Parabol ve Eşitsizlikler

$\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$, a≠0 için paraboldür. a>0 ise kollar yukarı, a<0 ise aşağı açılır. Aynı tepeye sahip parabol ailesinde |a| büyüdükçe aynı yatay uzaklıkta yükseklik farkı artar; grafik daha dar görünür. c=f(0) grafiğin y ekseniyle kesişimidir.

$\displaystyle f(x)=a(x-h)^2+k$ için tepe (h,k), simetri ekseni x=h’dir. Genel biçimde $\displaystyle h=-b/(2a)$ ve k=f(h). $\displaystyle x^2-2x=(x-1)^2-1$ için tepe (1,−1)’dir. a>0 olduğundan gerçek sayılardaki en küçük değer −1, görüntü kümesi $\displaystyle [-1,\infty)$ olur.

$\displaystyle f(x)=(x-1)^2-1$ fonksiyonu [2,4] aralığında inceleniyorsa tepe bu aralıkta değildir. En küçük değer f(2)=0, en büyük değer f(4)=8 olur. Gerçek hayatta uzunluk, süre ve adet gibi girdilerin sınırları vardır; bütün gerçek sayılardaki tepe sonucunu doğrudan modele taşımamalıyız.

Çevresi 20 birim olan dikdörtgenin kenarları x ve 10−x olsun. Alan $\displaystyle A(x)=x(10-x)=-(x-5)^2+25$ ve tanım aralığı 0<x<10’dur. En büyük alan x=5’te 25’tir. Kolların aşağı açılması, kenarı aşırı büyütmenin öbür kenarı küçülterek alanı düşürdüğünü gösterir.

y=x² ile y=2 kesişiminde x²=2 olur; x=±√2, y=2’dir. Denklemden bulunan x değerlerini geri koymadan ortak noktalar tamamlanmış olmaz. Genel olarak y=f(x), y=g(x) sisteminde f(x)=g(x) çözülür.

y=ax²+bx+c ile y=mx+n için $\displaystyle ax^2+(b-m)x+c-n=0$ elde edilir. Bu denklemin diskriminantı pozitifse iki kesişim, sıfırsa bir teğet noktası, negatifse gerçek kesişim yoktur. Burada parabolün kendi kökleri değil, iki grafiğin farkının kökleri incelenir.

y=x² ile y=x²−2x+3 eşitlenince 2x=3 kalır; tek ortak nokta vardır. x² terimleri yok olduğunda ikinci derece diskriminantı kullanılamaz. Denklemler tamamen aynıysa sonsuz ortak nokta, sabit ve çelişkili bir eşitlik kalırsa hiç ortak nokta bulunmaz.

$\displaystyle (x-1)(x-3)\le0$ için kritik noktalar 1 ve 3’tür. x<1’de iki çarpan negatif olduğundan çarpım pozitif; 1<x<3’te işaretler farklı olduğundan negatif; x>3’te ikisi pozitiftir. Eşitlik de kabul edildiğinden kökler alınır ve çözüm [1,3] olur.

a>0 olan ikinci derece ifade, iki farklı gerçek kökün dışında pozitif, arasında negatiftir; a<0’da işaretler tersidir. $\displaystyle (x-2)^2$ kökte sıfırdır ve iki yanında pozitiftir. Çift katlı kökten geçerken işaret değişmez; tek katlı kökte değişir. Δ<0 ise ifade bütün gerçek sayılarda a’nın işaretini taşır.

$\displaystyle \frac{x-1}{x-3}\ge0$ için kritik noktalar 1 ve 3’tür. İşaret tablosu dış aralıkları seçtirir. x=1 payı sıfır yaptığı için alınır; x=3 tanımsız olduğu için alınmaz: $\displaystyle (-\infty,1]\cup(3,\infty)$. Sadeleşen payda çarpanının kökü de başlangıçta yasak kalır.

x²−4≤0 koşulu [−2,2], x²−x−2>0 koşulu $\displaystyle (-\infty,-1)\cup(2,\infty)$ verir. İkisinin aynı anda sağlandığı yer kesişimdir: [−2,−1). Birleşim, “en az biri” koşuluna karşılık gelir; “ikisi de” dendiğinde kesişim gerekir.