Mantık · TYT Matematik

Önermeler ve bağlaçlar

Cümlenin doğruluğu ile cümleleri bağlama kuralını ayır.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 9.1.1.1Önermeyi, önermenin doğruluk değerini, iki önermenin denkliğini ve önermenin değilini açıklar.
MEB 9.1.1.2Bileşik önermeyi örneklerle açıklar, ‘‘ve, veya, ya da’’ bağlaçları ile kurulan bileşik önermelerin özelliklerini ve De Morgan kurallarını doğruluk tablosu kullanarak gösterir.
Önerme, değil ve denklik kavramlarını kullanır; ve, veya, ya da bağlaçlarını doğruluk tablosuyla yorumlar.

Önerme doğru veya yanlış bir yargıdır

Doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olan bildirme cümlesine önerme denir. “2 bir çift sayıdır” doğru, “5<3” yanlış bir önermedir. Sorular, emirler ve kişiye göre değişen beğeniler bu anlamda önerme değildir.

Doğru için 1, yanlış için 0 kullanır; önermeleri p, q ile gösteririz. $\displaystyle x>3$ gibi değeri x’e bağlı bir ifade tek başına açık önermedir. x’in değeri veya bir niceleyici belirlenince doğruluk değeri değerlendirilir.

Değil ve denklik

p önermesinin değili $\displaystyle p'$ veya $\displaystyle \neg p$ ile gösterilir; doğruyu yanlış, yanlışı doğru yapar. “x>3”ün değili “x≤3”tür; yalnız “x<3” yazmak eşitlik durumunu dışarıda bırakır. İki kez değil almak başlangıcı verir: $\displaystyle (p')'=p$ .

Aynı doğruluk değerine sahip önermeler denk kabul edilir. Bileşik ifadelerin her olası doğruluk atamasında aynı sonucu vermesi de bir mantıksal denkliği gösterir. Bu denklik cümlelerin günlük anlamlarının aynı olması demek değildir.

Ve, veya ve ya da

$\displaystyle p\land q$ yalnız iki önerme de doğruysa doğrudur. $\displaystyle p\lor q$ en az biri doğruysa doğrudur; ikisinin de doğru olmasını dışlamaz. Ya da bağlacı $\displaystyle p\veebar q$ ise tam biri doğruyken doğrudur.

Günlük dilde “veya” bazen iki seçeneği dışlayacak şekilde kullanılır; matematiksel tabloda dışlayıcı olan bağlaç “ya da”dır. İki önerme için dört olası doğruluk durumu bulunur.

İki önerme için temel bağlaçların doğruluk değerleri
$\displaystyle p$	$\displaystyle q$	$\displaystyle p\land q$	$\displaystyle p\lor q$	$\displaystyle p\veebar q$
1	1	1	1	0
1	0	0	1	1
0	1	0	1	1
0	0	0	0	0

Bağlaçların tekrar ve zıtlık özellikleri

$\displaystyle p\land p=p$ ve $\displaystyle p\lor p=p$ : aynı koşulu tekrar etmek yeni bilgi eklemez. $\displaystyle p\land p'=0$ çünkü bir önerme ile değili aynı anda doğru olamaz. $\displaystyle p\lor p'=1$ çünkü ikisinden biri mutlaka doğrudur.

“Ve” ve “veya”da yer değiştirme ve gruplama mümkündür. Dağılma da geçerlidir: $\displaystyle p\land(q\lor r)=(p\land q)\lor(p\land r)$ . Bunu p doğru ve yanlışken ayrı ayrı düşünerek veya sekiz satırlık tabloyla kontrol edebilirsin; üç önerme için $\displaystyle 2^3$ durum vardır.

p ve q koşullarını sağlayan bölgelerde: ve yalnız ortak kısmı, veya iki bölgenin tamamını, ya da ortak kısım dışındaki iki kanadı seçer.

De Morgan: bütün ifadenin değilini al

“p ve q”nun yanlış olması için en az birinin yanlış olması yeterlidir. Bu yüzden $\displaystyle (p\land q)'=p'\lor q'$ . “p veya q”nun yanlış olması ise ikisinin de yanlış olmasını gerektirir: $\displaystyle (p\lor q)'=p'\land q'$ .

Değil işareti parantezin içine girerken hem önermeler terslenir hem ve–veya yer değiştirir. $\displaystyle (p\lor q)'$ ifadesini yalnız $\displaystyle p'\lor q'$ yazmak doğru değildir. Aşağıdaki tabloda her kuralın iki tarafı bütün doğruluk durumlarında aynı sonucu verir.

İki De Morgan kuralının dört durumda doğrulanması
$\displaystyle p$	$\displaystyle q$	$\displaystyle (p\land q)'$	$\displaystyle p'\lor q'$	$\displaystyle (p\lor q)'$	$\displaystyle p'\land q'$
1	1	0	0	0	0
1	0	1	1	0	0
0	1	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1

Ve: ikisi de doğru. Veya: en az biri doğru. Ya da: tam biri doğru. De Morgan’da değil içeri girerken ve ile veya yer değiştirir.

Dikkat: Veya, iki önermenin birlikte doğru olmasını dışlamaz. Bir eşitsizliğin değilini alırken eşitlik durumunu kaybetme.

Koşullu önermeler, niceleyiciler ve ispat

Bir iddiayı doğrulayan ve çürüten durumları ayır.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 9.1.1.3Koşullu önermeyi ve iki yönlü koşullu önermeyi açıklar.
MEB 9.1.1.4Her (∀) ve bazı (∃) niceleyicilerini örneklerle açıklar.
MEB 9.1.1.5Tanım, aksiyom, teorem ve ispat kavramlarını açıklar.
Koşullu ifadelerin doğruluk koşulunu açıklar; niceleyicilerin değilini alır ve ispat ile örneği ayırır.

İse yalnız bir durumda yanlıştır

$\displaystyle p\Rightarrow q$ , “p ise q” demektir. Bu ifade yalnız p doğru, q yanlış olduğunda yanlıştır; diğer durumlarda doğrudur. $\displaystyle p\Rightarrow q$ ile $\displaystyle p'\lor q$ aynı doğruluk tablosunu taşır.

“Bir tam sayı 4’e bölünüyorsa çifttir” koşulunda 4’e bölünen fakat çift olmayan bir sayı, iddiayı çürütürdü. 4’e bölünmeyen bir sayıysa ön koşulu sağlamadığı için bu iddiaya karşı örnek olmaz. Koşulun doğruluğu, p’nin tek başına doğru olduğunu söylemez.

Koşullu ve iki yönlü koşullu önermeler
$\displaystyle p$	$\displaystyle q$	$\displaystyle p\Rightarrow q$	$\displaystyle p\Leftrightarrow q$
1	1	1	1
1	0	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1

Tersi ile karşıt tersi aynı değildir

$\displaystyle p\Rightarrow q$ ’nun tersi $\displaystyle q\Rightarrow p$ ’dir ve başlangıçla her zaman denk değildir. “4’e bölünen çifttir” doğruyken “çift olan 4’e bölünür” ifadesi 6 nedeniyle yanlıştır.

Buna karşılık $\displaystyle q'\Rightarrow p'$ , başlangıç önermesine denktir: “çift değilse 4’e bölünmez.” İse ifadesinin değili ise $\displaystyle p\land q'$ olur. Yanlışlığı göstermek için ön koşulu sağlayan ama sonucu sağlamayan bir durum bulmak gerekir.

p⇒q iddiasının başarısız olduğu durum p’nin doğru, q’nun yanlış olmasıdır. Ön koşul sağlanıp beklenen sonuca ulaşılamaması karşı örneği oluşturur.

Ancak ve ancak iki yönü birlikte ister

$\displaystyle p\Leftrightarrow q$ , hem $\displaystyle p\Rightarrow q$ hem $\displaystyle q\Rightarrow p$ demektir. p ve q aynı doğruluk değerindeyken doğrudur. “Bir tam sayı çifttir ancak ve ancak 2’ye tam bölünür” iki yönü de doğru bir ilişkidir.

$\displaystyle p\Rightarrow q$ içinde p, q için yeterli; q, p için gerekli koşuldur. Ancak ve ancak ifadesinde her biri diğeri için hem gerekli hem yeterlidir. Bir teorem iki yönlü yazılmışsa yalnız bir yönünü kanıtlamak tamamını kanıtlamaz.

Her ile bazı farklı kanıt ister

$\displaystyle \forall x\in A, P(x)$ , A’daki her x’in özelliği sağladığını söyler. Çürütmek için tek bir karşı örnek yeterlidir. $\displaystyle \exists x\in A, P(x)$ ise en az bir elemanın sağladığını söyler; doğrulamak için uygun bir tanık göstermek yeterlidir. “Bazı” yalnız bir tane demek değildir.

Evrensel küme doğruluğu değiştirebilir. “Her x için $\displaystyle x^2\ge x$ ” tam sayılarda doğruyken gerçek sayılarda x=1/2 nedeniyle yanlıştır. Önce x’in nereden seçildiğini belirle.

0 ile 1 arasındaki x=1/2 için x²=1/4 daha soldadır. Bu tek gerçek sayı, her gerçek x için x²≥x iddiasını çürütür.

Niceleyicinin değilinde hem kapsam hem özellik değişir

“Herkes geldi”nin değili “en az bir kişi gelmedi”dir; “kimse gelmedi” değildir. Sembolik olarak $\displaystyle (\forall x\ P(x))'=\exists x\ P'(x)$ . “En az bir kişi geldi”nin değili ise “herkes gelmedi” ifadesinin belirsiz günlük kullanımı yerine açıkça “hiç kimse gelmedi”dir: $\displaystyle (\exists x\ P(x))'=\forall x\ P'(x)$ .

Birden fazla niceleyicide sıra da önemlidir. “Her öğrencinin okuduğu bir kitap vardır” her öğrencinin farklı kitap okumasına izin verir. “Bütün öğrencilerin okuduğu bir kitap vardır” ise tek ortak kitap ister.

Tanım, aksiyom, teorem ve ispat

Tanım, kavramın hangi anlamda kullanılacağını belirler; çift sayıyı 2k biçimindeki tam sayı olarak tanımlamak gibi. Aksiyom, kurulan sistemde kanıtlanmadan başlangıç kabulü alınan önermedir. Teorem, bu kabullerden mantıksal çıkarımla doğruluğu gösterilen önermedir. İspat bu çıkarımların gerekçeli zinciridir.

İki çiftin toplamının çift olduğunu birkaç örnekle görmek sezgi sağlar. Genel ispatta sayıları 2a ve 2b yazıp toplamı $\displaystyle 2(a+b)$ buluruz; a+b tam sayıdır. Sonlu birkaç doğrulama, sonsuz sayıda duruma ilişkin iddiayı tek başına kanıtlamaz.

$\displaystyle p\Rightarrow q$ yalnız p doğru, q yanlışken yanlıştır. “Her”in değili “en az bir değil”; bir teoremin ispatı bütün kapsamı taşımalıdır.

Dikkat: Bir önermenin tersi kendisine denk olmak zorunda değildir. Birkaç doğru örnek, her durumda doğru olduğunu ispatlamaz.