Parabol ve Eşitsizlikler

20 birimlik bir iple dikdörtgen çevreleyelim. Kenarları 1 ve 9 seçersek alan 9, 3 ve 7 seçersek 21, 5 ve 5 seçersek 25 olur. İpin uzunluğu hiç değişmediği halde içeride kalan yer büyüdü. Peki bir kenarı 7’ye çıkarırsak? Öbürü 3’e iner ve alan yeniden 21 olur.

Bir kenarı büyütmek alanı önce büyütüyor, sonra küçültüyor. Bu dönüşü önceden görebilir miyiz? Çizimde aynı uzunluktaki çevreleri karşılaştır. Alan, tek bir kenarın büyüklüğüne değil iki kenarın birlikte nasıl değiştiğine bağlı. Bu değişimi tek bir grafik üzerinde görmek bizi parabole götürecek.

Bir kenar x ise diğeri 10−x’tir; çünkü iki farklı kenarın toplamı çevrenin yarısı olan 10 olmalıdır. Alan $\displaystyle A(x)=x(10-x)$ olur. Her x için bulduğumuz alanı, yatayda x ve düşeyde alan olacak biçimde işaretleyelim. 1 ve 9 aynı alanı, 3 ve 7 aynı alanı verir; en üstte 5’e karşılık gelen 25 vardır.

Bu noktaların oluşturduğu eğri, ikinci dereceden fonksiyonun grafiği olan parabolün bir parçasıdır. Simetri, tepe ve kollar artık isimlerden ibaret değil: eşit alanları, en büyük alanı ve değişimin yönünü gösteriyor. Şimdi en basit parabol y=x²’den başlayıp katsayıların eğrinin biçimini ve yerini nasıl değiştirdiğini anlayacağız.

En basit örnek y=x²’dir. −2, −1, 0, 1, 2 girdileri sırasıyla 4, 1, 0, 1, 4 verir. Zıt girdiler aynı yüksekliğe ulaştığı için grafik y eksenine göre simetriktir. 0’dan 1’e artış 1, 1’den 2’ye artış 3 olduğundan noktalar tek bir doğru üzerinde ilerlemez; en alt noktası (0,0) olan bir eğri oluşur.

Genel olarak $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$, a≠0 ikinci dereceden fonksiyondur; grafiğine parabol denir. Kare teriminin katsayısı a>0 ise kollar yukarı, a<0 ise aşağı açılır. Aynı tepeye sahip örneklerde |a| büyüdükçe yükseklik farkı artar ve grafik daralır. x=0 koyunca f(0)=c bulunur; bu da y ekseni kesişimidir. Tepeyi bulmak için şimdi kare tamamlama fikrine döneceğiz.

$\displaystyle f(x)=a(x-h)^2+k$ için tepe (h,k), simetri ekseni x=h’dir. Genel biçimde $\displaystyle h=-b/(2a)$ ve k=f(h). $\displaystyle x^2-2x=(x-1)^2-1$ için tepe (1,−1)’dir. a>0 olduğundan gerçek sayılardaki en küçük değer −1, görüntü kümesi $\displaystyle [-1,\infty)$ olur.

$\displaystyle f(x)=(x-1)^2-1$ fonksiyonu [2,4] aralığında inceleniyorsa tepe bu aralıkta değildir. En küçük değer f(2)=0, en büyük değer f(4)=8 olur. Gerçek hayatta uzunluk, süre ve adet gibi girdilerin sınırları vardır; bütün gerçek sayılardaki tepe sonucunu doğrudan modele taşımamalıyız.

Çevresi 20 birim olan dikdörtgenin kenarları x ve 10−x olsun. Alan $\displaystyle A(x)=x(10-x)=-(x-5)^2+25$ ve tanım aralığı 0<x<10’dur. En büyük alan x=5’te 25’tir. Kolların aşağı açılması, kenarı aşırı büyütmenin öbür kenarı küçülterek alanı düşürdüğünü gösterir.