AYT’ye Geçiş

$\displaystyle a^m a^n=a^{m+n}$, $\displaystyle (a^m)^n=a^{mn}$ kurallarını özellikle kesirli üslerde tanım koşullarıyla kullan. Pozitif a için $\displaystyle a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}$ yazılır. Çift dereceli gerçek kökün içi negatif olamaz. $\displaystyle \sqrt{x-1}=x-3$ için hem $\displaystyle x\ge1$ hem $\displaystyle x\ge3$ gerekir; kare alma sonunda bulunan her aday başlangıçta denenir.

Negatif sayıyla çarpma veya bölme eşitsizliğin yönünü değiştirir. İşareti bilinmeyen ifadeyle çarpmak ise durum ayrımı gerektirir. $\displaystyle 1/x>1$ için x ile koşulsuz çarpmak yerine $\displaystyle (1-x)/x>0$ yazıp 0 ve 1 noktalarında işaret incelemesi yaparız. Sonuç $\displaystyle 0<x<1$ olur. Bu alışkanlık ikinci dereceden eşitsizliklerde de kullanılacak.

Önce dağıtma özelliğiyle parantezleri aç, benzer terimleri birleştir. $\displaystyle 3(x-2)+x=10$ denkleminde $\displaystyle 4x-6=10$, ardından $\displaystyle x=4$ olur. Eksi işaretini bütün paranteze dağıtmak gerekir.

Kesirli denklemde iki tarafı ortak payda ile çarparak kesirlerden kurtulabiliriz: $\displaystyle x/2+x/3=5$ için iki tarafı 6 ile çarpınca $\displaystyle 3x+2x=30$ olur. Paydada bilinmeyen varsa önce paydayı sıfır yapan değerleri dışla. Cebirsel düzenleme başlangıçtaki tanım kümesini genişletmez.

$\displaystyle ax=b$ denkleminde a sıfır değilse tek çözüm $\displaystyle x=b/a$’dır. $\displaystyle a=0$, $\displaystyle b\ne0$ ise $\displaystyle 0=b$ imkânsız olduğundan çözüm yoktur. İkisi de sıfırsa denklem bütün izin verilen x değerlerinde doğrudur.

$\displaystyle 2(x+1)=2x+2$ bir özdeşliktir; $\displaystyle 2(x+1)=2x+3$ ise hiçbir gerçek sayıda doğru değildir. Parametreli denklemlerde x’in katsayısını bölmeden önce sıfır olup olamayacağını incelemek, bu durumları kaçırmanı önler.

$\displaystyle x+y=7$ tek başına birçok ikiliye izin verir. Buna $\displaystyle x-y=1$ eklenirse ortak çözümü ararız. Denklemleri taraf tarafa toplayınca y gider: $\displaystyle 2x=8$, $\displaystyle x=4$, $\displaystyle y=3$. Bu yok etme yöntemidir; gerekirse önce denklemlerden biri sabit bir sayıyla çarpılır.

Yerine koymada ise bir denklemden $\displaystyle y=7-x$ bulup diğerinde kullanırız. İki yöntem de aynı ortak çözümü verir. Bulduğun ikiliyi iki özgün denklemde de denetle; yalnızca birini sağlaması yeterli değildir.

Denklemde bulunan değer, problemdeki nesneyi de temsil edebilmelidir. Kişi sayısı negatif veya kesirli, bir uzunluk negatif olamaz. Rakam için 0–9 aralığı gerekir. Bu nedenle önce cebirsel çözümü bulur, sonra modelin koşullarını uygularız.

Bir işlemin iki tarafını kareye almak veya değişken içeren paydayla çarpmak koşulları değiştirebilir. Son kontrolü sadeleştirilmiş son satırda değil, başlangıçtaki denklemde yapmak bu yüzden önemlidir.

“10’dan küçük pozitif çift tam sayılar” bir küme belirtir; hangi sayıların dahil olduğu bellidir. “Güzel sayılar” ise ortak, kesin bir ölçüt verilmeden küme belirtmez. Kümeleri A, B gibi büyük harflerle, elemanları süslü parantez içinde yazarız: $\displaystyle A=\{2,4,6,8\}$.

$\displaystyle 2\in A$ ifadesi 2’nin A’nın elemanı olduğunu, $\displaystyle 3\notin A$ olmadığını söyler. Liste yöntemi, ortak özellik yöntemi ve Venn şeması aynı kümeyi farklı biçimlerde gösterebilir. $\displaystyle A=\{x\in\mathbb Z:0<x<10,\ x\text{ çift}\}$ aynı örneğin özellik gösterimidir.

$\displaystyle \{1,2,3\}$ ile $\displaystyle \{3,1,2\}$ aynı kümedir. Bir elemanı tekrar yazmak yeni bir eleman oluşturmaz; $\displaystyle \{1,1,2\}=\{1,2\}$. A’nın eleman sayısı $\displaystyle s(A)$ veya |A| ile gösterilir.

Hiç elemanı olmayan küme $\displaystyle \varnothing$’dir; eleman sayısı 0’dır. $\displaystyle \{\varnothing\}$ ise içinde boş küme bulunan bir elemanlı bir kümedir. Parantezin dışındaki küme ile içindeki nesnenin türünü ayırmak, kümelerin de eleman olabildiği durumlarda önemlidir.

n elemanlı bir kümenin her elemanı için “alt kümeye al” veya “alma” diye iki bağımsız seçenek vardır. Bu nedenle alt küme sayısı $\displaystyle 2^n$’dir. Bu sayıya boş küme ve kümenin kendisi dahildir.

Kendisinden farklı alt kümelere öz alt küme denir; sayıları $\displaystyle 2^n-1$’dir. Belirli bir elemanın mutlaka bulunması isteniyorsa o elemanın seçimi sabitlenir, kalan n−1 eleman serbesttir: $\displaystyle 2^{n-1}$. Belirli r elemanlı alt kümeleri saymayı kombinasyonda ayrıca öğreneceğiz.

A ve B aynı elemanlara sahipse eşittir. Bunun için hem $\displaystyle A\subseteq B$ hem $\displaystyle B\subseteq A$ gerekir. Sonlu iki kümenin eleman sayılarının eşit olması, kümelerin eşit olduğunu göstermez: {1,2} ile {3,4} farklıdır.

Sonlu kümelerde $\displaystyle A\subseteq B$ ve $\displaystyle s(A)=s(B)$ birlikte verilirse A=B çıkar. Bir kümenin elemanları değişken içeriyorsa eşitliği incelerken yazılı sıraya göre eşleştirmek yerine hangi elemanların aynı topluluğu oluşturduğunu kontrol et.

$\displaystyle A\setminus B$, A’da olup B’de olmayan elemanları içerir. Örnekte {1,2}’dir; $\displaystyle B\setminus A=\{4\}$ olduğundan fark işlemi yer değiştirmez. Evrensel küme E, konuştuğumuz bütün olası elemanları belirler.

A’nın tümleyeni $\displaystyle A'=E\setminus A$’dır. E={1,2,3,4,5} ise A′={4,5}. Evrensel küme değişirse tümleyen de değişir. “Hiçbiri” ifadesi, birleşimin evrensel küme içindeki tümleyenidir.

$\displaystyle s(A)+s(B)$ toplandığında ortak elemanlar iki kez sayılır. Birleşimde her biri bir kez bulunmalı; bu yüzden $\displaystyle s(A\cup B)=s(A)+s(B)-s(A\cap B)$. Yalnız A’dakiler $\displaystyle s(A)-s(A\cap B)$’dir.

Üç kümede önce tek tek sayıları toplar, ikili kesişimleri çıkarır, üçlü kesişimi bir kez ekleriz. Çünkü üçlü ortak eleman başlangıçta üç kez sayılıp üç kez çıkarılmıştır. Soruda “A ve B” denildiğinde üçüncü kümeye de ait olanları kapsayabileceğini, “yalnız A ve B” denildiğinde kapsamayacağını ayır.

Bir eleman A veya B’nin hiçbirinde değilse hem A’nın hem B’nin dışındadır. Bu düşünce $\displaystyle (A\cup B)'=A'\cap B'$ eşitliğini verir. Benzer biçimde $\displaystyle (A\cap B)'=A'\cup B'$; ortak bölgede olmamak, en az birinin dışında olmaktır.

Bu iki ilişki De Morgan kurallarıdır. $\displaystyle A\setminus B=A\cap B'$ de aynı üyelik koşulunun başka yazımıdır. Formülleri ezberlemek yerine bir elemanın hangi koşulları sağlaması gerektiğini söyleyerek doğrulayabilirsin.

Doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olan bildirme cümlesine önerme denir. “2 bir çift sayıdır” doğru, “5<3” yanlış bir önermedir. Sorular, emirler ve kişiye göre değişen beğeniler bu anlamda önerme değildir.

Doğru için 1, yanlış için 0 kullanır; önermeleri p, q ile gösteririz. $\displaystyle x>3$ gibi değeri x’e bağlı bir ifade tek başına açık önermedir. x’in değeri veya bir niceleyici belirlenince doğruluk değeri değerlendirilir.

p önermesinin değili $\displaystyle p'$ veya $\displaystyle \neg p$ ile gösterilir; doğruyu yanlış, yanlışı doğru yapar. “x>3”ün değili “x≤3”tür; yalnız “x<3” yazmak eşitlik durumunu dışarıda bırakır. İki kez değil almak başlangıcı verir: $\displaystyle (p')'=p$.

Aynı doğruluk değerine sahip önermeler denk kabul edilir. Bileşik ifadelerin her olası doğruluk atamasında aynı sonucu vermesi de bir mantıksal denkliği gösterir. Bu denklik cümlelerin günlük anlamlarının aynı olması demek değildir.

$\displaystyle p\land q$ yalnız iki önerme de doğruysa doğrudur. $\displaystyle p\lor q$ en az biri doğruysa doğrudur; ikisinin de doğru olmasını dışlamaz. Ya da bağlacı $\displaystyle p\veebar q$ ise tam biri doğruyken doğrudur.

Günlük dilde “veya” bazen iki seçeneği dışlayacak şekilde kullanılır; matematiksel tabloda dışlayıcı olan bağlaç “ya da”dır. İki önerme için dört olası doğruluk durumu bulunur.

“p ve q”nun yanlış olması için en az birinin yanlış olması yeterlidir. Bu yüzden $\displaystyle (p\land q)'=p'\lor q'$. “p veya q”nun yanlış olması ise ikisinin de yanlış olmasını gerektirir: $\displaystyle (p\lor q)'=p'\land q'$.

Değil işareti parantezin içine girerken hem önermeler terslenir hem ve–veya yer değiştirir. $\displaystyle (p\lor q)'$ ifadesini yalnız $\displaystyle p'\lor q'$ yazmak doğru değildir. Aşağıdaki tabloda her kuralın iki tarafı bütün doğruluk durumlarında aynı sonucu verir.

$\displaystyle p\Rightarrow q$, “p ise q” demektir. Bu ifade yalnız p doğru, q yanlış olduğunda yanlıştır; diğer durumlarda doğrudur. $\displaystyle p\Rightarrow q$ ile $\displaystyle p'\lor q$ aynı doğruluk tablosunu taşır.

“Bir tam sayı 4’e bölünüyorsa çifttir” koşulunda 4’e bölünen fakat çift olmayan bir sayı, iddiayı çürütürdü. 4’e bölünmeyen bir sayıysa ön koşulu sağlamadığı için bu iddiaya karşı örnek olmaz. Koşulun doğruluğu, p’nin tek başına doğru olduğunu söylemez.

$\displaystyle p\Leftrightarrow q$, hem $\displaystyle p\Rightarrow q$ hem $\displaystyle q\Rightarrow p$ demektir. p ve q aynı doğruluk değerindeyken doğrudur. “Bir tam sayı çifttir ancak ve ancak 2’ye tam bölünür” iki yönü de doğru bir ilişkidir.

$\displaystyle p\Rightarrow q$ içinde p, q için yeterli; q, p için gerekli koşuldur. Ancak ve ancak ifadesinde her biri diğeri için hem gerekli hem yeterlidir. Bir teorem iki yönlü yazılmışsa yalnız bir yönünü kanıtlamak tamamını kanıtlamaz.

“Herkes geldi”nin değili “en az bir kişi gelmedi”dir; “kimse gelmedi” değildir. Sembolik olarak $\displaystyle (\forall x\ P(x))'=\exists x\ P'(x)$. “En az bir kişi geldi”nin değili ise “herkes gelmedi” ifadesinin belirsiz günlük kullanımı yerine açıkça “hiç kimse gelmedi”dir: $\displaystyle (\exists x\ P(x))'=\forall x\ P'(x)$.

Birden fazla niceleyicide sıra da önemlidir. “Her öğrencinin okuduğu bir kitap vardır” her öğrencinin farklı kitap okumasına izin verir. “Bütün öğrencilerin okuduğu bir kitap vardır” ise tek ortak kitap ister.

Tanım, kavramın hangi anlamda kullanılacağını belirler; çift sayıyı 2k biçimindeki tam sayı olarak tanımlamak gibi. Aksiyom, kurulan sistemde kanıtlanmadan başlangıç kabulü alınan önermedir. Teorem, bu kabullerden mantıksal çıkarımla doğruluğu gösterilen önermedir. İspat bu çıkarımların gerekçeli zinciridir.

İki çiftin toplamının çift olduğunu birkaç örnekle görmek sezgi sağlar. Genel ispatta sayıları 2a ve 2b yazıp toplamı $\displaystyle 2(a+b)$ buluruz; a+b tam sayıdır. Sonlu birkaç doğrulama, sonsuz sayıda duruma ilişkin iddiayı tek başına kanıtlamaz.