Anlık değişim ve türevlenebilirlik
Bir zaman aralığının ortalamasından tek andaki değişime.
İki araç aynı sürede aynı yolu aldı; hızları aynı mıydı?
İki araç 2 saniyede 4 metre ilerliyor olsun. Birincisi her saniyede 2 metre gidiyor. İkincisi ilk saniyede 1, sonraki saniyede 3 metre gidiyor. İkisinin de ortalama hızı 4/2=2 metre/saniye. Ama hareketleri aynı değil: ikincisi hızlanıyor. Yalnız toplam yol ve süre, belirli bir andaki hızı söylemeye yetmiyor.
Çizimde araçların 0, 1 ve 2. saniyedeki konumlarını karşılaştır. Başlangıç ve bitiş aynı, ara noktalar farklı. Hız göstergesinin tek bir anda söylediği değeri bulmak için bütün yolculuğun ortalamasından daha yakına bakmalıyız. Türev fikri, bu “daha yakından bakma” ihtiyacından doğar.
Bir anı ölçmek için çevresindeki aralığı küçültelim
İkinci aracın t saniyedeki konumu t² metre olsun. 1 ile 2. saniye arasında 3 metre gider; ortalama hız 3’tür. 1 ile 1,1 arasında 1,21−1=0,21 metre gider; ortalama hız 2,1’dir. Aralığı 1 ile 1,01’e indirince 2,01 buluruz. Süre küçüldükçe bu oran 2’ye yaklaşır.
Türev, değişim oranının aralık küçülürken yaklaştığı bu anlık değerdir. Zaman–konum ilişkisinde anlık hız, grafikte ise tek noktadaki eğimdir. Süreyi doğrudan sıfır yapamayız; yol/süre hesabında sıfıra bölmüş oluruz. Bunun yerine limit alırız. Şimdi bu sayısal gözlemi herhangi bir fonksiyon için yazıp neden doğru olduğunu göstereceğiz.
Yol ve süre yerine girdi ve çıktı yazalım
Araç örneğinde yol değişimini zaman değişimine böldük. Aynı hesabı başka niceliklere de uygulayabiliriz. Girdi a’dan a+h’ye geçsin. Girdideki değişim h, çıktıdaki değişim f(a+h)−f(a)’dır. Ortalama değişim oranı olur; h≠0 gerekir.
Grafikte bu oran, (a,f(a)) ile (a+h,f(a+h)) noktalarından geçen kesen doğrunun eğimidir. Çizimde ikinci nokta birinciye yaklaşırken kesenin yönünü izle. h pozitifse sağdan, negatifse soldan yaklaşıyoruz. İki tarafın oranları aynı sonlu değere yaklaşıyorsa tek noktadaki türevi tanımlayabileceğiz.
Limit varsa anlık değişim tanımlanır
. f(x)=x² için pay 2ah+h² olur; h≠0’da bölüm 2a+h, limit 2a’dır. a=1’de türev 2’dir. Burada h’yi başlangıçta sıfır yapmak 0/0 üretir; önce sadeleştirip sonra limit alınır.
Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir
Fark oranının sonlu limiti varsa f(a+h)−f(a), h ile çarpılan sınırlı bir oran olarak sıfıra gider. Bu nedenle türevlenebilen fonksiyon süreklidir. Tersi doğru değildir. Süreksiz bir noktada doğrudan türev kuralı uygulamak mümkün değildir; önce fonksiyonun o noktada tanımlı ve sürekli olması gerekir.
Rolle’nin çalışmalarından yatay teğet fikrine
Uygun düzgünlük koşullarında aynı yüksekliğe dönerek ilerleyen bir grafik, arada yatay bir teğet taşıyabilir. Rolle’nin çalışmaları türev tarihinin bu tür geometrik ilişkilerle bağlantısını gösterir. Burada karar verirken kullanılan araç, doğrudan türev tanımı ve grafikteki eğimdir; adı geçen tarihsel sonuç ayrı bir sınav çözüm kuralı olarak kullanılmaz.
Köşede iki eğim uyuşmaz
f(x)=|x| sıfırda süreklidir. Sağda x olduğundan sağ türev 1, solda −x olduğundan sol türev −1’dir. İki eğim eşit olmadığı için f′(0) yoktur. Grafikte kesintisiz çizilebilme, köşesiz veya türevlenebilir olma anlamına gelmez.
Parçalı türevde önce değeri, sonra eğimi eşleştir
x<1’de ax+b, x≥1’de x² olan fonksiyonun 1’de türevlenmesi için önce a+b=1 ile süreklilik, sonra a=2 ile sol–sağ türev eşitliği gerekir. Sonuç a=2,b=−1’dir. Sadece türevleri eşitlemek b’yi ve olası sıçramayı denetlemez.
; türev varsa süreklilik vardır.
Bu bölümün kazanımları
- MEB 12.5.2.1Türev kavramını açıklayarak işlemler yapar.
- MEB 12.5.2.2Bir fonksiyonun bir noktada ve bir aralıkta türevlenebilirliğini değerlendirir.
- Türevi fark oranının limiti olarak hesaplar; süreklilikten farkını açıklar.