Saymanın temel ilkeleri ve faktöriyel
Seçenekleri atlamadan ve tekrar saymadan bir düzen kuralım.
Altı kıyafeti görebiliyoruz; altı yüzünü nasıl sayacağız?
Dolabında 3 gömlek ve 2 pantolon olsun. Bir gömlekle bir pantolonu eşleştirerek kaç farklı kıyafet oluşturursun? “3+2=5” demek beş parça kıyafeti sayar; bizim aradığımız ise parçalar değil, eşleşmeler. Çizimde her gömleğin iki pantolonla da birleşebildiğini gör: toplam altı farklı kıyafet var.
Bu kadar az seçeneği resimle saymak kolay. 30 gömlek ve 20 pantolon olduğunda hepsini çizmeyeceğiz. Küçük örneğin düzenini anlayıp büyük örneğe taşıyacağız. Sayma ve olasılık boyunca ilk işimiz, neyin ayrı bir sonuç sayıldığını belirlemek olacak; doğru işlem bundan sonra gelecek.
Listeyi büyütmeden sonucu büyütebiliriz
Her gömleğe iki pantolon eşlik ediyor: 2+2+2=3·2=6. 30 gömlek ve 20 pantolonda aynı düzen 30·20=600 kıyafet verir. Bir seçimin ardından gelen ikinci seçimin seçeneklerini çarpmamızın nedeni bu eşleşme düzenidir.
Peki yalnız bir parça, gömlek veya pantolon seçseydik? O zaman 3+2=5 alternatifimiz olurdu. “Veya” ile “ve” aynı seçimi tarif etmez. Önce bu iki temel sayma ilkesini kuracağız; ardından sıranın önemli olduğu ve olmadığı seçimleri ayıracağız. Sonunda bu sonuçlardan bazılarının gerçekleşme şansını, yani olasılığını hesaplamak için yine aynı düzgün saymaya döneceğiz.
Birbirinin alternatifi olan seçenekler toplanır
Bir yere tek araçla, ya otobüs ya trenle gidiliyor olsun. 3 otobüs seferi ve 2 tren seferi varsa tek yolculuk için 3+2=5 seçenek vardır. Her seçim yalnız bir listede bulunduğu için iki sayıyı doğrudan toplarız. Buna toplama ilkesi denir; doğrudan uygulanabilmesi için seçenek grupları ayrık olmalıdır.
Aynı kişilerin yer alabildiği iki kulübün üye sayılarını toplamak farklıdır: ortak üyeler iki kez sayılır. Bu yüzden önce neyin ayrı bir sonuç olduğunu belirleriz. Kıyafet örneğinde ise ya gömlek ya pantolon seçmiyorduk; ikisini birlikte seçiyorduk. Sıradaki çarpma ilkesi bu aşamalı seçimi açıklayacak.
Ardışık seçimler çarpılır
3 gömlekten biri ve 2 pantolondan biri seçilerek bir kıyafet oluşturuluyorsa her gömleğin yanına 2 pantolon gelebilir. Toplam kıyafet vardır. Her aşamadaki seçenek sayısı belirliyse çarpma ilkesi aşamaları birleştirir.
Seçenek sayısı önceki seçime göre değişiyorsa dallara ayırmak gerekir. Bir ağaç diyagramında her dalın ucundaki farklı sonuçları saymak, düzensiz durumlarda aynı çarpanı her yere uygulama hatasını önler.
Kısıtlı yeri önce seç
0,1,2,3 rakamlarıyla rakamları farklı üç basamaklı sayı yazalım. İlk rakam 0 olamaz: 3 seçenek. İkinci yerde kalan 3, üçüncüde kalan 2 seçenek vardır; toplam 18 sayı. Rakam tekrarı serbest olsaydı son iki yerde dörder seçenek bulunurdu.
Son rakamın çift olması gibi ek koşul varsa 0 ile diğer çift rakamların etkisi farklı olabilir. Son rakam 0 olduğunda ilk yerin seçenekleri, son rakam 2 olduğundakinden farklıdır. Bu tür durumları ayrı sayıp toplamak gerekir.
Faktöriyel azalan seçimlerin kısa yazımıdır
n pozitif tam sayı için ’dir. n farklı nesneyi sıraya dizerken ilk yere n, sonraki yere n−1 seçenek kalır; bütün çarpım n! olur. tanımı, hiçbir nesneyi yerleştirmenin tek boş düzeni olmasıyla uyumludur.
Faktöriyel farkları üs gibi dağılmaz: , fakat genellikle a!+b! değildir. Oranlarda açılımı yeterli yerde durdur: .
En az bir için istenmeyeni çıkar
Bazı saymalarda “en az bir” koşulunu doğrudan durumlara bölmek uzun sürer. Bütün sonuçları sayıp hiç olmayan durumu çıkarmak daha kolaydır. Üç basamaklı 1 ve 2 rakamlarından oluşan dizilerde en az bir 2 bulunması farklı dizi verir; çıkarılan tek dizi 111’dir.
Bu yöntem toplam kümeden istenmeyen alt kümeyi çıkarmaktır. “Tam bir”, “en az bir” ve “en çok bir” aynı koşullar değildir. “En çok bir” hiç olmama durumunu da içerir; “tam bir” içermez.
Saymanın tarihi ve Sâbit İbn Kurrâ
Sayma problemleri çok eski çağlardan beri ilgi görmüştür. Hint matematikçileri hece ölçülerinin olası dizilişlerini, Çinli düşünürler sembol dizilişlerini sayarken seçme ve sıralama fikrine ulaştı.
İslam medeniyetinde Sâbit İbn Kurrâ (826–901) Harran’da doğdu ve Bağdat’ta çalıştı. Yunanca matematik ve astronomi eserlerini Arapçaya kazandırdı; sayılar kuramı, geometri ve astronomi üzerine özgün çalışmalar yaptı. Dost sayılar (her birinin kendisi dışındaki bölenlerinin toplamı diğerine eşit olan sayı çiftleri; 220 ile 284 gibi) üretmek için verdiği kural ünlüdür. Bu kural, sayıların bölenlerini sistemli biçimde sayıp sınıflandırmaya dayanır; MEB programı da saymanın tarihsel gelişiminde onun çalışmalarını anar.
Sonraki yüzyıllarda Kerecî ve İbnü’l-Bennâ gibi matematikçiler seçme sayılarını hesaplayan kurallar verdi; Avrupa’da Pascal, Fermat ve Leibniz bu kuralları olasılıkla birleştirdi. n! gösterimini ise 1808’de Christian Kramp kullanmaya başladı.
Örnek: 220’nin kendisi dışındaki bölenlerinin toplamı ’tür.
Ayrık alternatifleri topla, aşamalı seçimleri çarp. Kısıtlı konumları önce ele al; en az bir için bütün−hiç yöntemini düşün.
Bu bölümün kazanımları
- Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma yöntemlerini kullanarak hesaplar.
- Toplama ve çarpma ilkelerini ayrık durumlarla uygular; faktöriyel ve tümden çıkarma yöntemini açıklar.