Polinomlar Konu Anlatımı – AYT Matematik

Polinom kavramı ve işlemler

Uzunluk ve alan ifadelerinin paylaştığı cebirsel yapıyı tanıyalım.

Kenar yalnız 1 birim büyüdü; alan neden 1 artmadı?

Kenarı 3 birim olan kareyi düşün: alanı 9’dur. Kenarı 1 birim uzatıp 4 yaptığımızda alan 16 olur. Artış 1 değil 7! Kenar 5’ten 6’ya çıksaydı alan 25’ten 36’ya, yani 11 birimkare artacaktı. Aynı uzunluk artışı neden farklı alan artışları üretiyor?

Yeni kareyi boyalı parçalara ayırırsak cevap görünür. Eski karenin iki yanına birer şerit, köşeye de küçük bir kare eklenir. Şeritlerin boyu eski kenara bağlıdır. Bu yüzden eklenen alan sabit kalmaz; başlangıçtaki kare büyüdükçe şeritler de büyür.

3×3 kareye iki adet 3×1 şerit ve 1×1 köşe eklenir: alan 9’dan 16’ya çıkar.

Parçaları adlandırınca polinom kendiliğinden ortaya çıkar

Eski kenara x diyelim. Eski karenin alanı x², iki şeridin alanları x ve x, köşeninki 1’dir. Yeni alanı iki yoldan yazabiliriz: büyük karenin kenarından (x+1)², parçalarının toplamından x²+2x+1. Aynı şekli ölçtükleri için bu ifadeler eşittir. 3 için 9+6+1=16, 5 için 25+10+1=36 çıkar.

Polinom, değişkenin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerini sabit sayılarla çarpıp toplayarak oluşturduğumuz ifadedir. Burada x², 2x ve 1 terimleri aynı alanın farklı parçalarını anlatıyor. Şimdi bu yapının terim, katsayı ve derece dilini kuracağız; ardından ifadeleri açmanın veya çarpanlara ayırmanın neyi görünür kıldığını inceleyeceğiz.

Aynı büyük karenin alanı hem (x+1)² hem x²+2x+1’dir; iki x şeridi orta terimi oluşturur.

Terimlerden polinomun tanımına

$\displaystyle x^2+2x+1$ ifadesinde toplama ile ayrılan x², 2x ve 1 parçaları terim; bunları çarpan sayılar 1, 2 ve 1 ise katsayıdır. Sabit terim de x⁰=1 üzerinden sıfırıncı kuvvetin terimi olarak düşünülebilir. Genel biçim $\displaystyle P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ olur; üsler negatif olmayan tam sayılar, katsayılar gerçek sayılardır.

Bu nedenle $\displaystyle \sqrt2x^3-5$ bir polinomdur: kök işareti değişkende değil katsayıdadır. Buna karşılık $\displaystyle x^{-1}+2$ ve $\displaystyle \sqrt x$ polinom değildir. Sıfır olmayan katsayılı terimler arasındaki en büyük üs derecedir; bütün katsayıları sıfır olan sıfır polinomuna bu kuralla derece verilemez.

Katsayı bilgisi özel girdilerde görünür

$\displaystyle P(0)$ sabit terim, $\displaystyle P(1)$ katsayılar toplamıdır. $\displaystyle P(-1)$ çift dereceli katsayılar toplamından tek derecelilerin toplamını çıkarır. Bu nedenle çift dereceli katsayıların toplamı $\displaystyle (P(1)+P(-1))/2$ olur. P(2)’yi katsayı toplamı diye yorumlamak yanlıştır; üsler o noktada farklı ağırlıklar taşır.

2x²−3x+1 örneğinde terimler, dereceler ve katsayılar ayrılır; x=0 ve x=1 özel bilgileri verir.

Eşit polinomların karşılıklı katsayıları eşittir

$\displaystyle ax^2+bx+c=2x^2-3x+1$ bütün gerçek x’ler için doğruysa a=2, b=−3, c=1 olur. Tek bir x değerinde sağlanan eşitlik bunu garanti etmez. Parametreli ifadede polinom olma koşulu araştırılırken kesirli veya negatif üs taşıyan terimin katsayısının sıfır olabileceğini de kontrol et.

İşlemlerde dereceyi izle

Toplama ve çıkarmada aynı dereceli terimleri birleştiririz. En yüksek terimler birbirini götürebildiği için toplamın derecesi düşebilir. Sıfır olmayan iki polinomun çarpımında dereceler toplanır. $\displaystyle (x^2+1)(x-2)=x^3-2x^2+x-2$ ifadesinde en yüksek derece 2+1=3’tür.

x³+x ile −x³+x² toplandığında küp terimleri yok olur; geriye ikinci dereceden x²+x kalır.

Polinomu grafikle ilişkilendir

Polinomun kökü P(x)=0 yapan sayıdır; grafiğin x eksenindeki noktalarıdır. $\displaystyle P(x)=x(x-2)(x+2)/4$ için −2,0,2 köktür. Çarpanlara ayrılmış biçim kökleri, açılmış biçim katsayıları okumayı kolaylaştırır. İkisi aynı fonksiyonun farklı gösterimleridir.

x(x−2)(x+2)/4 polinomu x eksenini −2, 0 ve 2 noktalarında keser.

Polinomda üsler negatif olmayan tam sayıdır; P(0) sabit terimi, P(1) katsayılar toplamını verir.

Dikkat: Toplamın derecesi her zaman büyük dereceli polinomun derecesi değildir; baş terimler yok olabilir.

Bu bölümün kazanımları

MEB 10.3.1.1Bir değişkenli polinom kavramını açıklar.
MEB 10.3.1.2Polinomlarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapar.
Polinomun derecesini ve katsayılarını belirler, polinomlarla işlem yapar.