İntegral ve Alan

Boş kovaya su dolduralım. Musluk dakikada 2 litre akıyorsa iki dakikada 4 litre birikir: hızla süreyi çarparız. Fakat ilk dakika 2, ikinci dakika 6 litre/dakika akarsa toplam 4 değil, 2+6=8 litredir. Çizimde iki dakikanın katkılarını ayrı kutularda görebilirsin.

Şimdi musluğu yavaş yavaş açalım: akış iki dakika boyunca her an değişsin. Artık bütün süre için kullanabileceğimiz tek bir akış hızı yok. Hangi sayıyı iki dakikayla çarpacağız? Önceki örnekte işe yarayan düşünceyi geliştirebiliriz: süreyi küçük parçalara ayır, her parçanın katkısını bul, sonra hepsini topla. İntegralin temel fikri budur.

Görseldeki yeni örnekte akış, iki dakika boyunca 2’den 6 litre/dakikaya düzgün biçimde artıyor. Böyle bir değişimde bir dakikalık parçalar kaba kalır. Yarım dakika, çeyrek dakika, daha kısa süreler seçersek her parçadaki akışı daha iyi temsil ederiz. Grafikte yatay eksen zaman, düşey eksen litre/dakika olsun. Her küçük dikdörtgenin alanı akış × süre, yani o aralıkta eklenen yaklaşık su miktarıdır. Dikdörtgenler inceldikçe toplam, gerçek birikime yaklaşır. Bu limit, belirli integraldir.

Türev, “kovadaki miktar şu anda ne hızla değişiyor?” diye soruyordu. İntegral ters yönde, “bu değişimler ne kadar miktar oluşturdu?” diye sorar. Başlangıçta kovada 5 litre varsa aynı musluk 5 litre daha dolu bir kova üretir; değişim bilgisi başlangıcı tek başına belirlemez. Bu yüzden önce belirsiz integralde, türevi verilen miktar fonksiyonlarını bulacağız. Ardından burada gördüğümüz parçaları toplama fikrine dönerek belirli integrali ve alan hesabını kuracağız.

x²’nin türevi 2x’tir; x²+3’ün ve x²−1’in türevleri de 2x’tir. Sabit eklemek grafiği yukarı veya aşağı taşır, değişim oranını değiştirmez. Bu nedenle yalnız türevin 2x olduğunu bilmek tek bir fonksiyon seçmez; x²+C ailesini verir.

F′(x)=f(x) ise F’ye f’nin ilkel fonksiyonu denir. Bir aralık üzerindeki bütün ilkel fonksiyonları $\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ ile gösteririz; bu belirsiz integraldir. ∫2x dx=x²+C yazımında aranan, türevi 2x olan fonksiyonlardır. C başlangıç bilgisinin serbestliğini taşır. Şimdi daha genel kuvvetlerin hangi fonksiyonların türevinden geldiğini araştıracağız.

x²’yi türev olarak elde etmek istiyoruz. x³’ün türevi 3x² olduğuna göre fazladan 3’ü gidermek için x³/3 seçeriz. Aynı düşünceyle xⁿ elde etmek için kuvveti bir artırıp gelen n+1 katsayısına böleriz: $\displaystyle \int x^n\,dx=x^{n+1}/(n+1)+C$, n≠−1.

Kontrol doğrudandır: sağ tarafın türevi $\displaystyle (n+1)x^n/(n+1)=x^n$ olur. Kural, kullanılan kuvvetin tanımlı olduğu uygun aralıkta uygulanır. ∫x² dx=x³/3+C ve $\displaystyle \int\sqrt x\,dx=2x^{3/2}/3+C$. n=−1 olduğunda bu kurulumda sıfıra bölme çıkar; aynı formül o üs için kullanılamaz.

F′(x)=2x ve F(1)=4 ise F=x²+C’den 1+C=4, C=3 bulunur. Türevi aynı olan farklı fonksiyonların grafikleri düşey ötelemeleridir. Aynı nedenle hızdan konuma geçerken başlangıç konumu, ivmeden hıza geçerken başlangıç hızı gerekir.