AYT’ye Geçiş

−3’ün karesini alalım: 9. Şimdi 9’un karekökünü alalım: 3. Aynı işlemleri 3’e uyguladığımızda da 3’e döneriz. Pozitif sayıda yolculuk başladığı yerde bitti; negatif sayıda ise bitmedi. Oysa “kare ile kök birbirini götürür” diye öğrenmiş olabiliriz. Hesap mı yanlış, yoksa kullandığımız söz eksik mi?

Çizimde iki başlangıcın aynı 9’a ulaştığı yere bak. Kare almak, başlangıçtaki işareti görünmez hale getirmiştir. Yalnız 9’u gören biri, oraya 3’ten mi −3’ten mi geldiğimizi bilemez. AYT’de pek çok işlem hatası böyle bir bilginin fark edilmeden kaybolmasıyla başlar.

Karekök işareti, karesi verilen sayı olan negatif olmayan sayıyı seçer. Bu nedenle √9=3’tür. −3’ten başlamış olsak bile karekök bizi pozitif tarafa getirir. Genel olarak $\displaystyle \sqrt{x^2}=|x|$ yazmamızın nedeni budur; mutlak değer, başlangıç sayısının sıfıra uzaklığını verir.

Bu hazırlık boyunca her kuralın yanında aynı soruyu soracağız: hangi sayılarla çalışıyoruz ve yaptığımız işlem hangi bilgiyi koruyor? Denklemde çözüm, kümede üyelik, mantıkta koşul bu sorunun farklı yüzleridir. Önce sayı kümeleriyle başlayalım; aynı denklemin neden farklı kümelerde farklı cevaplar verebildiğini görelim.

İşlemin hangi sayılara izin verdiği, denklemin cevabını da değiştirir. $\displaystyle x^2=2$ denklemini gerçek sayılarda $\displaystyle \sqrt2$ ve $\displaystyle -\sqrt2$ sağlar; ikisinin de karesi 2’dir. Bir karenin kenar uzunluğunu arıyorsak negatif olanı kabul etmeyiz. Yalnız rasyonel sayılar içinde çözüm arıyorsak ikisi de dışarıda kalır; çünkü √2 rasyonel değildir.

Bu nedenle “gerçek sayı”, “pozitif uzunluk” ve “rasyonel sayı” koşulları süs bilgi değildir. Çizimdeki sayı kümeleri, hangi adayların kullanılabildiğini gösterir. Şimdi üs, kök ve özdeşliklerle işlem yaparken hem bu kümeleri hem de başlangıç ifadesinin tanımını koruyacağız.

$\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ifadesindeki orta terim, iki farklı ab çarpımından gelir. $\displaystyle (a-b)(a+b)=a^2-b^2$ ise çapraz terimlerin yok olmasıdır. $\displaystyle x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ ve $\displaystyle x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, küp ifadelerde ortak çarpanı görünür yapar. Açılımı ezberden yazdıktan sonra bir kez dağıtarak doğrulayabilirsin.

$\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}=x+2$ eşitliği yalnız $\displaystyle x\ne2$ için doğrudur. Sadeleşen $\displaystyle (x-2)$ çarpanı başlangıçtaki yasağı ortadan kaldırmaz. Aynı nedenle denklemi bilinmeyenli çarpana bölmeden önce o çarpanın sıfır olduğu durum incelenir. $\displaystyle (x-1)(x+2)=3(x-1)$ denkleminde doğrudan bölmek $\displaystyle x=1$ çözümünü kaybettirir; çarpanlara ayırınca $\displaystyle (x-1)^2=0$ elde edilir.