İntegral ve Alan

F′(x)=f(x) ise F, f’nin bir ilkel fonksiyonudur. F+C’nin türevi de f olduğundan $\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ yazılır. x²’nin türevi 2x olduğu için ∫2x dx=x²+C. C sabiti verilen bir başlangıç koşuluyla belirlenebilir; koşul yoksa serbesttir.

$\displaystyle \int x^n\,dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ (n≠−1), kullanılan kuvvetin tanımlı olduğu uygun aralıkta geçerlidir. ∫x² dx=x³/3+C, $\displaystyle \int\sqrt x\,dx=2x^{3/2}/3+C$. n=−1’de payda sıfır olacağı için bu formül kullanılamaz; her üssü aynı kuralın içine zorlamamalıyız.

F′(x)=2x ve F(1)=4 ise F=x²+C’den 1+C=4, C=3 bulunur. Türevi aynı olan farklı fonksiyonların grafikleri düşey ötelemeleridir. Aynı nedenle hızdan konuma geçerken başlangıç konumu, ivmeden hıza geçerken başlangıç hızı gerekir.

∫2x(x²+1)³ dx ifadesinde içteki x²+1’in türevi 2x dışarıda vardır. u=x²+1, du=2x dx seçilince integral ∫u³ du=u⁴/4+C olur. x’e dönünce $\displaystyle (x^2+1)^4/4+C$ bulunur. Sonucun türevi zincir kuralıyla başlangıç integrandını verir.

$\displaystyle \int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$ için u=x²+1 seçildiğinde x=0→u=1, x=1→u=2. Dolayısıyla $\displaystyle \int_1^2u^3\,du=(16-1)/4=15/4$. u değişkeninde integral alıp x sınırlarını kullanmak yanlıştır. Alternatif olarak x’e geri dönüp eski sınırları kullanabilirsin.

Uygun değiştirmede f(g(x))g′(x) dx yapısı f(u) du’ya dönüşür. ∫(x²+1)³ dx ifadesinde 2x çarpanı olmadığı için aynı değiştirme integralin tamamını basitleştirmez. Yöntem, görünüşte parantez bulunmasına değil iç türevin de ifadede bulunmasına dayanır.

[a,b] aralığını n eş parçaya ayırınca Δx=(b−a)/n olur. Her parçada seçilen xᵢ* noktasının f(xᵢ*) yüksekliğiyle alan f(xᵢ*)Δx alınır. Bu parçaların toplamı eğriyle eksen arasındaki bölgeyi yaklaşık ölçer. Fonksiyon negatifse yükseklik işaretli kabul edilir; toplam net birikimi anlatır.

f(x)=x², [0,2] ve n=4 için Δx=1/2. Sağ uçlarla toplam $\displaystyle (1/2)(1/4+1+9/4+4)=15/4$; sol uçlarla $\displaystyle (1/2)(0+1/4+1+9/4)=7/4$ olur. Fonksiyon artan olduğu için sağ toplam üstten, sol toplam alttan yaklaşır. Gerçek alan 8/3 bu ikisinin arasındadır.

Hızın zamana göre belirli integrali yer değiştirmedir. Hız negatif olduğu aralıklarda geri yönlü hareketin katkısı negatiftir. Sabit 3 m/s hızla 4 saniye hareket için integral 12 metredir. Değişen hızda aynı fikir küçük zaman aralıklarındaki hız·zaman katkıları toplanarak uygulanır.

$\displaystyle \int_a^a f=0$ ve $\displaystyle \int_b^a f=-\int_a^b f$. Aynı aralığı ters yönde saymak işaretli birikimin yönünü değiştirir. Örneğin ∫₀² x dx=2 iken ∫₂⁰ x dx=−2’dir. Geometrik alanın kendisi negatif değildir; bu fark integralin yönlü yapısından gelir.

a<c<b için $\displaystyle \int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$. ∫₁⁵ f=9 ve ∫₁³ f=4 ise ∫₃⁵ f=5 olur. Parçalı fonksiyonlarda kuralın değiştiği noktada, alan hesabında ise işaretin değiştiği noktada aralığı bölmek aynı ilkeye dayanır.

f(x)=x (0≤x<1), f(x)=2 (1≤x≤3) olsun. $\displaystyle \int_0^3 f(x)\,dx=\int_0^1x\,dx+\int_1^3 2\,dx=1/2+4=9/2$. x=1’deki tek değerin hangi parçaya ait olduğu bu integralin sonucunu değiştirmez; tek noktanın genişliği yoktur. Kural değişiminin bütün aralığını tek formülle hesaplamak ise sonucu değiştirir.

Sürekli tek f için ∫₋ₐᵃ f=0, çünkü karşılıklı parçalar ters işaretle birbirini götürür. Çift f için ∫₋ₐᵃ f=2∫₀ᵃ f. x³ tek, x² çifttir. x³+x² toplamında yalnız tek kısım yok olur. Aralık simetrik değilse bu kestirmeler doğrudan uygulanmaz.

f≥0 olan [a,b] aralığında alan ∫ₐᵇ f’dir. y=x ve 0≤x≤2 için integral [x²/2]₀²=2. Geometrik olarak tabanı 2, yüksekliği 2 olan dik üçgenin alanı da 2’dir. Bu karşılaştırma integralin alan anlamını somutlaştırır.

f≤0 ise x ekseni üst sınır y=0, eğri alt sınır y=f(x) olduğundan yükseklik 0−f(x)=−f(x). Alan $\displaystyle -\int_a^bf$. y=x’in [−2,0] integralinin değeri −2, alanı 2’dir. Negatif integral alanın eksi olduğu anlamına gelmez; seçilen fonksiyon eksenin altında kalmıştır.

y=x’in [−2,2] integrali 0’dır ama iki üçgenin toplam alanı 4’tür. Alan $\displaystyle \int_{-2}^0(-x)\,dx+\int_0^2x\,dx$ ile bulunur. Genel ifade $\displaystyle \int_a^b|f(x)|\,dx$’tir. Mutlak değer ancak f’nin işareti incelenerek açılır.

y=2x ve y=x² eğrileri x²=2x’ten x=0 ve x=2’de kesişir. Arada x=1 seçince doğru 2, parabol 1 yüksekliğindedir; üstte doğru kalır. Dolayısıyla şerit yüksekliği 2x−x²’dir. Her iki eğriyi ayrı ayrı eksene göre alan gibi yorumlamak yerine aralarındaki düşey fark alınır.

Alan $\displaystyle \int_0^2(2x-x^2)\,dx=[x^2-x^3/3]_0^2=4/3$. İki eğri de eksenin altında olsaydı yöntem değişmezdi; hangi eğrinin y değerinin daha büyük olduğu önemlidir. Örneğin −1, −3’ten üsttedir ve aralarındaki yükseklik (−1)−(−3)=2’dir.

y=x ve y=x³, x=−1,0,1’de kesişir. (−1,0)’da x³ üstte, (0,1)’de x üsttedir. Alan ∫₋₁⁰(x³−x) dx+∫₀¹(x−x³) dx=1/2. Tek bir sırayla çıkarıp [−1,1] integralini almak simetri nedeniyle 0 verir ve alanı yok eder.

İki eğri sonsuza kadar ayrılsa bile x=a ve x=b doğruları ile sınırlanan bölge sonlu olabilir. Kesişim dışında verilen sınırlar varsa integral aralığını onlarla kurarız; içeride kesişim bulunuyorsa yine parçalarız. Tersi durumda sınır verilmeden yalnız bir kesişim, kapalı ve sonlu alan oluştuğunu garanti etmez.