Trigonometri

Kapsam ve kaynak

Kapsam 2026 MEB YKS belgesine göre hazırlanmıştır. MEB kazanımları TYT ve AYT diye ayırmaz; buradaki ayrım çalışma sırasıdır. Ortak ön koşullar TYT ile aynı kaynaktan gelir. Analitik geometri, dönüşümler ve çemberin analitiği AYT Geometri bölümündedir. Karmaşık sayılarda gösterim ve eşlenik, limitte sonlu sonuçlar, türev ve integralde MEB’in belirttiği cebirsel fonksiyonlar esas alınır.

2026 MEB YKS konu ve kazanımları

Yönlü açılar ve birim çember

Bir açıyı dönüş miktarı ve yönüyle tanımla.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.1.1.1Yönlü açıyı açıklar.
MEB 11.1.1.2Açı ölçü birimlerini açıklayarak birbiri ile ilişkilendirir.
MEB 11.1.2.1Trigonometrik fonksiyonları birim çember yardımıyla açıklar.
Derece ve radyanı dönüştürür, trigonometrik değerleri çember koordinatlarıyla ilişkilendirir.

Yönlü açı tam dönüşleri saklar

Saat yönünün tersine dönüş pozitif, saat yönüne dönüş negatiftir. Aynı bitim koluna ulaşan açılar tam dönüşün katları kadar farklı olabilir. Esas ölçü dereceyle [0°,360°), radyanla [0,2π) aralığında seçilir. −450° açısına 720° ekleyince esas ölçü 270° olur.

270° ile −90° aynı bitim koluna ulaşır; aralarında bir tam dönüş vardır.

Derecenin alt birimleri

Bir derece 60 dakika, bir dakika 60 saniyedir: $\displaystyle 1^\circ=60'$ , $\displaystyle 1'=60''$ . 12°30′, 12,5°’ye eşittir; dakika ondalık basamak değildir. 25°40′+18°35′=43°75′=44°15′ olur. Çıkarmada gerektiğinde bir dereceden 60 dakika ödünç alınır. Buradaki dakika ve saniye açı birimidir, zaman ölçüsüyle karıştırılmaz.

Radyan yay ile yarıçapın oranıdır

r yarıçaplı çemberde s yay uzunluğunu gören merkez açının radyan ölçüsü θ=s/r’dir. Tam çevre 2πr olduğundan tam dönüş 2π radyandır: 180°=π radyan. Dolayısıyla 150°=5π/6, π/4=45° olur. $\displaystyle s=r\theta$ formülünde θ’nın radyan olması gerekir.

Yay uzunluğu yarıçapa eşitse merkez açı 1 radyandır.

Koordinatlar oranları bütün açılara taşır

Birim çemberde α açısının bitim noktasının koordinatları $\displaystyle (\cos\alpha,\sin\alpha)$ ’dır. Birinci bölgede dik üçgen oranlarıyla aynı tanımı verir; diğer bölgelerde koordinatların işareti doğal biçimde devreye girer. Yatay izdüşüm kosinüs, düşey izdüşüm sinüstür.

Birim çemberde yarıçapın ucunun yatay bileşeni cos α, düşey bileşeni sin α’dır.

Temel özdeşlik çember denklemidir

x²+y²=1 bağıntısına koordinatları yerleştirince $\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ bulunur. $\displaystyle \tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$ (cos α≠0), $\displaystyle \cot\alpha=\cos\alpha/\sin\alpha$ (sin α≠0). Sinüs ve kosinüs her gerçek açıda tanımlıyken diğer ikisi belirli açılarda tanımsızdır.

Özel açı değerlerini üçgenden üret

45°–45°–90° üçgeninde dik kenarlar eşit olduğundan sin45°=cos45°=√2/2. Eşkenar üçgeni yükseklikle böldüğünde sin30°=1/2, cos30°=√3/2; 60° için değerler yer değiştirir. Eksen noktalarında sin0°=0, cos0°=1, sin90°=1, cos90°=0 okunur.

45–45–90 ve 30–60–90 üçgenlerinin kenar oranları özel açı değerlerini verir.

Birinci bölgede temel değerler
Açı	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	1/2	$\displaystyle \sqrt3/2$	$\displaystyle \sqrt3/3$
45°	$\displaystyle \sqrt2/2$	$\displaystyle \sqrt2/2$	1
60°	$\displaystyle \sqrt3/2$	1/2	$\displaystyle \sqrt3$
90°	1	0	Tanımsız

Birim çemberde $\displaystyle (x,y)=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ ve $\displaystyle 180^\circ=\pi$ radyandır.

Dikkat: Tanjant 90°’de sonsuz bir sayı değildir; gerçek sayılarda tanımsızdır.

Bölgeler, işaretler ve indirgeme

Simetriyi kullanarak açıyı tanıdığın bölgeye getir.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.1.2.1Trigonometrik fonksiyonları birim çember yardımıyla açıklar.
Trigonometrik ifadeleri bölge, simetri ve periyotla dönüştürür.

İşaretler koordinatlardan gelir

Birinci bölgede sin ve cos pozitif; ikinci bölgede sin pozitif cos negatif; üçüncüde ikisi negatif; dördüncüde sin negatif cos pozitiftir. tan ve cot bölüm oldukları için birinci ve üçüncü bölgelerde pozitiftir. İşaret tablosunu ezber yerine düzlemdeki x,y işaretleriyle yeniden kurabilirsin.

Her bölgede sırasıyla kosinüsün ve sinüsün işareti gösteriliyor.

Eksen yansımaları temel indirgemeleri verir

x eksenine yansımada cos(−x)=cos x, sin(−x)=−sin x olur. y eksenine yansımada cos(π−x)=−cos x, sin(π−x)=sin x. Yarım dönüşte iki koordinat da değişir: sin(π+x)=−sin x, cos(π+x)=−cos x. Örneğin sin150°=sin30°=1/2, cos150°=−√3/2.

30° ve 150° noktaları aynı yüksekliktedir; yatay koordinatlarının işareti farklıdır.

Çeyrek dönüşte koordinatlar yer değiştirir

sin(π/2−x)=cos x ve cos(π/2−x)=sin x. π/2+x için sin(π/2+x)=cos x, cos(π/2+x)=−sin x olur. Buradaki eksi işareti koordinatın ikinci bölgeye geçmesinden gelir. Açının başında 90° veya 270° bulunması fonksiyon türünü değiştirir; işaret yine bölgeden belirlenir.

Aynı dik üçgende bir açının karşı kenarı, tümler açının komşu kenarıdır.

Periyotla büyük açıları küçült

sin(x+2kπ)=sin x, cos(x+2kπ)=cos x; tan(x+kπ)=tan x, cot(x+kπ)=cot x (k tam sayı). tan225°=tan45°=1’dir. sin390°=sin30°=1/2’dir. Her fonksiyon için aynı periyodu ezberden uygulama; sin(x+π) çoğu x’te sin x’in negatifidir.

Sinüs ve kosinüs bir tam dönüşten sonra aynı değere döner; temel periyot 2π’dir.

Açıya göre değerleri sırala

[0°,90°] aralığında açı büyürken sinüs artar, kosinüs azalır. Bu yüzden sin20°<sin40°<sin70°; cos20°>cos40°>cos70°. Farklı fonksiyonları karşılaştırırken tümler açı kullan: cos40°=sin50°>sin20°. Bütün gerçek açılarda sinüs sürekli artıyor denemez; önce açıları aynı uygun bölgeye indir.

Sekant ve kosekant gösterimleri

cos x≠0 iken sec x=1/cos x; sin x≠0 iken cosec x=1/sin x tanımlanır. Temel özdeşliğin bölünmesiyle 1+tan²x=sec²x ve 1+cot²x=cosec²x bulunur. Bu gösterimler temel oranların tersidir; ters trigonometrik fonksiyon olan arccos ve arcsin ile aynı şey değildir. Sekant ve kosekant grafikleri bu kapsamda çizilmez.

Özdeşlikte tanım koşulunu izle

sin²x+cos²x=1’i cos²x’e bölünce 1+tan²x=1/cos²x elde edilir; cos x≠0 şartıyla. $\displaystyle \sin x=3/5$ ve x ikinci bölgede ise cos x=−4/5, tan x=−3/4’tür. Kareden köke geçerken bölge, doğru işareti seçmek için zorunludur.

Önce bölgeyi ve işareti belirle; sonra referans açıya indir ve tanım koşulunu koru.

Dikkat: sin x verildiğinde cos x’in işareti, açı aralığı bilinmeden tek başına belirlenemez.

Trigonometrik grafikler ve tersleri

Periyot, genlik ve tersin seçilen aralığını ayır.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.1.2.4Trigonometrik fonksiyon grafiklerini çizer.
MEB 11.1.2.5Sinüs, kosinüs, tanjant fonksiyonlarının ters fonksiyonlarını açıklar.
Trigonometrik grafikleri çizer; ters sinüs, kosinüs ve tanjantın temel aralıklarını kullanır.

Sinüs ve kosinüs dalgaları

y=sin x, 0’da 0’dan başlar; π/2’de 1, π’de 0, 3π/2’de −1, 2π’de tekrar 0 olur. y=cos x ise 0’da 1’den başlar. İkisinin görüntü kümesi [−1,1], temel periyodu 2π’dir. Grafiğin düşey değeri çember koordinatının açıyla değişimini gösterir.

Çemberde dönen noktanın yüksekliği sinüs grafiğine taşınıyor. Bir tam dönüşte bir dalga oluşur.

Dönüşüm genliği ve periyodu değiştirir

y=A sin(bx+c)+d için genlik |A|, A≠0 ve b≠0 iken temel periyot 2π/|b|, orta çizgi y=d’dir. Görüntü [d−|A|,d+|A|] olur. y=2sin(3x)+1 için genlik 2, periyot 2π/3, görüntü [−1,3]’tür. Yatay öteleme −c/b’dir. A=0 veya b=0 olduğunda fonksiyon sabittir; en küçük pozitif temel periyot bu formülle belirlenmez.

y=2sin(3x)+1 grafiğinin genliği 2, orta çizgisi y=1, periyodu 2π/3’tür.

Tanjant ve kotanjantın kopuklukları

tan x’in periyodu π, tanımsız noktaları π/2+kπ’dir. Her (−π/2+kπ,π/2+kπ) aralığında artar ve bütün gerçek değerleri alır. cot x’in tanımsız noktaları kπ’dir; her iki ardışık tanımsız nokta arasında azalır. Düşey asimptotlar grafiğe ait doğru parçaları değildir.

Tanjant π/2’de, kotanjant 0 ve π’de tanımsızdır; kesikli asimptotlar eğrinin parçası değildir.

Ters için bire bir bir aralık seç

Sinüs bütün gerçek sayılarda bire bir değildir. [−π/2,π/2] aralığına kısıtlandığında tersi arcsin, [−1,1]’den [−π/2,π/2]’ye gider. Kosinüs [0,π] aralığında kısıtlanır; arccos’un görüntüsü [0,π] olur. Tanjant (−π/2,π/2)’de kısıtlanır; arctan bütün gerçek girdilerde tanımlıdır.

Ters değer ile bütün çözümleri karıştırma

arcsin(1/2)=π/6’dır; 5π/6 aynı sinüs değerini taşısa da arcsin’in seçilen görüntü aralığında değildir. arcsin(sin(5π/6))=π/6 olur. arccos(−1/2)=2π/3, arctan(1)=π/4’tür. sin x=1/2 denkleminin bütün çözümleri ise iki ayrı açı ailesini içerir.

Grafikte genlik yükseklik aralığını, periyot tekrar uzunluğunu belirler; ters fonksiyon tek bir temel açı seçer.

Dikkat: arcsin(sin x)=x eşitliği yalnız x, arcsin’in temel değer aralığındaysa doğrudur.

Sinüs ve kosinüs teoremleri

Dik olmayan üçgende de açı ile kenarı ilişkilendir.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.1.2.2Kosinüs teoremiyle ilgili problemler çözer.
MEB 11.1.2.3Sinüs teoremiyle ilgili problemler çözer.
Sinüs ve kosinüs teoremleriyle kenar, açı ve alan ilişkileri kurar.

Karşı kenar eşleşmesini doğru kur

ABC üçgeninde A açısının karşısına a=|BC|, B’nin karşısına b=|CA|, C’nin karşısına c=|AB| denir. Teoremlerde aynı harfli açı ile karşısındaki kenar eşleşir. Şeklin yönü veya çizimdeki büyüklük bu eşleşmeyi değiştirmez.

ABC üçgeninde karşı kenarlar a, b, c olarak; C’den AB’ye dik yükseklik h olarak gösterilir.

Kosinüs teoremi Pisagor’u genişletir

$\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ . Bunu, b kenarının tabandaki izdüşümünü b cos A olarak yazıp yükseklikle Pisagor uygulayarak elde ederiz. A=90° olduğunda cos A=0 ve Pisagor kalır. b=5, c=7, A=60° için a²=25+49−35=39, a=√39 olur.

Yükseklik tabanı b cos A ve c−b cos A olarak böler; iki dik üçgenden kosinüs teoremi elde edilir.

Üç kenardan açı türünü belirle

$\displaystyle \cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$ . a²>b²+c² ise cos A<0 ve A geniştir; eşitlikte dik, küçükse dardır. En büyük açıyı incelemek için en uzun kenarı a seçmek yeterlidir. Kenarların önce üçgen eşitsizliğini sağlaması gerekir; her üç pozitif sayı bir üçgen oluşturmaz.

Sinüs teoremi aynı yüksekliği karşılaştırır

C’den AB’ye yükseklik indirildiğinde h=b sin A=a sin B olur; buradan a/sin A=b/sin B çıkar. Diğer yükseklikle üçüncü oran da eklenir: $\displaystyle a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C$ . Bir açı–karşı kenar çifti biliniyorsa başka çiftlere geçilebilir.

Aynı yükseklik iki dik üçgende h=b sin A=a sin B olarak yazılır.

Alan ve belirsiz açı durumları

Alan $\displaystyle S=bc\sin A/2$ ’dir. b=5,c=8,A=30° için S=10 olur. Sinüs teoremiyle sin B değeri bulununca B ve 180°−B aynı sinüse sahiptir; verilenlere göre iki üçgen, bir üçgen veya hiç üçgen mümkün olabilir. Diğer açıların toplamının 180° olması ve kenar koşulları adayları belirler.

Taban c ve yükseklik b sin A olduğundan üçgenin alanı bc sin A/2’dir.

$\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ ve $\displaystyle a/\sin A=b/\sin B$ ; alan $\displaystyle bc\sin A/2$ .

Dikkat: İki kenar ile arada olmayan açı her zaman tek bir üçgen belirlemez.

Toplam–fark ve iki kat açı formülleri

Dönüşleri birleştirirken koordinat bileşenlerini kullan.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 12.3.1.1İki açının ölçüleri toplamının ve farkının trigonometrik değerlerine ait formülleri oluşturarak işlemler yapar.
MEB 12.3.1.2İki kat açı formüllerini oluşturarak işlemler yapar.
Toplam–fark ve iki kat açı bağıntılarını oluşturarak trigonometrik ifadeleri dönüştürür.

Açıları toplamak değerleri toplamak değildir

Birim çemberde α kadar döndükten sonra β kadar dönmek α+β dönüşünü verir. Döndürülmüş yatay ve düşey bileşenler toplanınca $\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ , $\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ bulunur. Sinüs değerleri doğrudan toplanmaz.

Aynı köşede ardışık α ve β dönüşleri α+β açısını oluşturur; trigonometrik değerler bileşenlerle hesaplanır.

Fark formüllerini negatif açıdan üret

β yerine −β yazıp sin(−β)=−sinβ, cos(−β)=cosβ kullanınca $\displaystyle \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ ve $\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ elde edilir. Örneğin cos15°=cos(45°−30°)=(√6+√2)/4 olur.

Tanjant toplamı bölümden gelir

Sinüs toplamını kosinüs toplamına bölüp cosα cosβ ile sadeleştirince $\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=(\tan\alpha+\tan\beta)/(1-\tan\alpha\tan\beta)$ bulunur. Farkta payda 1+tanα tanβ olur. Bu biçimler tanα, tanβ ve sonuçtaki payda tanımlıysa kullanılabilir; α veya β’nin tanjantı yoksa sinüs–kosinüs biçimine dönülür.

İki açıyı eşit seç

β=α=x seçimiyle sin2x=2sin x cos x ve cos2x=cos²x−sin²x bulunur. Temel özdeşlikten cos2x=1−2sin²x=2cos²x−1 biçimleri gelir. tan2x=2tan x/(1−tan²x) uygun tanım koşulları altında geçerlidir. sin x=3/5 ve x birinci bölgede ise sin2x=24/25, cos2x=7/25 olur.

sin 2x, sin x’in bir periyodunda iki tam salınım yapar.

Kareli ifadeleri iki kat açıyla düzenle

cos2x bağıntısından sin²x=(1−cos2x)/2, cos²x=(1+cos2x)/2 çıkar. Kareden köke geçerken işaret bölgeden seçilir. Örneğin sin²15°=(1−cos30°)/2=(2−√3)/4. 15° birinci bölgede olduğu için sin15° pozitif köktür. 2026 MEB açıklaması toplamı çarpıma ve çarpımı toplama dönüştüren dönüşüm–ters dönüşüm formüllerini kapsam dışında tutar; burada toplam–fark ve iki kat açı bağıntıları kullanılır.

İki kat açı formülleri toplam formüllerinde iki açıyı eşit seçerek elde edilir.

Dikkat: sin(α+β), sinα+sinβ değildir; formüldeki çarpımlar gereklidir.

Trigonometrik denklemler

Temel açıları bul, bütün dönüşleri ekle, verilen aralığı süz.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 12.3.2.1Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulur.
Trigonometrik denklemlerin genel ve aralıkla sınırlı çözüm kümelerini bulur.

Açı hesabından periyodik olaylara

El Battani’nin astronomi ve trigonometri çalışmaları, açı hesaplarının gözlemlenen gök hareketleriyle ilişkisinin tarihsel örneklerindendir. Trigonometrik denklemde de belirli bir yüksekliğe veya orana hangi açılarda ulaşıldığını araştırırız. Tekrarlanan hareketler nedeniyle aynı çıktı farklı açılarda ortaya çıkabilir; çözüm ailelerinin gerekçesi budur.

Aynı sinüs iki noktada oluşabilir

sin x=sin α için $\displaystyle x=\alpha+2k\pi$ veya $\displaystyle x=\pi-\alpha+2k\pi$ (k tam sayı). sin x=1/2’nin [0,2π) aralığındaki çözümleri π/6 ve 5π/6’dır. sin x=1 gibi sınır değerlerde bu iki aile aynı noktaları verebilir; tekrarları tek kez sayarız.

y=1/2 doğrusu sinüs dalgasını [0,2π) aralığında π/6 ve 5π/6’da keser.

Kosinüs ve tanjant ailelerini yaz

cos x=cos α için $\displaystyle x=\pm\alpha+2k\pi$ ; tan x=tan α için $\displaystyle x=\alpha+k\pi$ olur. cot x=cot α da x=α+kπ verir; fonksiyonların tanımlı olması gerekir. sin x=2 gibi görüntü kümesinin dışındaki isteklerde gerçek çözüm yoktur.

İçerideki ifadeyi önce bir açı gibi çöz

sin(2x)=1/2 için 2x=π/6+2kπ veya 2x=5π/6+2kπ. İkiye bölünce x=π/12+kπ veya 5π/12+kπ olur. [0,2π) aralığında dört çözüm vardır: π/12,5π/12,13π/12,17π/12. Yalnız temel açıları bölüp periyot terimini bölmemek eksik çözüm verir.

sin 2x=1/2 denkleminin [0,2π) aralığındaki dört çözümü eğri üzerindeki kesişimlerdir.

Çarpana ayır ve her durumu koru

2sin²x−sin x=0 denkleminde sin x(2sin x−1)=0. İlk çarpan sin x=0, ikinci sin x=1/2 verir. Baştan sin x’e bölseydik 0 ve π gibi çözümleri kaybederdik. Trigonometrik ifadeyi bir değişken sayarak ikinci derece denklem çözmek mümkündür; sonuç yine [−1,1] aralığına uymalıdır.

Sinüs ve kosinüsü aynı denklemde birleştir

sin x+cos x=1 için toplam formülünden sol taraf √2 sin(x+π/4) olur. sin(x+π/4)=1/√2’den x=2kπ veya x=π/2+2kπ bulunur. Daha genel olarak a sin x+b cos x ifadesinde uygun yardımcı açı kullanmak katsayıları ortak bir genliğe bağlar. Bu, toplam–fark formülünün doğrudan uygulamasıdır.

Periyodik modeli zamana geri çevir

Bir noktanın yerden yüksekliği h(t)=3+2sin(πt/6) metre olsun. İlk 12 saniyede h=4 koşulu sin(πt/6)=1/2 verir; t=1 ve t=5 saniye bulunur. Denklemde çözülen açı πt/6’dır, son istenen nicelik t’dir. Model 1 ile 5 metre arasında değişir; bu aralığın dışındaki bir yüksekliğe ulaşamaz.

Noktanın 1–5 metre arasındaki salınımı yükseklik–zaman grafiğine taşınıyor.

Aralık uçları ve tanım kontrolü

tan x içeren denklemde π/2+kπ adayları yasaktır. [0,2π] kapalı aralığında 0 ve 2π farklı sayılar olarak çözüme girebilir; [0,2π) aralığında sağ uç alınmaz. Kare alma sonrası işaret kontrolü de gerekir: sin x=cos x’i karelemek sin x=−cos x durumlarını da aday yapar.

Genel çözüm ailelerini yazdıktan sonra k tam sayılarını verilen aralığa göre seç.

Dikkat: İşlem sırasında sin x veya cos x’e koşulsuz bölmek bu ifadelerin sıfır olduğu çözümleri kaybettirir.