Üstel fonksiyon
Eşit adımlarda aynı miktarı eklemek yerine aynı oranla değişmek.
Her gün ikiye katlanan bir örtü gölü ne zaman yarılar?
Bir gölün yüzeyindeki örtünün her gün iki kat alan kapladığını varsayalım. 30. gün gölün tamamını kaplıyorsa yarısını kaçıncı gün kaplamıştır? İlk akla 15 gelebilir. Ama her gün iki katına çıktığına göre bir gün önce, 29. gün yarısını kaplıyor olmalı. 28. gün dörtte birini, 27. gün sekizde birini kaplar.
Şeritlere bak: aynı bir günlük sürelerde eşit alanlar eklenmiyor. Önce küçük bir parça eklenirken son günde gölün yarısı kadar yeni alan ekleniyor. Bu düşünce deneyi, sabit miktarda artışla sabit oranda artışın neden çok farklı olduğunu gösterir.
Tekrarlanan çarpma, değişkeni üste taşır
Başlangıçta bir birim alan düşünelim. Bir, iki ve üç katlanmadan sonra 2, 4 ve 8 birime ulaşırız. t kez ikiyle çarpmayı 2ᵗ diye yazarız. Üstel fonksiyonda değişken üsttedir; adım sayısı arttıkça aynı çarpan yeniden uygulanır.
Burada iki farklı soru sorabiliriz: “Kaç adım sonra ne kadar olur?” ve “Bu miktara ulaşmak için kaç adım gerekir?” Üstel fonksiyon ilkini cevaplar; logaritma aynı ilişkiyi ters yönden okuyarak ikincisini cevaplayacak. Önce tam adımlardaki bu çarpma düzenini gerçek sayılı girdilere genişletelim. Taban koşulları ve grafiğin biçimi bu tanımdan doğacak.
Tam adımların arasındaki değerler
Katlanma sayısını tam sayılarla sınırlamak zorunda mıyız? Bir tam adımın çarpanı 2 ise iki eşit yarım adımın çarpanları çarpıldığında 2 vermelidir. Bu yüzden yarım adımın çarpanı √2’dir: √2·√2=2. Böylece kesirli üslere, ardından gerçek girdilere geçişin anlamını kurabiliriz.
Üstel fonksiyonun genel biçimi ’tir; a>0 ve a≠1 alınır. Pozitif taban bütün gerçek üslerde pozitif çıktı verir. a=1 her girdide 1 üretir; negatif taban ise örneğin 1/2 üssünde gerçek değer vermediği için bütün gerçek girdilerde kullanılamaz. x²’de değişen taban, 2ˣ’te değişen üstür. Şimdi bu tanımın grafikteki sonuçlarını okuyalım.
Grafiğin ortak noktaları
Her uygun taban için a⁰=1 olduğundan grafik (0,1)’den geçer. aˣ sıfır olmadığı için x eksenini kesmez; değerler sıfıra yaklaşabilir. Tanım kümesi gerçek sayılar, görüntü kümesi pozitif gerçek sayılardır. Üstel fonksiyon bire birdir; aynı tabanlı eşit kuvvetlerde üsler eşittir.
Taban artış yönünü belirler
a>1 ise x arttıkça aˣ artar. 0<a<1 ise x arttıkça aˣ azalır. olduğundan bu iki grafik y eksenine göre simetriktir. 2ˣ<2³ koşulu x<3 verirken koşulu x>3 verir.
Grafik dönüşümlerini uygula
grafiği 2ˣ’in bir birim sağa, üç birim yukarı taşınmasıdır. Görüntü (3,∞), yatay asimptot y=3 olur. −2ˣ grafiği ise x eksenine göre yansır; görüntüsü negatif gerçek sayılardır. İfadeyi −2 tabanlı üstel fonksiyonla karıştırma.
Toplamsal ve çarpımsal değişimi ayır
Her gün 20 artan sayı doğrusal, her gün %20 artan sayı üstel model verir. İkincisinde bir sonraki değer öncekinin 1,2 katıdır: başlangıç 100 ise 100,120,144,… olur. Üstel modelin kullanılabilmesi için oranın incelenen süre boyunca sabit kabul edilmesi gerekir.
a>1 için artan, 0<a<1 için azalan; aˣ her zaman pozitiftir.
Bu bölümün kazanımları
- MEB 12.1.1.1Üstel fonksiyonu açıklar.
- Üstel fonksiyonun tanımını, grafiğini ve büyüme–azalma davranışını açıklar.