Türev ve Uygulamaları

a ve a+h arasındaki ortalama değişim $\displaystyle [f(a+h)-f(a)]/h$’dir (h≠0). Grafikte iki noktadan geçen kesenin eğimini verir. Konum fonksiyonunda bu oran ortalama hızdır; pay ve paydanın birimleri hızın birimini belirler. Aralık küçülünce bu oran tek noktadaki davranışı yaklaştırır.

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}[f(a+h)-f(a)]/h$. f(x)=x² için pay 2ah+h² olur; h≠0’da bölüm 2a+h, limit 2a’dır. a=1’de türev 2’dir. Burada h’yi başlangıçta sıfır yapmak 0/0 üretir; önce sadeleştirip sonra limit alınır.

f(x)=|x| sıfırda süreklidir. Sağda x olduğundan sağ türev 1, solda −x olduğundan sol türev −1’dir. İki eğim eşit olmadığı için f′(0) yoktur. Grafikte kesintisiz çizilebilme, köşesiz veya türevlenebilir olma anlamına gelmez.

Sabit fonksiyon değişmediği için türevi 0’dır. Kuvvet kuralı $\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}$’dir; kullanılan kuvvetin tanımlı ve türevlenebilir olduğu aralıkta uygulanır. $\displaystyle (3x^4-2x+7)'=12x^3-2$. Katsayı aynen çarpan kalır; sabit 7 kaybolur. Negatif üslerde x=0 zaten tanımsızdır.

(fg)′=f′g+fg′. (x²+1)(x−3) için türev $\displaystyle 2x(x-3)+(x^2+1)$ olur. Önce açıp x³−3x²+x−3’ün türevini almak da 3x²−6x+1 verir. Çarpımın türevi f′g′ değildir; iki çarpanın birbirinden bağımsız değişim katkıları toplanır.

(f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x). $\displaystyle (3x^2+1)^4$ için dış kuvvetten $\displaystyle 4(3x^2+1)^3$, içten 6x gelir; sonuç $\displaystyle 24x(3x^2+1)^3$. İçerideki ifadeyi tek kutu gibi düşünmek yapıyı korur. √(2x+1) için türev 1/√(2x+1), x>−1/2’de geçerlidir.

y=f(x) eğrisinin x=a noktasında eğimi f′(a)’dır. Nokta (a,f(a)) olduğundan teğet denklemi $\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)$ olur. f(x)=x²,a=1 için nokta (1,1), eğim 2; doğru y=2x−1’dir. Sadece türevi y=f′(x) olarak çizmek teğet doğrusunu vermez.

f′(a)≠0 ve sonluysa normalin eğimi −1/f′(a)’dır. x²’nin (1,1) noktasında normal $\displaystyle y-1=-(x-1)/2$. Teğet yataysa f′(a)=0 olur; normal düşey x=a doğrusudur ve bir y=mx+n eğimiyle yazılamaz. Düşey doğruda “eğim sıfır” denmez.

x²’nin a noktasındaki teğeti y=2ax−a²’dir. Bu doğru (0,−1)’den geçsin istenirse −1=−a²’den a=±1 bulunur. İki teğet y=2x−1 ve y=−2x−1’dir. Dış noktayı teğet noktası sanıp doğrudan o noktada türev almak hatalıdır.

Fonksiyonun tanımlı olduğu yerde türevin sıfır olması veya türevin bulunmaması, ekstremum adayı verir. f(x)=x³−3x için f′=3(x−1)(x+1), kritik noktalar −1 ve 1’dir. Türev dış aralıklarda pozitif, arada negatiftir; fonksiyon önce artar, sonra azalır, sonra artar.

Türev +’dan −’ye geçerse yerel maksimum; −’den +’ya geçerse yerel minimum vardır. x³−3x için (−1,2) yerel maksimum, (1,−2) yerel minimumdur. f′=0 olup işaret değişmiyorsa ekstremum çıkmayabilir: x³’ün türevi 0’da sıfırdır ama fonksiyon iki tarafta da artar.

Sürekli fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremumunu bulmak için içteki kritik noktalarla uç noktaların değerlerini karşılaştırırız. x³−3x için [−2,2]’de f(−2)=−2,f(−1)=2,f(1)=−2,f(2)=2. Mutlak minimum −2, maksimum 2’dir; aynı değer birden fazla noktada alınabilir.

Önce tanım kümesi ve eksen kesişimleri, sonra varsa simetri ve süreksizlikler, ardından f′nin işaret tablosu çıkarılır. f=x³−3x için kökler −√3,0,√3; yerel tepe (−1,2), çukur (1,−2)’dir. Grafik bu noktalar arasında artma–azalma yönlerine uymalıdır. Yalnız kökleri birleştirmek şekli belirlemez.

Çevresi 20 olan dikdörtgende x+y=10 olduğundan y=10−x. Maksimize edilecek alan A=x(10−x), izin verilen aralık 0<x<10’dur. A′=10−2x sıfırsa x=5. Türev önce pozitif sonra negatif olduğu için alanın maksimumu 25, şekil karedir.

12 birimlik kare levhanın köşelerinden x kenarlı kareler kesilip açık kutu yapılırsa yükseklik x, taban kenarı 12−2x’tir. $\displaystyle V(x)=x(12-2x)^2$, 0<x<6. Türev $\displaystyle (12-2x)(12-6x)$ olur. İç aday x=2’de hacim 128’dir; türev burada +’dan −’ye geçer. x=6 kutuyu düzleştirdiği için iç çözüm değildir.

x fonksiyonunun (0,1) aralığında en büyük değeri yoktur; 1’e yaklaşır ama onu almaz. Aynı fonksiyon [0,1]’de maksimum 1’i alır. Bu yüzden optimizasyonda açık–kapalı sınır, “en büyük değer” ile “üst sınır” arasındaki farkı belirler. Fiziksel olarak sıfır uzunluğun kabul edilip edilmediği de önemlidir.