Fonksiyonlar

A tanım kümesi, B değer kümesi, gerçekten ulaşılan çıktılar $\displaystyle f(A)$ ise görüntü kümesidir. Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir; ona eşit olmak zorunda değildir. Örnekte $\displaystyle f(A)=\{a,b\}$, B ise {a,b,c}’dir.

Bir formül tek başına bütün fonksiyonu anlatmayabilir; tanım ve değer kümeleri de belirlenmelidir. $\displaystyle f(x)=x^2$ için tanım kümesi gerçek sayılarsa görüntü negatif olmayan gerçeklerdir. Tanım yalnız {−2,1} ise görüntü {4,1} olur.

Gerçek sayılarda $\displaystyle f(x)=1/(x-2)$ için x=2 tanımda olamaz. $\displaystyle g(x)=\sqrt{x+1}$ için x≥−1 gerekir. $\displaystyle h(x)=\sqrt{x+1}/(x-2)$ için iki koşul birlikte uygulanır: $\displaystyle [-1,\infty)\setminus\{2\}$.

Soru ayrıca bir tanım kümesi verirse bunun izin verdiği değerlerle formülün koşullarını birlikte düşünürüz. Formülde sadeleşen bir payda, başlangıçta dışlanan girdiyi otomatik geri getirmez. f(a) sorulmadan önce a’nın tanım kümesinde olduğundan emin ol.

$\displaystyle f(x)=c$ sabit fonksiyonda bütün girdiler aynı c’ye gider; tanım kümesi boş değilse görüntü tek elemanlıdır. $\displaystyle f(x)=x$ birim fonksiyonda her girdi kendisine eşlenir. $\displaystyle f(x)=ax+b$ doğrusal kuralları günlük miktar değişimlerini modellemek için kullanırız.

Farklı girdiler farklı çıktılara gidiyorsa bire bir, görüntü değer kümesine eşitse örten denir. Bunlar fonksiyon olmak için zorunlu değildir. Bu kavramların ayrıntılı işlemleri AYT kapsamına uzanır; burada temel eşleme koşulundan farklı olduklarını bilmek yeterlidir.

Bir fonksiyon x<0 için −x, x≥0 için x kuralını kullanıyorsa bu $\displaystyle |x|$ fonksiyonudur. f(−3) hesaplanırken negatifler için olan satır seçilir ve sonuç 3 olur. Sınır x=0, ikinci satırda bulunduğu için f(0)=0’dır.

Parçaların tanım bölgeleri girdiyi boşta bırakmamalı, aynı girdiye farklı sonuçlar da vermemelidir. İki formülü aynı x için rastgele kullanmak parçalı fonksiyonun anlamını bozar. Bir fonksiyonun sıfırı ise tanım kümesindeki f(x)=0 yapan girdidir; f(0) ile aynı kavram değildir.

Her x için $\displaystyle f(-x)=f(x)$ ise f çift fonksiyondur; grafiği y eksenine göre simetriktir: $\displaystyle f(x)=x^2$ gibi. Her x için $\displaystyle f(-x)=-f(x)$ ise f tek fonksiyondur; grafiği orijine göre simetriktir: $\displaystyle f(x)=x^3$ veya $\displaystyle f(x)=2x$ gibi. $\displaystyle f(x)=x+1$ ne tek ne çifttir: $\displaystyle f(-1)=0$, $\displaystyle f(1)=2$.

Tanım kümeleri aynı olan ve her girdide aynı çıktıyı veren iki fonksiyon eşittir. $\displaystyle f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ ile $\displaystyle g(x)=x+1$ eşit değildir; çünkü 1 sayısı f’nin tanım kümesinde yoktur. Görüntü kümesi değer kümesine eşit değilse fonksiyon içine fonksiyondur.

İşlemler: Ortak tanım kümesinde $\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)$, $\displaystyle (f-g)(x)=f(x)-g(x)$, $\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$ ve $\displaystyle g(x)\ne0$ olan yerlerde $\displaystyle (f/g)(x)=f(x)/g(x)$ tanımlanır. $\displaystyle f(x)=2x+1$ ve $\displaystyle g(x)=x-3$ için $\displaystyle (f+g)(2)=5+(-1)=4$, $\displaystyle (f\cdot g)(2)=-5$’tir; $\displaystyle f/g$ ise x = 3’te tanımsızdır.

Gerçek hayat: Bir telefon tarifesinde aylık sabit ücret 120 TL ve her ek GB 15 TL ise ödeme $\displaystyle f(x)=120+15x$’tir. Tablo hâlinde (0, 120), (2, 150), (4, 180) değerleri, grafikte ise eğimi 15 olan bir doğru elde edilir.