İkinci Dereceden Denklemler

Kapsam ve kaynak

Kapsam 2026 MEB YKS belgesine göre hazırlanmıştır. MEB kazanımları TYT ve AYT diye ayırmaz; buradaki ayrım çalışma sırasıdır. Ortak ön koşullar TYT ile aynı kaynaktan gelir. Analitik geometri, dönüşümler ve çemberin analitiği AYT Geometri bölümündedir. Karmaşık sayılarda gösterim ve eşlenik, limitte sonlu sonuçlar, türev ve integralde MEB’in belirttiği cebirsel fonksiyonlar esas alınır.

2026 MEB YKS konu ve kazanımları

Kökler ve diskriminant

Kare tamamlamak kök formülünün kaynağıdır.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.4.1.1İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kavramını açıklar.
MEB 10.4.1.2İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer.
İkinci dereceden denklemi çözer, parametreye göre gerçek kök sayısını belirler.

Kare tamamlamanın tarihsel fikri

İkinci derece denklemler, bilinmeyen bir uzunluğun alanla ilişkilendirildiği problemlerde ortaya çıkar. Harezmî ve Abdulhamid İbn Türk’ün ele aldığı geometrik tamamlama düşüncesi, eksik alanı ekleyerek tam kare kurma yöntemine bağlanır; Brahmagupta da ikinci derece denklemlerin tarihsel gelişiminde yer alır. Bugün aynı ilişkiyi pozitif–negatif sayıları birlikte kullanabilen cebirsel biçimde yazıyoruz.

Pozitif uzunluklarla x² alanına iki bx dikdörtgeni ve b² köşesi eklenerek tam kare oluşturulur.

İkinci derece için baş katsayı sıfır olamaz

$\displaystyle ax^2+bx+c=0$ denkleminde $\displaystyle a\ne0$ gerekir. Parametre a’yı sıfır yapabiliyorsa o durum ayrıca doğrusal denklem olarak incelenir. $\displaystyle x^2-5x+6=0$ için çarpanlara ayırma en kısa yoldur: $\displaystyle (x-2)(x-3)=0$ , kökler 2 ve 3’tür.

x²−5x+6 grafiği x eksenini 2 ve 3 noktalarında keser; (x−2)(x−3) çarpanları aynı kökleri verir.

Kare tamamlayarak formüle ulaş

Denklemi a’ya böl, sabiti sağa al ve iki tarafa $\displaystyle (b/2a)^2$ ekle: $\displaystyle (x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a^2)$ . Buradan $\displaystyle x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)$ bulunur. Formüldeki ±, aynı pozitif karenin iki farklı işaretli kökten gelmesini temsil eder.

Diskriminant kök sayısını belirler

$\displaystyle \Delta=b^2-4ac$ pozitifse iki farklı gerçek kök, sıfırsa çift katlı tek gerçek kök vardır. Negatifse gerçek kök yoktur. $\displaystyle x^2-2x+k=0$ için Δ=4−4k: k<1’de iki, k=1’de bir, k>1’de sıfır gerçek kök bulunur. Grafikte bu, parabolün x ekseniyle kesişim sayısıdır.

x²−2x+k grafiği yükselirken k<1’de iki kök, k=1’de çift katlı kök, k>1’de gerçek kök olmaması görülür.

Değişken dönüşümünde geri dönmeyi unutma

$\displaystyle x^4-5x^2+4=0$ denkleminde u=x² seçilirse $\displaystyle u^2-5u+4=0$ olur. u=1 veya 4’ten x=±1,±2 çıkar. u=x² olduğundan negatif u kökleri gerçek x üretmezdi. Üstel veya köklü ifadelerle yapılan dönüşümlerde de yeni değişkenin alabileceği değerler sınırlıdır.

Denklemdeki koşulu son kez denetle

$\displaystyle \sqrt{x+2}=x$ için x≥0 gerekir. Kare alınca x²−x−2=0’dan 2 ve −1 adayları çıkar, fakat −1 başlangıç koşulunu sağlamaz. Kök formülünü doğru uygulamak, dönüşümle doğan yabancı adayları kendiliğinden elemez.

$\displaystyle \Delta=b^2-4ac$ ve $\displaystyle x_{1,2}=(-b\pm\sqrt\Delta)/(2a)$ , $\displaystyle a\ne0$ .

Dikkat: Δ<0 olması bütün sayı kümelerinde kök olmadığı anlamına gelmez; bu sonuç gerçek sayılar içindir.

Kök–katsayı ilişkileri

Kökleri tek tek hesaplamadan ortak ifadelerini bul.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.4.1.4İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri kullanarak işlemler yapar.
Kök toplamı ve çarpımını kullanarak denklem kurar ve kök ifadelerini hesaplar.

Çarpanları aç ve katsayıları eşleştir

$\displaystyle a(x-r)(x-s)=ax^2-a(r+s)x+ars$ olduğundan $\displaystyle r+s=-b/a$ , $\displaystyle rs=c/a$ elde edilir. İlişkiler kökler gerçek olduğunda da karmaşık olduğunda da geçerlidir. $\displaystyle 2x^2-6x+1=0$ için toplam 3, çarpım 1/2’dir; kökleri ayrı ayrı bulmak gerekmez.

a(x−r)(x−s) açılımının üç terimi, kök toplamı ve çarpımının hangi katsayılara karşılık geldiğini gösterir.

Kareler toplamını iki bilgiden üret

$\displaystyle r^2+s^2=(r+s)^2-2rs$ olduğundan aynı denklemde sonuç 9−1=8 olur. $\displaystyle r^3+s^3=(r+s)^3-3rs(r+s)$ ve $\displaystyle (r-s)^2=(r+s)^2-4rs$ de benzer biçimde elde edilir. Sonuncu eşitlik kök farkının mutlak değerini verir; köklerin sırası belirtilmeden farkın işareti seçilemez.

Yeni köklere ait denklemi kur

Kökleri r+1 ve s+1 olan monik denklemin kök toplamı r+s+2, çarpımı rs+r+s+1’dir. r+s=3 ve rs=1/2 için yeni denklem $\displaystyle x^2-5x+9/2=0$ olur. Kökleri 1/r ve 1/s için önce rs≠0 koşulu aranır; toplam (r+s)/(rs), çarpım 1/(rs)’dir.

r ve s köklerinin her biri 1 birim sağa taşınır; toplam 2 artarken çarpıma r+s+1 eklenir.

İşaret koşulları gerçeklik koşuluna eklenir

İki gerçek kökün ikisi de pozitifse toplam pozitiftir ve çarpım pozitiftir. Ters yönde çıkarım yaparken Δ≥0 şartı da gerekir. Çarpım negatifse gerçek kökler zıt işaretlidir. $\displaystyle x^2-2x+5$ ’te toplam ve çarpım pozitif olsa da Δ<0 olduğu için “iki pozitif kök” denemez.

Grafikte toplam simetriyi anlatır

Gerçek kökler r ve s ise simetri ekseni $\displaystyle x=(r+s)/2=-b/(2a)$ olur. $\displaystyle x^2-2x$ için kökler 0 ve 2, orta noktaları 1’dir. Kök toplamı yalnız cebirsel bilgi değil, grafiğin yatay konumuna ilişkin bilgidir.

0 ve 2 kökleri x=1 simetri eksenine eşit uzaklıktadır.

Kök toplamı $\displaystyle -b/a$ , kök çarpımı $\displaystyle c/a$ ; monik denklem $\displaystyle x^2-(r+s)x+rs=0$ .

Dikkat: Kök toplamı ve çarpımının işareti, gerçek kök şartı kontrol edilmeden pozitif kök varlığını kanıtlamaz.

Karmaşık sayılara giriş

Gerçek sayılarda çözülemeyen kare denklemlerini genişlet.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.4.1.3Bir karmaşık sayının a+ib (a,b ∈ ℝ) biçiminde ifade edildiğini açıklar.
a+ib gösterimini, negatif diskriminantı ve eşlenik fikrini açıklar.

Yeni birim neyi çözüyor?

Gerçek sayının karesi negatif olamaz; bu yüzden x²+1=0 gerçek sayılarda çözülemez. $\displaystyle i^2=-1$ bağıntısını sağlayan sanal birimle karmaşık sayıları tanımlarız. Her karmaşık sayı $\displaystyle z=a+ib$ biçimindedir; a ve b gerçektir. Gerçek kısmı a, sanal kısmı b’dir; sanal kısım ib diye adlandırılmaz.

x²+1=0 denkleminin i ve −i kökleri karmaşık düzlemin sanal eksenindedir.

Düzlemde iki bileşeni göster

3+2i sayısını yatayda 3, dikeyde 2 koordinatlı noktayla temsil ederiz. İki karmaşık sayı ancak gerçek ve sanal kısımları ayrı ayrı eşitse eşittir. a+ib=4−i eşitliği a=4 ve b=−1 anlamına gelir. Gerçek sayılar bu düzlemde sanal kısmı sıfır olan özel durumlardır.

3+2i sayısı gerçek eksende 3 ve sanal eksende 2 bileşenleriyle gösterilir.

Negatif diskriminantta kökü yaz

$\displaystyle x^2-2x+5=0$ için Δ=−16’dır. Kök formülündeki $\displaystyle \sqrt{-16}$ , 4i olarak yazılınca kökler $\displaystyle x=(2\pm4i)/2=1\pm2i$ olur. Köklerden birinin sanal kısmı 2, diğerinin −2’dir. Gerçek kısmı aynı, sanal kısmı zıt bu iki sayıya birbirinin eşleniği denir.

Eşlenik çiftini yorumla

a+ib’nin eşleniği a−ib’dir. Gerçek katsayılı ikinci derece denklemde Δ<0 ise kökler böyle bir çift oluşturur; kök formülündeki ± işareti bunu açıklar. 3−5i’nin eşleniği 3+5i; gerçek bir sayının eşleniği kendisidir. 2026 MEB kapsamında burada a+ib gösterimi, negatif diskriminant ve eşlenik ilişkisi üzerinde durulur; karmaşık sayılarda ileri işlemler kullanılmaz.

2+3i ile 2−3i gerçek eksene göre simetriktir; yatay bileşen aynı, düşey bileşen ters işaretlidir.

$\displaystyle z=a+ib$ , $\displaystyle i^2=-1$ ; gerçek ve sanal bileşenler ayrı ayrı karşılaştırılır.

Dikkat: Karmaşık sayılarda gerçek sayılardaki gibi genel bir büyüktür–küçüktür sıralaması kullanılmaz.