Mantık Konu Anlatımı – TYT Matematik

Önermeler ve bağlaçlar

Tek bir bağlaç değişince neden doğru cevaplar da değişiyor?

Kartları ve bağlaçları değiştirmek

Birden altıya kadar numaralanmış kartlarımız var. “İkiye ve üçe tam bölünenleri seç” dediğimizde yalnızca altı kartını alıyoruz. Cümledeki “ve” kelimesini “veya” ile değiştirince bu kez iki, üç, dört ve altı kartları seçiliyor. Tek bir kelime neden cevabı bu kadar değiştirdi?

“Ve”, iki koşulun aynı anda gerçekleşmesini ister. Dört kartı ikiye bölünür ama üçe bölünmez; bu nedenle dışarıda kalır. “Veya” ise koşullardan en az birinin gerçekleşmesini yeterli görür. Dört bu kez seçilir.

Mantıkta bağlaçların görevi, cümlelerin hangi durumlarda doğru kabul edileceğini belirlemektir.

1–6 kartlarında 2’ye ve 3’e bölünen yalnız 6’dır. 2’ye veya 3’e bölünenler 2, 3, 4, 6’dır; veya ortak durumu da içerir.

Kartların yerini doğruluk değerleri alabilir

4 kartı için “2’ye bölünür” doğru, “3’e bölünür” yanlıştır. 6 için ikisi de doğru, 1 için ikisi de yanlıştır. İki koşula p ve q, doğruya 1, yanlışa 0 diyelim. Çizimde dört olası doğruluk durumunu yan yana koyunca “ve” ile “veya”nın bütün davranışı görünür; artık tek tek kartlara bağlı değiliz.

Doğru ya da yanlış olduğu kesin olan yargıya önerme, önermeleri birleştiren “ve”, “veya” gibi yapılara bağlaç deriz. Önce hangi cümlelerin önerme olduğunu ayıracağız. Sonra değilini alma, bağlaçlar ve koşullu cümlelerle bir iddianın hangi durumda doğru olduğunu araştıracağız.

p,q sırasıyla (1,1), (1,0), (0,1), (0,0) iken ve sonuçları 1,0,0,0; veya sonuçları 1,1,1,0’dır.

Önermede ölçüt: kesin bir doğruluk değeri

“4, 2’ye tam bölünür” doğru; “4, 3’e tam bölünür” yanlış birer önermedir. Yanlış bir yargı da önerme olabilir: önemli olan doğruluğunun kesin biçimde değerlendirilebilmesidir. Sorular, emirler ve kişiye göre değişen beğeniler bu anlamda önerme değildir.

“x, 2’ye tam bölünür” ifadesinde ise x’in ne olduğunu henüz seçmedik; bu bir açık önermedir. x’e bir değer verince veya uygun bir niceleyici ekleyince doğruluğunu değerlendirebiliriz. Şimdi bu doğruluk değerini tersine çeviren “değil” işlemini tanıyalım; sonrasında açılışta gördüğümüz bağlaçları sembollerle yazacağız.

Değil ve denklik

p önermesinin değili $\displaystyle p'$ veya $\displaystyle \neg p$ ile gösterilir; doğruyu yanlış, yanlışı doğru yapar. “x>3”ün değili “x≤3”tür; yalnız “x<3” yazmak eşitlik durumunu dışarıda bırakır. İki kez değil almak başlangıcı verir: $\displaystyle (p')'=p$ .

Aynı doğruluk değerine sahip önermeler denk kabul edilir. Bileşik ifadelerin her olası doğruluk atamasında aynı sonucu vermesi de bir mantıksal denkliği gösterir. Bu denklik cümlelerin günlük anlamlarının aynı olması demek değildir.

Ve, veya ve ya da

$\displaystyle p\land q$ yalnız iki önerme de doğruysa doğrudur. $\displaystyle p\lor q$ en az biri doğruysa doğrudur; ikisinin de doğru olmasını dışlamaz. Ya da bağlacı $\displaystyle p\veebar q$ ise tam biri doğruyken doğrudur.

Günlük dilde “veya” bazen iki seçeneği dışlayacak şekilde kullanılır; matematiksel tabloda dışlayıcı olan bağlaç “ya da”dır. İki önerme için dört olası doğruluk durumu bulunur.

İki önerme için temel bağlaçların doğruluk değerleri
$\displaystyle p$	$\displaystyle q$	$\displaystyle p\land q$	$\displaystyle p\lor q$	$\displaystyle p\veebar q$
1	1	1	1	0
1	0	0	1	1
0	1	0	1	1
0	0	0	0	0

Bağlaçların tekrar ve zıtlık özellikleri

$\displaystyle p\land p=p$ ve $\displaystyle p\lor p=p$ : aynı koşulu tekrar etmek yeni bilgi eklemez. $\displaystyle p\land p'=0$ çünkü bir önerme ile değili aynı anda doğru olamaz. $\displaystyle p\lor p'=1$ çünkü ikisinden biri mutlaka doğrudur.

“Ve” ve “veya”da yer değiştirme ve gruplama mümkündür. Dağılma da geçerlidir: $\displaystyle p\land(q\lor r)=(p\land q)\lor(p\land r)$ . Bunu p doğru ve yanlışken ayrı ayrı düşünerek veya sekiz satırlık tabloyla kontrol edebilirsin; üç önerme için $\displaystyle 2^3$ durum vardır.

p ve q koşullarını sağlayan bölgelerde: ve yalnız ortak kısmı, veya iki bölgenin tamamını, ya da ortak kısım dışındaki iki kanadı seçer.

De Morgan: bütün ifadenin değilini al

“p ve q”nun yanlış olması için en az birinin yanlış olması yeterlidir. Bu yüzden $\displaystyle (p\land q)'=p'\lor q'$ . “p veya q”nun yanlış olması ise ikisinin de yanlış olmasını gerektirir: $\displaystyle (p\lor q)'=p'\land q'$ .

Değil işareti parantezin içine girerken hem önermeler terslenir hem ve–veya yer değiştirir. $\displaystyle (p\lor q)'$ ifadesini yalnız $\displaystyle p'\lor q'$ yazmak doğru değildir. Aşağıdaki tabloda her kuralın iki tarafı bütün doğruluk durumlarında aynı sonucu verir.

İki De Morgan kuralının dört durumda doğrulanması
$\displaystyle p$	$\displaystyle q$	$\displaystyle (p\land q)'$	$\displaystyle p'\lor q'$	$\displaystyle (p\lor q)'$	$\displaystyle p'\land q'$
1	1	0	0	0	0
1	0	1	1	0	0
0	1	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1

Leibniz, Boole ve bilgisayarlar

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), akıl yürütmeyi hesap gibi kurallara bağlayan evrensel bir sembolik dil hayal etti; mantık ifadelerini cebirsel sembollerle yazma fikrinin öncülerindendir. Yalnız 0 ve 1 rakamlarıyla yazılan ikili sayı sistemini de ayrıntılı biçimde inceledi.

George Boole (1815–1864), 1847 ve 1854’te yayımladığı eserlerinde önermeleri ve “ve, veya, değil” bağlaçlarını cebirsel işlemler gibi ele aldı. Doğruyu 1, yanlışı 0 ile göstererek mantığı bir hesaplama sistemine dönüştürdü; bugün bu yapıya Boole cebiri denir.

Yaklaşık bir asır sonra Claude Shannon, Boole cebirinin açık–kapalı anahtarlardan oluşan elektrik devreleriyle gerçekleştirilebileceğini gösterdi. Bilgisayar ve telefon işlemcileri milyarlarca küçük “ve, veya, değil” kapısıyla çalışır; doğruluk tablosu bu kapıların davranışını anlatır.

Örnek: p: “Hava yağmurlu.”, q: “Şemsiye aldım.” olsun. $\displaystyle p\land q'$ önermesi “Hava yağmurlu ve şemsiye almadım.” demektir; yalnız p doğru ve q yanlışken doğrudur.

Ve: ikisi de doğru. Veya: en az biri doğru. Ya da: tam biri doğru. De Morgan’da değil içeri girerken ve ile veya yer değiştirir.

Dikkat: Veya, iki önermenin birlikte doğru olmasını dışlamaz. Bir eşitsizliğin değilini alırken eşitlik durumunu kaybetme.

Bu bölümün kazanımları

MEB 9.1.1.1Önermeyi, önermenin doğruluk değerini, iki önermenin denkliğini ve önermenin değilini açıklar.
MEB 9.1.1.2Bileşik önermeyi örneklerle açıklar, ‘‘ve, veya, ya da’’ bağlaçları ile kurulan bileşik önermelerin özelliklerini ve De Morgan kurallarını doğruluk tablosu kullanarak gösterir.
Önerme, değil ve denklik kavramlarını kullanır; ve, veya, ya da bağlaçlarını doğruluk tablosuyla yorumlar.