Denklemler ve Eşitsizlikler

Önce dağıtma özelliğiyle parantezleri aç, benzer terimleri birleştir. $\displaystyle 3(x-2)+x=10$ denkleminde $\displaystyle 4x-6=10$, ardından $\displaystyle x=4$ olur. Eksi işaretini bütün paranteze dağıtmak gerekir.

Kesirli denklemde iki tarafı ortak payda ile çarparak kesirlerden kurtulabiliriz: $\displaystyle x/2+x/3=5$ için iki tarafı 6 ile çarpınca $\displaystyle 3x+2x=30$ olur. Paydada bilinmeyen varsa önce paydayı sıfır yapan değerleri dışla. Cebirsel düzenleme başlangıçtaki tanım kümesini genişletmez.

$\displaystyle ax=b$ denkleminde a sıfır değilse tek çözüm $\displaystyle x=b/a$’dır. $\displaystyle a=0$, $\displaystyle b\ne0$ ise $\displaystyle 0=b$ imkânsız olduğundan çözüm yoktur. İkisi de sıfırsa denklem bütün izin verilen x değerlerinde doğrudur.

$\displaystyle 2(x+1)=2x+2$ bir özdeşliktir; $\displaystyle 2(x+1)=2x+3$ ise hiçbir gerçek sayıda doğru değildir. Parametreli denklemlerde x’in katsayısını bölmeden önce sıfır olup olamayacağını incelemek, bu durumları kaçırmanı önler.

$\displaystyle x+y=7$ tek başına birçok ikiliye izin verir. Buna $\displaystyle x-y=1$ eklenirse ortak çözümü ararız. Denklemleri taraf tarafa toplayınca y gider: $\displaystyle 2x=8$, $\displaystyle x=4$, $\displaystyle y=3$. Bu yok etme yöntemidir; gerekirse önce denklemlerden biri sabit bir sayıyla çarpılır.

Yerine koymada ise bir denklemden $\displaystyle y=7-x$ bulup diğerinde kullanırız. İki yöntem de aynı ortak çözümü verir. Bulduğun ikiliyi iki özgün denklemde de denetle; yalnızca birini sağlaması yeterli değildir.

Denklemde bulunan değer, problemdeki nesneyi de temsil edebilmelidir. Kişi sayısı negatif veya kesirli, bir uzunluk negatif olamaz. Rakam için 0–9 aralığı gerekir. Bu nedenle önce cebirsel çözümü bulur, sonra modelin koşullarını uygularız.

Bir işlemin iki tarafını kareye almak veya değişken içeren paydayla çarpmak koşulları değiştirebilir. Son kontrolü sadeleştirilmiş son satırda değil, başlangıçtaki denklemde yapmak bu yüzden önemlidir.

$\displaystyle 1<2x+3\le9$ ifadesi iki koşulu birlikte taşır. Her üç parçadan 3 çıkarınca $\displaystyle -2<2x\le6$, her parçayı 2’ye bölünce $\displaystyle -1<x\le3$ olur. Yapılan işlem yalnız bir uca uygulanamaz.

İki eşitsizliği aynı yönde taraf tarafa toplamak mümkündür. Fakat taraf tarafa çıkarma için benzer bir genel kural yoktur. Bir ifadenin en küçük ve en büyük değerini bulurken x ve y’nin bağımsız olup olmadığını da düşün; ek bir ilişki uç değerlerin aynı anda alınmasını engelleyebilir.

$\displaystyle x>1$ ve $\displaystyle x\le4$ birlikte istenirse ortak bölüm $\displaystyle (1,4]$’tür. $\displaystyle x<-2$ veya $\displaystyle x\ge3$ denirse iki parçadan herhangi biri yeterlidir: $\displaystyle (-\infty,-2)\cup[3,\infty)$. “Ve”yi birleşimle, “veya”yı kesişimle değiştirmek çözümü değiştirir.

$\displaystyle x>5$ ve $\displaystyle x<2$ aynı anda sağlanamaz; çözüm kümesi boştur. Bir açık aralığın en küçük gerçek sayısı olmayabilir: $\displaystyle (1,3)$ içinde 1’e daha da yakın bir sayı her zaman seçilir. Tam sayı çözümü sorulduğunda ise yalnızca 2 kalır.

$\displaystyle 0<a<b$ ise $\displaystyle a^2<b^2$ ve $\displaystyle 1/a>1/b$ olur. Fakat $\displaystyle a<b$ tek başına karelerin sırasını belirlemez: $\displaystyle -5<2$ olmasına rağmen $\displaystyle 25>4$. Sıfırdan geçen bir aralığı kareye alırken sıfırın en küçük kareyi verdiğini unutma.

$\displaystyle -2<x<3$ için $\displaystyle 0\le x^2<9$ elde edilir. Alt sınır 4 değildir; x sıfır olabilir. Paydanın sıfır olduğu bir noktada ters alma işlemi tanımsızdır. Bu tür dönüşümlerde önce aralığın işaretini belirle.

$\displaystyle y\le2x+1$ için önce sınır doğrusu $\displaystyle y=2x+1$ çizilir. Eşitlik izinli olduğundan doğru da çözüme dahildir; $\displaystyle y<2x+1$ olsaydı sınır dışarıda kalırdı. Doğru üzerinde olmayan bir deneme noktası, örneğin (0,0), hangi tarafın seçileceğini gösterir: $\displaystyle 0\le1$ doğru olduğundan bu noktanın tarafını alırız.

Bir eşitsizlik sisteminde her koşulun bölgesini bulup ortak bölgeyi seçeriz. Tek bir noktanın bir koşulu sağlaması, sistemin tümünü sağladığını göstermez. Sınırdaki noktaların dahil olup olmadığını her eşitsizlik için ayrı kontrol et.

$\displaystyle |x|$, x sayısının sayı doğrusunda 0’a uzaklığıdır. Bu yüzden $\displaystyle |5|=5$, $\displaystyle |-5|=5$, $\displaystyle |0|=0$. Cebirsel tanımda x negatif değilse $\displaystyle |x|=x$, x negatifse $\displaystyle |x|=-x$ olur.

İkinci satırdaki −x mutlaka negatif bir sayı değildir. x=−5 iken −x=5’tir. Mutlak değeri “eksi işaretini silmek” diye düşünmek, içinde $\displaystyle x-3$ gibi bir ifade bulunduğunda yeterli olmaz; önce içteki ifadenin işaretini belirlemelisin.

$\displaystyle |x-1|+|x+2|$ ifadesinin içleri x=1 ve x=−2’de işaret değiştirir. Sayı doğrusunu bu noktalardan üç aralığa ayırırız. $\displaystyle -2\le x\le1$ iken ifade $\displaystyle (1-x)+(x+2)=3$ olur. Solda $\displaystyle -2x-1$, sağda $\displaystyle 2x+1$ elde edilir.

Uzaklık yorumu aynı sonucu açıklar: −2 ile 1 arasındaki bir noktadan iki uca uzaklıkların toplamı 3’tür; dışarı çıkınca bu toplam büyür. Her aralıkta bulduğun aday çözümü, kullandığın aralığın içinde olup olmadığına göre kontrol et.

$\displaystyle |ab|=|a||b|$, $\displaystyle b\ne0$ için $\displaystyle |a/b|=|a|/|b|$ ve $\displaystyle \sqrt{a^2}=|a|$ geçerlidir. Fakat $\displaystyle |a+b|$ genellikle $\displaystyle |a|+|b|$ değildir. a=3, b=−3 için solda 0, sağda 6 vardır.

Her zaman $\displaystyle |a+b|\le|a|+|b|$ olur: iki hareketin net uzaklığı, ayrı ayrı alınan uzaklıkların toplamını aşamaz. $\displaystyle |a|=|b|$ ise a=b veya a=−b olabilir. Mutlak değer büyüklüğü korurken işaret bilgisini kaybettirir.