Diziler

Birinci şekilde 1 nokta, ikinci şekilde 2×2=4 nokta, üçüncüde 3×3=9 nokta olsun. Her yeni adımda kenarında bir fazla nokta bulunan kare bir düzen kuruyoruz. Dördüncüde 16 nokta var. Yüzüncü şekli çizmeden nokta sayısını söyleyebilir miyiz? Kuralı fark ettiğimizde cevap 100×100=10.000’dir.

Görselde iki bilgiyi ayrı takip et: şeklin sıra numarası ve taşıdığı nokta sayısı. “Üçüncü” bir adres, “dokuz” o adresteki değerdir. Diziler bu ikisini eşleştirir; uzun bir listenin her terimini tek tek yazmadan belirlememizi sağlar.

Sıra numarasına n, o sıradaki değere aₙ diyelim. Kare düzenimizde $\displaystyle a_n=n^2$ olur; a₃=9 ve a₁₀₀=10.000’dir. Bu eşleme bir dizidir. Her dizinin güzel bir şekli veya artan terimleri olmak zorunda değildir; önemli olan izin verilen her sıra için değerin belirlenmesidir.

Çizimde 1,4,9 değerleri arasındaki artışlar +3 ve +5’tir; fark sabit değildir. İleride farkı sabit olan aritmetik dizilerle, oranı sabit olan geometrik dizileri ayrı inceleyeceğiz. Önce genel terimin ne olduğunu ve bir terimin önceki terimlerden nasıl üretilebildiğini anlayalım. Yalnız birkaç sayıya bakarak devamı tahmin etmekle, devamı belirleyen bir kural vermek aynı şey değildir.

Bir gerçek sayı dizisini, pozitif tam sayılardan gerçek sayılara bir fonksiyon olarak tanımlarız. Girdiler 1,2,3,… sıra numaralarıdır; çıktıların tam sayı olması gerekmez. Örneğin aₙ=n/2 dizisinin ilk üç terimi 1/2, 1 ve 3/2’dir.

Grafikte yalnız bu tam sayı girdilerine karşılık gelen noktalar bulunur. 1. ve 2. terimin arasına çizgi çekmek yeni bir “1,5’inci terim” tanımlamaz. Görselde sıra numaraları ile çıktıları ayrı ayrı okuyabiliriz. Şimdi bu eşlemenin sonlu olması, bütün terimlerin aynı olması veya iki dizinin eşitliği durumlarını inceleyelim.

a₁=2 ve aₙ₊₁=2aₙ+1 ise a₂=5,a₃=11,a₄=23. İlk değer verilmezse aynı yineleme kuralı farklı diziler oluşturabilir. aₙ₊₁ ve aₙ arasındaki ilişkiyi genel terim sanıp doğrudan n yerleştirmek yerine terimleri sırayla üretmek gerekir.

aₙ=(−1)ⁿ(2n+1) için tek indekslerde terimler negatif, çiftlerde pozitiftir. a₂ₖ=4k+1, a₂ₖ₋₁=−(4k−1) olur. Böyle bir dizi tek bir artan liste değildir; iki alt diziyi incelemek örüntüyü görünür yapar. Birkaç terim aynı kurala uyuyor diye başka bir genel terimin mümkün olmadığını söyleyemeyiz.

F₁=1,F₂=1 ve Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ tanımı 1,1,2,3,5,8,13,… dizisini oluşturur. İlk iki terim gereklidir. Bir veya iki basamak çıkarak merdiven çıkışlarını sayarken son adımın bir ya da iki basamak olmasına göre ayırma benzer toplama bağıntısı verir. Bazı bitkilerdeki yaprak veya tohum düzenlerinde de Fibonacci sayılarıyla ilişkili sayımlar görülür; her doğal şekil için zorunlu bir kural değildir.