Trigonometri Konu Anlatımı – AYT Matematik

Yönlü açılar ve birim çember

Açıdan uzunluğa, dik üçgenden çember üzerindeki harekete.

Karşı kıyıya geçmeden ağaca uzaklığımızı bulabilir miyiz?

Bir nehrin bu kıyısındayız; tam karşımızdaki ağaca olan dik uzaklığı merak ediyoruz. Suyu geçemiyoruz ama kıyı boyunca 10 metre yürüyebiliyoruz. Yeni noktadan ağaca baktığımızda görüş doğrusu kıyıyla 45° yapıyorsa, arada bir dik üçgen oluşur. Dik açının yanındaki diğer açı da 45°’dir; dolayısıyla iki dik kenar eşittir. Nehri geçmeden uzaklığın 10 metre olduğunu bulduk.

Açı 45° yerine başka bir değer olsaydı ne yapardık? Ölçemediğimiz bir uzunluğu, ölçebildiğimiz uzunluk ve açıdan çıkarmanın genel yolunu arıyoruz. Trigonometri tam olarak bu ilişkiyi inceler: üçgenlerde açılarla kenar oranları arasındaki bağı.

Düz kıyı boyunca 10 metre yürünüp 45° bakış açısı ölçülürse dik uzaklık da 10 metredir.

Üçgen büyür, aynı açıya ait oran değişmez

Çizimdeki 45°’lik üçgeni iki kat büyütelim. Kıyı boyunca ölçtüğümüz kenar 20, karşı kenar da 20 olur. Uzunluklar değişti ama karşı kenar/komşu kenar oranı yine 1. Aynı açıları taşıyan üçgenler benzer olduğu için bu oran boyuttan bağımsızdır. Bu orana tanjant diyoruz. Sinüs ve kosinüs de dik üçgenin diğer kenar oranlarını adlandırır.

Dar açılarda üçgenler yeterlidir. Ama dönen bir tekerleği düşününce 90°’yi aşan, hatta tam turu geçen açılara ihtiyaç duyarız. Oranları bir çemberin koordinatlarına taşıyarak tanımı genişleteceğiz. Böylece hem uzaktan uzunluk ölçebilecek hem de tekrarlanan hareketi anlatabileceğiz. Bunun için önce açıyı yönü olan bir dönüş olarak ele alalım.

45° açılı benzer üçgenlerde 10/10 ve 20/20 oranları aynıdır. Boyut değişir, açıya ait oran değişmez.

Açıyı iki ışından yönlü dönüşe genişletelim

Bir ışını başlangıç konumundan döndürdüğümüzde dönüş miktarı açı verir. Saat yönünün tersini pozitif, saat yönünü negatif kabul ederiz. Çeyrek tur +90° veya ters yönde −90° olabilir. Yön bilgisi, aynı büyüklükteki iki dönüşü ayırt eder.

Bir tam dönüş 360°’dir. 90° ile 450° sonunda aynı yöne bakar ama ikincisinde fazladan bir tur vardır. Aynı bitim koluna ulaşan açılar 360°’nin tam katları kadar farklıdır. Bu yönün [0°,360°) aralığındaki temsilcisine esas ölçü denir. Örneğin −450°’ye iki tam tur eklemek 270° verir. Dönüş fikrini kurduk; şimdi ölçü birimlerini tanıyıp çember üzerindeki yatay ve düşey uzunluklara geçebiliriz.

270° ile −90° aynı bitim koluna ulaşır; aralarında bir tam dönüş vardır.

Radyan yay ile yarıçapın oranıdır

r yarıçaplı çemberde s yay uzunluğunu gören merkez açının radyan ölçüsü θ=s/r’dir. Tam çevre 2πr olduğundan tam dönüş 2π radyandır: 180°=π radyan. Dolayısıyla 150°=5π/6, π/4=45° olur. $\displaystyle s=r\theta$ formülünde θ’nın radyan olması gerekir.

Yay uzunluğu yarıçapa eşitse merkez açı 1 radyandır.

Koordinatlar oranları bütün açılara taşır

Merkezi orijin, yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir. Birinci bölgede yarıçapı hipotenüs olan bir dik üçgen kurarsak sinüs karşı kenar/hipotenüs, kosinüs komşu kenar/hipotenüs oranıdır. Hipotenüs 1 olduğundan bu oranlar doğrudan düşey ve yatay uzunlukları verir.

Bu yüzden α yönündeki çember noktasını $\displaystyle (\cos\alpha,\sin\alpha)$ olarak tanımlarız. Tanımı bütün çembere taşıyınca diğer bölgelerde uzunluk yerine işaretli koordinatları kullanırız. Örneğin sol yarıda yatay koordinat negatif olduğundan kosinüs negatiftir. Böylece dar açıdaki oranlar, büyük ve negatif açılarda da anlam kazanır. Dik üçgende karşı kenarın komşu kenara oranına tanjant deriz. Başlangıçtaki nehir sorusuna dönelim: kıyı boyunca yürüdüğümüz uzaklık d, görüş doğrusunun kıyıyla yaptığı açı α ise nehre dik uzaklık d·tan α olur. d=10 ve α=45° için 10·1=10 metre buluruz; ilk örnekte eşit kenarlardan bulduğumuz sonuç, genel oran bağıntısından da çıkar.

Birim çemberde yarıçapın ucunun yatay bileşeni cos α, düşey bileşeni sin α’dır.

Temel özdeşlik çember denklemidir

x²+y²=1 bağıntısına koordinatları yerleştirince $\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ bulunur. $\displaystyle \tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$ (cos α≠0), $\displaystyle \cot\alpha=\cos\alpha/\sin\alpha$ (sin α≠0). Sinüs ve kosinüs her gerçek açıda tanımlıyken diğer ikisi belirli açılarda tanımsızdır.

Özel açı değerlerini üçgenden üret

45°–45°–90° üçgeninde dik kenarlar eşit olduğundan sin45°=cos45°=√2/2. Eşkenar üçgeni yükseklikle böldüğünde sin30°=1/2, cos30°=√3/2; 60° için değerler yer değiştirir. Eksen noktalarında sin0°=0, cos0°=1, sin90°=1, cos90°=0 okunur.

45–45–90 ve 30–60–90 üçgenlerinin kenar oranları özel açı değerlerini verir.

Birinci bölgede temel değerler
Açı	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	1/2	$\displaystyle \sqrt3/2$	$\displaystyle \sqrt3/3$
45°	$\displaystyle \sqrt2/2$	$\displaystyle \sqrt2/2$	1
60°	$\displaystyle \sqrt3/2$	1/2	$\displaystyle \sqrt3$
90°	1	0	Tanımsız

Derecenin alt birimleri

Bir derece 60 dakika, bir dakika 60 saniyedir: $\displaystyle 1^\circ=60'$ , $\displaystyle 1'=60''$ . 12°30′, 12,5°’ye eşittir; dakika ondalık basamak değildir. 25°40′+18°35′=43°75′=44°15′ olur. Çıkarmada gerektiğinde bir dereceden 60 dakika ödünç alınır. Buradaki dakika ve saniye açı birimidir, zaman ölçüsüyle karıştırılmaz.

Birim çemberde $\displaystyle (x,y)=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ ve $\displaystyle 180^\circ=\pi$ radyandır.

Dikkat: Tanjant 90°’de sonsuz bir sayı değildir; gerçek sayılarda tanımsızdır.

Bu bölümün kazanımları

MEB 11.1.1.1Yönlü açıyı açıklar.
MEB 11.1.1.2Açı ölçü birimlerini açıklayarak birbiri ile ilişkilendirir.
MEB 11.1.2.1Trigonometrik fonksiyonları birim çember yardımıyla açıklar.
Derece ve radyanı dönüştürür, trigonometrik değerleri çember koordinatlarıyla ilişkilendirir.