Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Kapsam ve kaynak

Kapsam 2026 MEB YKS belgesine göre hazırlanmıştır. MEB kazanımları TYT ve AYT diye ayırmaz; buradaki ayrım çalışma sırasıdır. Ortak ön koşullar TYT ile aynı kaynaktan gelir. Analitik geometri, dönüşümler ve çemberin analitiği AYT Geometri bölümündedir. Karmaşık sayılarda gösterim ve eşlenik, limitte sonlu sonuçlar, türev ve integralde MEB’in belirttiği cebirsel fonksiyonlar esas alınır.

2026 MEB YKS konu ve kazanımları

Üstel fonksiyon

Sabit fark yerine sabit çarpanla değişimi izle.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 12.1.1.1Üstel fonksiyonu açıklar.
Üstel fonksiyonun tanımını, grafiğini ve büyüme–azalma davranışını açıklar.

Değişken üste geçtiğinde

$\displaystyle f(x)=a^x$ için a>0 ve a≠1 alınır. x bütün gerçek sayıları dolaşabilir; sonuç daima pozitiftir. a=1 sabit fonksiyon verir, negatif tabanda ise bütün gerçek üslerde gerçek değer tanımlanamaz. x² bir kuvvet fonksiyonuyken 2ˣ bir üstel fonksiyondur; değişkenin konumu farklıdır.

Grafiğin ortak noktaları

Her uygun taban için a⁰=1 olduğundan grafik (0,1)’den geçer. aˣ sıfır olmadığı için x eksenini kesmez; değerler sıfıra yaklaşabilir. Tanım kümesi gerçek sayılar, görüntü kümesi pozitif gerçek sayılardır. Üstel fonksiyon bire birdir; aynı tabanlı eşit kuvvetlerde üsler eşittir.

2ˣ artarken (1/2)ˣ azalır; iki grafik (0,1)’den geçer ve yatay eksenin üstünde kalır.

Taban artış yönünü belirler

a>1 ise x arttıkça aˣ artar. 0<a<1 ise x arttıkça aˣ azalır. $\displaystyle (1/2)^x=2^{-x}$ olduğundan bu iki grafik y eksenine göre simetriktir. 2ˣ<2³ koşulu x<3 verirken $\displaystyle (1/2)^x<(1/2)^3$ koşulu x>3 verir.

Grafik dönüşümlerini uygula

$\displaystyle g(x)=2^{x-1}+3$ grafiği 2ˣ’in bir birim sağa, üç birim yukarı taşınmasıdır. Görüntü (3,∞), yatay asimptot y=3 olur. −2ˣ grafiği ise x eksenine göre yansır; görüntüsü negatif gerçek sayılardır. İfadeyi −2 tabanlı üstel fonksiyonla karıştırma.

2ˣ grafiği 1 birim sağa ve 3 birim yukarı taşınır; (0,1) noktası (1,4)’e, asimptot y=3’e gider.

Toplamsal ve çarpımsal değişimi ayır

Her gün 20 artan sayı doğrusal, her gün %20 artan sayı üstel model verir. İkincisinde bir sonraki değer öncekinin 1,2 katıdır: başlangıç 100 ise 100,120,144,… olur. Üstel modelin kullanılabilmesi için oranın incelenen süre boyunca sabit kabul edilmesi gerekir.

100 başlangıcından her gün 20 eklemek ile her gün 1,2 ile çarpmak farklı grafikler üretir.

a>1 için artan, 0<a<1 için azalan; aˣ her zaman pozitiftir.

Dikkat: Üstel grafiğin yatay eksene yaklaşması bir noktada sıfır değerini aldığı anlamına gelmez.

Logaritmanın tanımı ve grafiği

Bir sayıyı elde etmek için gereken üssü sor.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 12.1.2.1Logaritma fonksiyonu ile üstel fonksiyonu ilişkilendirerek problemler çözer.
MEB 12.1.2.210 ve e tabanında logaritma fonksiyonunu tanımlayarak problemler çözer.
Logaritmayı üstel fonksiyonun tersi olarak tanımlar, 10 ve e tabanlarını kullanır.

Üs ile logaritma aynı ilişkinin iki yönüdür

$\displaystyle a^y=x$ ifadesi $\displaystyle \log_a x=y$ demektir. Koşullar a>0, a≠1 ve x>0’dır. 2³=8 olduğundan log₂8=3. Logaritmanın sonucu negatif olabilir: log₂(1/4)=−2. Pozitif olması gereken sonuç değil, logaritması alınan x’tir.

2³=8 ile log₂8=3 aynı zincirin iki yönüdür; 2⁻²=1/4 de negatif logaritma sonucunu gösterir.

Ters ilişki temel değerleri verir

$\displaystyle \log_a1=0$ , $\displaystyle \log_aa=1$ , $\displaystyle \log_a(a^t)=t$ ve $\displaystyle a^{\log_ax}=x$ (x>0). Bu eşitlikler üstel ve logaritmanın birbirini geri aldığını söyler. $\displaystyle \log_3(3^{x+2})=x+2$ için x kısıtlanmaz; içerideki üstel ifade zaten pozitiftir.

Grafik üstel grafiğin yansımasıdır

y=aˣ grafiğini y=x’e göre yansıtınca y=logₐx oluşur. Logaritmanın tanım kümesi (0,∞), görüntüsü gerçek sayılardır. Grafik (1,0)’dan geçer, y eksenine yaklaşır ama ona değmez. a>1’de artan, 0<a<1’de azalandır.

2ˣ ve log₂x eğrilerinde (2,4) ile (4,2) yer değiştirir; iki eksende aynı ölçek kullanılır.

Logaritma neden hesaplamayı kolaylaştırdı?

Logaritma, çarpma ve bölmeyi toplama ve çıkarmaya dönüştürdüğü için hesap makineleri öncesinde büyük sayı hesaplarında önemliydi. John Napier’in logaritma çalışmaları ve Gelenbevi İsmail Efendi’nin logaritmayı ele alan eserleri bu tarihsel bağlamda incelenir. Bugün aynı fikir, çok farklı büyüklükleri ortak bir ölçekte karşılaştırırken kullanılır.

Onluk ve doğal logaritma

Taban yazılmadan log x genellikle log₁₀x, ln x ise logₑx demektir. e yaklaşık 2,71828 olan pozitif bir sabittir. log1000=3, log0,01=−2 ve ln e³=3 olur. e irrasyonel olsa da diğer pozitif tabanlarla aynı logaritma kurallarına uyar.

1,10,100,1000 sayıları log₁₀ altında 0,1,2,3’e dönüşür; çarpımsal adımlar eşit farka dönüşür.

Tanım kümesini önce bul

log₂(x−3) için x>3 gerekir. $\displaystyle \log_{x-1}(5-x)$ için x−1>0, x−1≠1 ve 5−x>0 birlikte incelenir: 1<x<5 ve x≠2. Değişken tabanlı ifadede yalnız içi pozitif yapmak yeterli değildir.

$\displaystyle \log_a x=y\iff a^y=x$ ; a>0, a≠1, x>0.

Dikkat: Logaritmanın içi sıfır veya negatif olamaz; logaritmanın kendisi negatif olabilir.

Logaritma kuralları ve taban değiştirme

Üsteki toplama, çarpımın logaritmasına dönüşür.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 12.1.2.3Logaritma fonksiyonunun özelliklerini kullanarak işlemler yapar.
Çarpım, bölüm, kuvvet ve taban değiştirme kurallarını koşullarıyla kullanır.

Çarpım kuralını üsten çıkar

x=aᵘ, y=aᵛ yazılırsa xy=aᵘ⁺ᵛ olur; bu yüzden $\displaystyle \log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$ . x ve y ayrı ayrı pozitif olmalıdır. Aynı düşünceyle $\displaystyle \log_a(x/y)=\log_ax-\log_ay$ . log₂8+log₂4=log₂32=5 bulunur; log₂12 değildir.

8 ile 4’ün çarpımı 32 iken log₂ değerleri 3+2=5 bağıntısını verir.

Kuvvet dışarı katsayı olarak çıkar

x>0 için $\displaystyle \log_a(x^r)=r\log_ax$ . log₃27²=2·3=6’dır. x negatif olabildiğinde logₐ(x²) ifadesini 2logₐx’e çevirmek tanım kümesini daraltır. x≠0 için doğru biçim $\displaystyle \log_a(x^2)=2\log_a|x|$ olur.

Taban değiştirmenin gerekçesi

y=logₐx ise aʸ=x. İki tarafın b tabanında logaritmasını alınca y log_ba=log_bx olur; dolayısıyla $\displaystyle \log_ax=\log_bx/\log_ba$ . b>0,b≠1 seçilir. Özellikle $\displaystyle \log_ab\cdot\log_ba=1$ uygun tabanlarda geçerlidir.

log₂x grafiğinde (4,2) noktası log₂4=2 ilişkisini gösterir; ters taban için log₄2=1/2 olur.

Ortak tabanla ifadeyi sadeleştir

log₂3·log₃8=(ln3/ln2)(ln8/ln3)=ln8/ln2=3. Farklı tabanları tek tabana dönüştürmek görünmeyen sadeleşmeleri açar. log₄8=log₂8/log₂4=3/2 de aynı yöntemdir. Taban değiştirme yeni bir yaklaşık hesap zorunluluğu değil, cebirsel araçtır.

Üs alma ve logaritma zincirinin birbirini geri alması, ortak tabandaki sadeleşmenin temelidir.

Toplama için olmayan kuralı icat etme

logₐ(x+y), logₐx+logₐy değildir. Örneğin log₂(2+2)=2, fakat log₂2+log₂2=2 tesadüfen eşittir; x=2,y=6 seçince log₂8=3 ile log₂12 farklı çıkar. Bir sayısal örneğin doğru gelmesi genel özdeşliği kanıtlamaz.

Logaritmada çarpım ile toplamın farkı
İfade	Değer
$\displaystyle \log_2(2\cdot8)$	4
$\displaystyle \log_22+\log_28$	4
$\displaystyle \log_2(2+8)$	$\displaystyle \log_210$

Logaritma çarpımı toplama, bölümü çıkarma, kuvveti katsayıya çevirir.

Dikkat: Çarpım kuralını kullanmadan önce her çarpanın ayrı ayrı pozitif olduğunu kontrol et.

Üstel–logaritmik denklemler, eşitsizlikler ve modeller

Cebirsel çözümü tanım ve artış yönüyle birlikte yürüt.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 12.1.3.1Üstel, logaritmik denklemlerin ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
MEB 12.1.3.2Üstel ve logaritmik fonksiyonları gerçek hayat durumlarını modellemede kullanır.
Üstel ve logaritmik denklem–eşitsizlikleri çözer, büyüme ve azalmayı modeller.

Ortak taban veya değişken dönüşümü

$\displaystyle 2^{2x}-5\cdot2^x+4=0$ denkleminde t=2ˣ>0 seçilirse t²−5t+4=0 olur. t=1 veya 4’ten x=0 veya 2 çıkar. Negatif bir t kökü bulunsaydı elenirdi. Ortak taban mümkünse $\displaystyle 3^{2x-1}=27$ doğrudan 2x−1=3 verir.

Logaritmaları birleştirirken koşulu koru

log₂(x−1)+log₂(x−3)=3 için önce x>3 yazılır. Birleştirince (x−1)(x−3)=8, yani x²−4x−5=0 olur. Kökler 5 ve −1’den yalnız 5 tanıma uyar. Birleşik çarpım −1’de pozitif olsa da özgün iki logaritma o noktada tanımsızdır.

Taban eşitsizlik yönünü belirler

a>1 için logₐu<logₐv, pozitif u,v altında u<v ile eşdeğerdir. 0<a<1 için yön ters döner. $\displaystyle \log_{1/2}(x-1)\ge-2$ için x>1 ve x−1≤4 birlikte gerekir; çözüm (1,5] olur. Önce tabanı yorumla, sonra içerikleri karşılaştır.

log₁/₂(x−1) azalandır; y≥−2 koşulu, x>1 tanım koşuluyla birlikte 1<x≤5 verir.

Sabit yüzdeli değişimi modelle

Her dönemde %r artan N₀ miktarı n dönem sonra $\displaystyle N_n=N_0(1+r/100)^n$ olur. %20 artışla 100’den 200’e ulaşma zamanı 1,2ᵗ=2 denkleminden t=ln2/ln1,2 ile bulunur. Sürekli t modeli kabul ediliyorsa bu değer kullanılır; dönem sonu sayısı isteniyorsa koşulu sağlayan ilk tam sayı seçilir.

Sabit %20 artışta 100·1,2ᵗ eğrisi yukarı kıvrılır; sabit miktarlı artışla farkı büyür.

Logaritmik ölçekte kat sayısı fark olarak görünür

Ses düzeyi modelinde iki şiddetin desibel farkı 10log(I₂/I₁)’dir. Şiddet oranı 100 ise fark 20 desibel olur. Basit pH modelinde pH=−log[H⁺]; derişim 10⁻³’ten 10⁻⁴’e düşerse pH 3’ten 4’e çıkar. Bunlar ölçekte bir birim farkın nicelikte bir birim artış olmadığını gösterir. Aynı nedenle logaritmik eksende eşit aralıklar eşit oranları temsil eder.

Azalma ve yarılanma

Her 4 saatte yarıya düşen miktar $\displaystyle N(t)=N_0(1/2)^{t/4}$ ile modellenir. Başlangıcın sekizde biri için $\displaystyle (1/2)^{t/4}=(1/2)^3$ , dolayısıyla t=12 saat olur. Modelin birimleri uyumlu olmalı; t saatse yarılanma süresi de saatle yazılır. Sabit bir miktar azalma aynı model değildir.

Başlangıç miktarı 4,8,12 saat sonunda sırasıyla yarıya, dörtte bire ve sekizde bire iner.

Tanım koşulu → aynı taban veya logaritma → artış yönü → başlangıçta kontrol.

Dikkat: Logaritmaları birleştirdikten sonra elde edilen geniş tanım kümesi, özgün ifadenin koşullarının yerine geçmez.