Polinomlar · AYT Matematik

Polinom kavramı ve işlemler

Üsleri, katsayıları ve değişkeni birbirinden ayır.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.3.1.1Bir değişkenli polinom kavramını açıklar.
MEB 10.3.1.2Polinomlarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapar.
Polinomun derecesini ve katsayılarını belirler, polinomlarla işlem yapar.

Hangi ifadeler polinomdur?

$\displaystyle P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ ifadesinde x’in üsleri negatif olmayan tam sayılardır. Katsayılar gerçek sayı olabilir: $\displaystyle \sqrt2x^3-5$ polinomdur; $\displaystyle x^{-1}+2$ , $\displaystyle \sqrt x$ değildir. Sıfır olmayan en yüksek dereceli terimin üssü polinomun derecesidir. Sıfır polinomunun derecesi bu kuralla tanımlanmaz.

Katsayı bilgisi özel girdilerde görünür

$\displaystyle P(0)$ sabit terim, $\displaystyle P(1)$ katsayılar toplamıdır. $\displaystyle P(-1)$ çift dereceli katsayılar toplamından tek derecelilerin toplamını çıkarır. Bu nedenle çift dereceli katsayıların toplamı $\displaystyle (P(1)+P(-1))/2$ olur. P(2)’yi katsayı toplamı diye yorumlamak yanlıştır; üsler o noktada farklı ağırlıklar taşır.

2x²−3x+1 örneğinde terimler, dereceler ve katsayılar ayrılır; x=0 ve x=1 özel bilgileri verir.

Eşit polinomların karşılıklı katsayıları eşittir

$\displaystyle ax^2+bx+c=2x^2-3x+1$ bütün gerçek x’ler için doğruysa a=2, b=−3, c=1 olur. Tek bir x değerinde sağlanan eşitlik bunu garanti etmez. Parametreli ifadede polinom olma koşulu araştırılırken kesirli veya negatif üs taşıyan terimin katsayısının sıfır olabileceğini de kontrol et.

İşlemlerde dereceyi izle

Toplama ve çıkarmada aynı dereceli terimleri birleştiririz. En yüksek terimler birbirini götürebildiği için toplamın derecesi düşebilir. Sıfır olmayan iki polinomun çarpımında dereceler toplanır. $\displaystyle (x^2+1)(x-2)=x^3-2x^2+x-2$ ifadesinde en yüksek derece 2+1=3’tür.

x³+x ile −x³+x² toplandığında küp terimleri yok olur; geriye ikinci dereceden x²+x kalır.

Polinomu grafikle ilişkilendir

Polinomun kökü P(x)=0 yapan sayıdır; grafiğin x eksenindeki noktalarıdır. $\displaystyle P(x)=x(x-2)(x+2)/4$ için −2,0,2 köktür. Çarpanlara ayrılmış biçim kökleri, açılmış biçim katsayıları okumayı kolaylaştırır. İkisi aynı fonksiyonun farklı gösterimleridir.

x(x−2)(x+2)/4 polinomu x eksenini −2, 0 ve 2 noktalarında keser.

Polinomda üsler negatif olmayan tam sayıdır; P(0) sabit terimi, P(1) katsayılar toplamını verir.

Dikkat: Toplamın derecesi her zaman büyük dereceli polinomun derecesi değildir; baş terimler yok olabilir.

Bölme, kalan ve çarpan teoremi

Bölme özdeşliğinde böleni sıfır yapan girdiyi kullan.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.3.1.2Polinomlarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapar.
MEB 10.3.2.1Bir polinomu çarpanlarına ayırır.
MEB 10.3.2.2Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ile ilgili işlemler yapar.
Polinom bölmesini, kalan teoremini ve çarpanlara ayırmayı tanım koşullarıyla uygular.

Bölme bir özdeşlik kurar

$\displaystyle P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$ ifadesinde D bölen, Q bölüm, R kalandır. D sıfır polinomu değildir; kalan sıfır değilse derecesi bölenin derecesinden küçüktür. $\displaystyle x^3-1$ ’i x−1’e bölerken baş terimleri bölerek x², sonra x, sonra 1 elde ederiz: $\displaystyle x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ .

x³+2x+1, x−2 ile bölündüğünde bölüm x²+2x+6 ve kalan 13 olur; x=2 çarpımı sıfırlar.

Doğrusal bölen sabit kalan verir

D(x)=x−a ise kalan sabit r’dir. Özdeşlikte x=a koyunca çarpım sıfır olur ve P(a)=r kalır. $\displaystyle P(x)=x^3+2x+1$ için x−2 ile bölümden kalan P(2)=13’tür. Bölen 2x−1 ise kök 1/2 kullanılır; kalan P(1/2)’dir. Bölenin baş katsayısı bu sonucu değiştirmez.

İkinci derece bölenin kalanı doğrusal olabilir

Bölen $\displaystyle (x-1)(x+1)$ ise $\displaystyle R(x)=ax+b$ seçilir. P(1)=5, P(−1)=1 verildiğinde a+b=5, −a+b=1’den a=2, b=3 olur. Kalan 2x+3’tür. Sadece bir özel değer iki bilinmeyeni belirlemez; eksik bilgiyi varsaymak yerine ikinci ilişki aranır.

(−1,1) ve (1,5) noktaları kalan doğrusu R(x)=2x+3’ü belirler.

Kalan sıfırsa çarpan vardır

P(a)=0 olması x−a’nın P’nin çarpanı olmasıyla eşdeğerdir. $\displaystyle P(x)=x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$ bu fikri gösterir. Ortak çarpan, gruplama, iki kare farkı ve küp özdeşlikleri farklı ifadelerde aynı amacı taşır: çarpımı sıfır yapan kökleri ve sadeleşen çarpanları görünür kılmak.

Grafikteki −2, 0 ve 2 kökleri sırasıyla x+2, x ve x−2 çarpanlarına karşılık gelir; sabit çarpan kökleri değiştirmez.

Rasyonel ifadede yasak noktayı koru

$\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2-x}=\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x}$ ; fakat başlangıçta x=0 ve x=1 yasaktır. Son biçimde x=1 yazılabiliyor olması onu ilk ifadeye geri kazandırmaz. Kesirlerin bölünmesinde bölünen ifadenin tanımlı olmasına ek olarak bölen kesrin sıfır olmaması da gerekir.

P(x)’in x−a ile bölümünden kalan P(a)’dır; P(a)=0 ise x−a bir çarpandır.

Dikkat: İkinci derece bölenin kalanını zorunlu olarak sabit almak bir bilinmeyeni haksız yere kaldırır.