmek, eşitliği bozmadan bilgiyi açığa çıkarmaktır

Bir kutudaki miktara x dersek terazideki bilgi 2x+3=11 olur. İki taraftan da 3 çıkarınca 2x=8; iki tarafı da 2’ye bölünce x=4 elde ederiz. “3 karşıya geçti” diye anlatılan adımda aslında iki taraftan aynı miktarı çıkardık.

Bir denklem, bilinmeyenin hangi değerlerinde iki ifadenin eşit olduğunu sorar. Bir eşitsizlik ise hangi tarafın büyük veya küçük olduğunu belirtir. Önce eşitliği koruyan işlemleri anlayacağız; ardından bu işlemlerin sıralama bilgisini nasıl etkilediğine geçeceğiz. Böylece her soruda yeni bir taşıma kuralı ezberlemek yerine hangi bilgiyi koruduğumuzu izleyeceğiz.

2x+3=11 eşitliğinin iki tarafına aynı işlemler uygulanır: önce −3, sonra ÷2. Sonuç x=4’tür.

Bulduğumuz değer gerçekten çözüm mü?

x=4’ü ilk eşitliğe geri koyalım: 2·4+3=11. İki taraf aynı olduğundan 4 bir çözümdür. Amacımız yalnız x’i yalnız bırakmak değil; başlangıçtaki eşitliği sağlayan bütün değerleri bulmaktır. İki tarafa aynı sayıyı eklemek veya çıkarmak, sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpmak veya bölmek çözüm kümesini korur.

Bilinmeyen bir ifadeye bölmekte ise durmalıyız: o ifade sıfır olabiliyorsa bazı çözümleri kaybedebiliriz. Birazdan parantezli ve kesirli denklemleri düzenlerken bu yüzden hem aynı işlemi iki tarafa uygulayacak hem de tanım koşullarını izleyeceğiz.

Dengedeki terazinin solunda iki x ve 3 birim, sağında 11 birim vardır. Her iki taraftan 3 çıkarınca denge korunur ve 2x=8 kalır.

Parantez ve kesirleri sırayla düzenle

Önce dağıtma özelliğiyle parantezleri aç, benzer terimleri birleştir. $\displaystyle 3(x-2)+x=10$ denkleminde $\displaystyle 4x-6=10$ , ardından $\displaystyle x=4$ olur. Eksi işaretini bütün paranteze dağıtmak gerekir.

Kesirli denklemde iki tarafı ortak payda ile çarparak kesirlerden kurtulabiliriz: $\displaystyle x/2+x/3=5$ için iki tarafı 6 ile çarpınca $\displaystyle 3x+2x=30$ olur. Paydada bilinmeyen varsa önce paydayı sıfır yapan değerleri dışla. Cebirsel düzenleme başlangıçtaki tanım kümesini genişletmez.

Her denklem tek çözüm vermez

$\displaystyle ax=b$ denkleminde a sıfır değilse tek çözüm $\displaystyle x=b/a$ ’dır. $\displaystyle a=0$ , $\displaystyle b\ne0$ ise $\displaystyle 0=b$ imkânsız olduğundan çözüm yoktur. İkisi de sıfırsa denklem bütün izin verilen x değerlerinde doğrudur.

$\displaystyle 2(x+1)=2x+2$ bir özdeşliktir; $\displaystyle 2(x+1)=2x+3$ ise hiçbir gerçek sayıda doğru değildir. Parametreli denklemlerde x’in katsayısını bölmeden önce sıfır olup olamayacağını incelemek, bu durumları kaçırmanı önler.

İki bilinmeyene iki bağımsız ilişki gerekir

$\displaystyle x+y=7$ tek başına birçok ikiliye izin verir. Buna $\displaystyle x-y=1$ eklenirse ortak çözümü ararız. Denklemleri taraf tarafa toplayınca y gider: $\displaystyle 2x=8$ , $\displaystyle x=4$ , $\displaystyle y=3$ . Bu yok etme yöntemidir; gerekirse önce denklemlerden biri sabit bir sayıyla çarpılır.

Yerine koymada ise bir denklemden $\displaystyle y=7-x$ bulup diğerinde kullanırız. İki yöntem de aynı ortak çözümü verir. Bulduğun ikiliyi iki özgün denklemde de denetle; yalnızca birini sağlaması yeterli değildir.

Denklemlerin geometrik anlamı

İki bilinmeyenli doğrusal bir denklem, katsayıları uygun olduğunda düzlemde bir doğruyu temsil eder. İki farklı doğru tek noktada kesişirse sistemin tek çözümü vardır. Paralel ve farklı doğrular ortak nokta taşımaz; aynı doğruyu anlatan iki denklem ise sonsuz ortak çözüm verir.

$\displaystyle 2x+2y=14$ , $\displaystyle x+y=7$ ’nin iki katıdır ve yeni bilgi eklemez. Buna karşılık $\displaystyle 2x+2y=15$ ile $\displaystyle x+y=7$ birlikte sağlanamaz. Sistem çözerken $\displaystyle 0=0$ veya $\displaystyle 0=1$ elde etmek hesap hatası olmak zorunda değildir; çözüm yapısını anlatıyor olabilir.

x+y=7 ve x−y=1 doğruları (4,3) noktasında kesişir. Noktanın iki koordinatı iki denklemi de aynı anda sağlar.

Sonucun bağlama dönmesi gerekir

Denklemde bulunan değer, problemdeki nesneyi de temsil edebilmelidir. Kişi sayısı negatif veya kesirli, bir uzunluk negatif olamaz. Rakam için 0–9 aralığı gerekir. Bu nedenle önce cebirsel çözümü bulur, sonra modelin koşullarını uygularız.

Bir işlemin iki tarafını kareye almak veya değişken içeren paydayla çarpmak koşulları değiştirebilir. Son kontrolü sadeleştirilmiş son satırda değil, başlangıçtaki denklemde yapmak bu yüzden önemlidir.

Harezmî ve cebirin doğuşu

Muhammed bin Musa el-Harezmî (yaklaşık 780–850) Bağdat’taki Beytü’l-Hikme’de çalıştı. “el-Kitâbü’l-Muhtasar fî Hisâbi’l-Cebr ve’l-Mukâbele” adlı eserinde denklemleri sistemli biçimde sınıflandırdı ve çözüm yöntemlerini örneklerle anlattı. Cebir kelimesi bu eserin adındaki “el-cebr” sözcüğünden gelir. Algoritma kelimesi de Harezmî’nin adının Latince yazılışından türemiştir.

El-cebr, bir taraftaki çıkarılan terimi diğer tarafa ekleyerek denklemi “tamamlama”; el-mukâbele ise iki taraftaki benzer terimleri “karşılıklı sadeleştirme” işlemidir. Bunlar, bugün eşitliğin iki tarafına aynı işlemi uygulama dediğimiz yöntemin ilk sistemli anlatımlarındandır.

Örnek: $\displaystyle 3x-4=x+6$ denkleminde iki tarafa 4 eklemek (el-cebr) $\displaystyle 3x=x+10$ verir. İki taraftan x çıkarmak (el-mukâbele) $\displaystyle 2x=10$ ve $\displaystyle x=5$ sonucunu verir.

Denklem sistemlerini grafikle çöz

İki bilinmeyenli doğrusal bir denklemin çözüm kümesi analitik düzlemde bir doğrudur. $\displaystyle x+y=7$ doğrusu (7, 0) ve (0, 7) noktalarından, $\displaystyle x-y=1$ doğrusu (1, 0) ve (0, −1) noktalarından geçer. İki doğrunun kesiştiği (4, 3) noktası, iki denklemi birlikte sağlayan tek çözümdür.

Doğrular paralelse ( $\displaystyle x+y=7$ ve $\displaystyle x+y=2$ gibi) ortak nokta yoktur ve çözüm kümesi boştur. Doğrular çakışıksa ( $\displaystyle x+y=7$ ve $\displaystyle 2x+2y=14$ gibi) sonsuz çözüm vardır.

Eşitsizlik sistemi: $\displaystyle x+y\le7$ eşitsizliğinin çözümü, $\displaystyle x+y=7$ doğrusu ile bu doğrunun orijini içeren tarafıdır; (0, 0) için $\displaystyle 0\le7$ doğrudur. $\displaystyle x+y\le7$ , $\displaystyle x\ge0$ ve $\displaystyle y\ge0$ birlikte köşeleri (0, 0), (7, 0) ve (0, 7) olan üçgensel bölgeyi verir.

Gerçek hayat: Tanesi 3 TL olan kalemlerden ve 5 TL olan defterlerden toplam 10 ürün için 38 TL ödendiyse $\displaystyle x+y=10$ ve $\displaystyle 3x+5y=38$ yazılır. İlk denklemin 3 katını ikinciden çıkarınca $\displaystyle 2y=8$ ; y = 4 defter, x = 6 kalem bulunur.

Eşitliğin iki tarafına aynı geçerli işlemi uygula. $\displaystyle ax=b$ için a’nın sıfır olma durumunu ve bulunan çözümün başlangıç koşullarını kontrol et.

Dikkat: Bir denklemi bilinmeyene bölmek, o bilinmeyenin sıfır olduğu çözümü kaybettirebilir. İki denklem her zaman iki bağımsız bilgi değildir.

Bu bölümün kazanımları

MEB 9.3.3.2Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
MEB 9.3.3.4Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem ve eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulur.
Bir ve iki bilinmeyenli doğrusal denklemleri çözer; çözümün varlığını ve tanım koşullarını kontrol eder.