Diziler

Kapsam ve kaynak

Kapsam 2026 MEB YKS belgesine göre hazırlanmıştır. MEB kazanımları TYT ve AYT diye ayırmaz; buradaki ayrım çalışma sırasıdır. Ortak ön koşullar TYT ile aynı kaynaktan gelir. Analitik geometri, dönüşümler ve çemberin analitiği AYT Geometri bölümündedir. Karmaşık sayılarda gösterim ve eşlenik, limitte sonlu sonuçlar, türev ve integralde MEB’in belirttiği cebirsel fonksiyonlar esas alınır.

2026 MEB YKS konu ve kazanımları

Dizi, genel terim ve indirgeme bağıntısı

Girdi olarak pozitif tam sayıları kullanan fonksiyonları incele.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 12.2.1.1Dizi kavramını fonksiyon kavramıyla ilişkilendirerek açıklar.
MEB 12.2.1.2Genel terimi veya indirgeme bağıntısı verilen bir sayı dizisinin terimlerini bulur.
Diziyi fonksiyonla ilişkilendirir; genel terimden ve indirgeme bağıntısından terim bulur.

Dizi terimlerin sıralı eşlemesidir

Bir gerçek sayı dizisi, pozitif tam sayılardan gerçek sayılara bir fonksiyondur. n indeksi, aₙ o indeksteki değerdir. aₙ=n/2 dizisinde a₁=1/2, a₂=1, a₃=3/2. Grafikte yalnız pozitif tam sayı girdilerindeki noktalar vardır; aralarını birleştirmek diziye yeni terimler eklemek değildir.

aₙ=n/2 dizisinin ilk altı terimi ayrı noktalarla gösterilir; indeksler 1,2,3,4,5,6’dır.

Sonlu, sabit ve eşit diziler

Tanım kümesi {1,2,…,N} olan dizi sonludur; yalnız N terimi vardır. aₙ=c biçiminde bütün terimleri aynı olan dizi sabittir. İki dizi eşitse tanım kümeleri aynı ve her izin verilen n için aₙ=bₙ olmalıdır. İlk üç terimin eşit olması sonsuz iki dizinin eşit olduğunu göstermez.

İndeks ile değeri karıştırma

aₙ=3n−2 için yedinci terim 19’dur. “19 kaçıncı terim?” denildiğinde 3n−2=19 çözülür ve n=7 bulunur. 20 için n=22/3 çıkacağından 20 bu dizinin terimi değildir; indeks pozitif tam sayı olmalıdır. n=0’dan başlatılmış özel bir tanım verilirse o tanım ayrıca izlenir.

İndirgeme bağıntısı önceki terimi kullanır

a₁=2 ve aₙ₊₁=2aₙ+1 ise a₂=5,a₃=11,a₄=23. İlk değer verilmezse aynı yineleme kuralı farklı diziler oluşturabilir. aₙ₊₁ ve aₙ arasındaki ilişkiyi genel terim sanıp doğrudan n yerleştirmek yerine terimleri sırayla üretmek gerekir.

2 başlangıç terimine her seferinde ×2+1 uygulanınca 5,11,23 terimleri sırayla oluşur.

Tek ve çift indeksleri ayır

aₙ=(−1)ⁿ(2n+1) için tek indekslerde terimler negatif, çiftlerde pozitiftir. a₂ₖ=4k+1, a₂ₖ₋₁=−(4k−1) olur. Böyle bir dizi tek bir artan liste değildir; iki alt diziyi incelemek örüntüyü görünür yapar. Birkaç terim aynı kurala uyuyor diye başka bir genel terimin mümkün olmadığını söyleyemeyiz.

(−1)ⁿ(2n+1) dizisinin tek ve çift indeksleri eksenin farklı taraflarında ayrı noktalar oluşturur.

Fibonacci: iki önceki terimin toplamı

F₁=1,F₂=1 ve Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ tanımı 1,1,2,3,5,8,13,… dizisini oluşturur. İlk iki terim gereklidir. Bir veya iki basamak çıkarak merdiven çıkışlarını sayarken son adımın bir ya da iki basamak olmasına göre ayırma benzer toplama bağıntısı verir. Bazı bitkilerdeki yaprak veya tohum düzenlerinde de Fibonacci sayılarıyla ilişkili sayımlar görülür; her doğal şekil için zorunlu bir kural değildir.

1,1,2,3,5,8,13 terimlerinin sütunları büyür; son sütun önceki 5 ve 8’in toplamıdır.

Örüntüyü verilen tanımla gerekçelendir

2,4,6,… başlangıcı tek başına bütün diziyi zorunlu belirlemez; devam için bir kural gerekir. Genel terim veya yineleme verilmişse n yerine indeks koyarak her terim denetlenebilir. Dizilerin toplamı, farkı ve çarpımı aynı indeksteki terimler üzerinden tanımlanır; farklı indeksler gelişigüzel eşleştirilmez.

aₙ bir değerdir, n bir indekstir; dizide indeksin izin verilen tam sayı olması şarttır.

Dikkat: İlk birkaç terim, ek bir kural olmadan sonsuz diziyi tek biçimde belirlemez.

Aritmetik dizi ve toplam

Ardışık terimlerde sabit farkı kullan.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 12.2.1.3Aritmetik ve geometrik dizilerin özelliklerini kullanarak işlemler yapar.
MEB 12.2.1.4Diziler yardımıyla gerçek hayat durumları ile ilgili problemler çözer.
Aritmetik dizinin genel terimini ve sonlu toplamını gerekçelendirerek problemlere uygular.

Sabit fark genel terimi verir

aₙ₊₁−aₙ=d sabitse dizi aritmetiktir. Birinci terimden n’inciye n−1 kez d eklenir: aₙ=a₁+(n−1)d. a₁=5,d=3 için a₇=23’tür. d pozitifse artan, negatifse azalan, sıfırsa sabit dizi oluşur.

5’ten başlayan dizide her ok +3’ü gösterir; yedinci terime ulaşmak altı artış gerektirir.

İki uzak terimden farkı bul

a₄=11 ve a₉=26 ise arada beş adım vardır: 5d=15, d=3. Ardından a₁=a₄−3d=2 olur. Genel olarak aₙ−aₘ=(n−m)d. Verilen iki değerin indekslerini çıkarmak, arada kaç eşit artış bulunduğunu söyler.

Toplam sembolü bir kısaltmadır

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n$ yazımı ilk n terimi toplar. Alt sınır başlangıç indeksini, üst sınır bitiş indeksini söyler. $\displaystyle \sum_{k=2}^{4}(3k-1)=5+8+11=24$ . k toplam içinde kullanılan geçici indekstir; sonucu yeni bir fonksiyon girdisi olarak yorumlamayız.

Toplamı ters sırayla eşleştir

Sₙ=a₁+a₂+…+aₙ yazıp tersini altına koyunca her sütunun toplamı a₁+aₙ olur. n sütundan 2Sₙ=n(a₁+aₙ), dolayısıyla $\displaystyle S_n=n(a_1+a_n)/2=n[2a_1+(n-1)d]/2$ . Toplam, terim sayısı ile uçların ortalamasının çarpımıdır.

2,5,8,11 terimleri ters sırayla eşleştirilince her sütun 13 verir; iki toplam 4·13’tür.

2,5,8,11 dizisinde eşleşme
Sıra	1	2	3	4
Düz	2	5	8	11
Ters	11	8	5	2
Toplam	13	13	13	13

Orta terim ve simetri

Aritmetik dizide eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı aynıdır: a₁+a₉=a₂+a₈=2a₅. Üç ardışık terim a−d,a,a+d biçiminde yazılabilir. Böylece ortadaki terim komşularının aritmetik ortalamasıdır; fakat terimlerin çarpımları genellikle eşit değildir.

5,8,11 terimlerinde merkeze iki taraftan aynı 3 farkıyla ulaşılır; 8 komşuların ortalamasıdır.

Gerçek durumda indeks başlangıcını belirle

İlk sırada 12, her sonraki sırada 2 fazla koltuk bulunan 10 sıralı salonda son sıra 30 koltuktur. Toplam 10(12+30)/2=210 olur. “10 kez artırma” ile “10 sıra” aynı değildir; ilk sıra zaten 12 koltuktur ve sadece 9 artış yapılır.

$\displaystyle a_n=a_1+(n-1)d$ , $\displaystyle S_n=n(a_1+a_n)/2$ .

Dikkat: n’inci terime ulaşmak için n değil n−1 kez ortak fark eklenir.

Geometrik dizi ve sonlu toplam

Sabit oranı çarpma ve toplamda kullan.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 12.2.1.3Aritmetik ve geometrik dizilerin özelliklerini kullanarak işlemler yapar.
MEB 12.2.1.4Diziler yardımıyla gerçek hayat durumları ile ilgili problemler çözer.
Geometrik dizide genel terim ve sonlu toplamı hesaplar; büyüme–azalma modelleri kurar.

Sabit oran genel terimi verir

Sıfır olmayan ardışık terimler için aₙ₊₁/aₙ=r sabitse geometrik dizi vardır. Genel terim aₙ=a₁rⁿ⁻¹’dir. 3,6,12,24,… için a₁=3,r=2. r negatifse işaretler dönüşümlü olabilir; r’nin pozitif veya negatif olması dizinin davranışını değiştirir. Bölme ile oran bulunurken paydadaki terimin sıfır olmadığı kontrol edilir.

3,6,12,24 terimleri yalnız tam sayı indekslerinde çizilir; her yeni yükseklik öncekinin iki katıdır.

Toplamı r ile çarp ve çıkar

Sₙ=a₁+a₁r+…+a₁rⁿ⁻¹ eşitliğini r ile çarpıp çıkarınca $\displaystyle (1-r)S_n=a_1(1-r^n)$ elde edilir. r≠1 için $\displaystyle S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$ ; r=1 için Sₙ=na₁. 3+6+12+24=3(1−2⁴)/(1−2)=45 olur.

3+6+12+24 toplamını 2 ile çarpınca ortak 6,12,24 terimleri çıkarma sırasında yok olur; 48−3 kalır.

Sonlu toplamın eksik kalan parçası

1/2+1/4+…+(1/2)ⁿ toplamı $\displaystyle 1-(1/2)^n$ ’dir. Her sonlu n için 1’den küçüktür; eksik kalan miktar (1/2)ⁿ’dir. Şerit modeli her seferinde kalan boşluğun yarısını doldurarak bu eşitliği görünür kılar. Sonsuz toplam hesabına gerek olmadan sonlu toplamın büyüklüğü belirlenebilir.

1/2, 1/4, 1/8,… parçaları birim şeridi doldurur; ilk n parçadan sonra (1/2)ⁿ uzunluk kalır.

Ara terim ve işaret

Ardışık üç geometrik terim a/r,a,ar biçimindeyse ortadakinin karesi yanların çarpımıdır. Pozitif terimlerde a=√(önceki·sonraki) seçilebilir; işaret bilgisi yoksa kare eşitliği tek başına pozitif kökü zorunlu kılmaz. Üç ardışık terimin aritmetik ortalamasıyla geometrik ilişkisini karıştırma.

Yüzdeli modelde ilk terimi ayır

Başlangıçta 1000 olan miktar her yıl %10 artıyorsa başlangıçtan n yıl sonra 1000·1,1ⁿ olur. Başlangıcı a₁ olarak adlandırırsak aₙ=1000·1,1ⁿ⁻¹’dir. İki yazımın farklı üs taşıması çelişki değil, indeks başlangıcının farkıdır. Eşit aralıklı ödemelerin toplamında da hangi tarihin ilk terim olduğu belirlenir.

$\displaystyle a_n=a_1r^{n-1}$ ; r≠1 için $\displaystyle S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$ .

Dikkat: Ortak oran 1 ise payda sıfır olan toplam formülü kullanılmaz; toplam na₁’dir.