İkinci Dereceden Denklemler Konu Anlatımı – AYT Matematik

Kökler ve diskriminant

Bilinmeyen uzunluktan alan denklemine, eksik kareden çözüme.

Alanı 16 olan bu dikdörtgenin kısa kenarı kaçtır?

Bir dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarından 6 birim fazla; alanı da 16 birimkare olsun. Kısa kenarı 1 denesek alan 1·7=7 olur, 3 denesek 3·9=27 olur. Aradığımız uzunluk bu ikisinin arasında. Bu örnekte 2’yi deneyerek bulabiliriz; fakat sayılar zorlaşınca denemeye ihtiyaç duymadan çözebileceğimiz bir yol var mı?

Kısa kenara x diyelim. Uzun kenar x+6 olur ve alan bilgisi x(x+6)=16 verir. Çarpımı açınca x²+6x=16 çıkar. Bilinmeyenin karesi denkleme girdi: buna ikinci dereceden denklem diyoruz. Şimdi bu kareli ifadeyi, şeklin parçalarını yer değiştirerek çözebileceğimiz bir kareye dönüştürelim.

Kenarları x ve x+6 olan dikdörtgenin alanı 16’dır. Bilinmeyen uzunluk iki kenarı birden değiştirir.

Dikdörtgeni kesip yerleştirelim: eksik olan tek bir köşe

Dikdörtgeni x×x kare ile x×6 şeride ayıralım. Şeridi iki tane x×3 parçaya bölüp karenin iki yanına yerleştirelim. Alan hâlâ 16’dır; yalnız parçaların yeri değişti. Şimdi büyük bir kareye çok yakınız. Eksik köşenin kenarları 3 ve 3, alanı 9’dur.

Bu köşeyi tamamlayınca toplam alan 16+9=25, büyük karenin kenarı da x+3 olur. Pozitif uzunluk olarak x+3=5, dolayısıyla x=2 çıkar. Kare tamamlama yöntemi böyle doğar: bilinmeyenli ifadeyi tanıdığımız bir kare haline getiririz. Birazdan aynı fikri cebirle yazıp geometrik uzunluk olmayan negatif çözümleri de göreceğiz; genel kök formülü bu yöntemin bütün katsayılara uygulanmış halidir.

x² alanı ve iki 3x şeridi, 9 birimkarelik köşe eklenince (x+3)²=25 karesini tamamlar.

Geometrik çözümü cebire taşıyınca ikinci kök görünür

Şekil pozitif bir uzunluk verdi: x=2. Denklemde ise (x+3)²=25 eşitliğini yalnız x+3=5 değil, x+3=−5 de sağlar. Dolayısıyla cebirsel çözümler x=2 ve x=−8’dir. −8 başlangıçtaki dikdörtgenin kenarı olamaz ama x²+6x=16 denklemini sağlar: 64−48=16.

Bu ayrım, ikinci derece denklemin iki kökü olabilmesiyle geometrik sorunun tek cevabı olabilmesini birlikte açıklar. Harezmî ve Abdulhamid İbn Türk’ün geometrik tamamlama düşüncesiyle ilişkilendirilen kare tamamlama yöntemi, cebirsel biçimiyle negatif sayıları da kapsar; Brahmagupta da ikinci derece denklemlerin tarihsel gelişiminde yer alır. Şimdi şekle özel sayıları genel a,b,c katsayılarıyla değiştireceğiz.

Pozitif uzunluklarla x² alanına iki bx dikdörtgeni ve b² köşesi eklenerek tam kare oluşturulur.

İkinci derece için baş katsayı sıfır olamaz

$\displaystyle ax^2+bx+c=0$ denkleminde $\displaystyle a\ne0$ gerekir. Parametre a’yı sıfır yapabiliyorsa o durum ayrıca doğrusal denklem olarak incelenir. $\displaystyle x^2-5x+6=0$ için çarpanlara ayırma en kısa yoldur: $\displaystyle (x-2)(x-3)=0$ , kökler 2 ve 3’tür.

x²−5x+6 grafiği x eksenini 2 ve 3 noktalarında keser; (x−2)(x−3) çarpanları aynı kökleri verir.

Kare tamamlayarak formüle ulaş

Denklemi a’ya böl, sabiti sağa al ve iki tarafa $\displaystyle (b/2a)^2$ ekle: $\displaystyle (x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a^2)$ . Buradan $\displaystyle x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)$ bulunur. Formüldeki ±, aynı pozitif karenin iki farklı işaretli kökten gelmesini temsil eder.

Diskriminant kök sayısını belirler

$\displaystyle \Delta=b^2-4ac$ pozitifse iki farklı gerçek kök, sıfırsa çift katlı tek gerçek kök vardır. Negatifse gerçek kök yoktur. $\displaystyle x^2-2x+k=0$ için Δ=4−4k: k<1’de iki, k=1’de bir, k>1’de sıfır gerçek kök bulunur. Grafikte bu, parabolün x ekseniyle kesişim sayısıdır.

x²−2x+k grafiği yükselirken k<1’de iki kök, k=1’de çift katlı kök, k>1’de gerçek kök olmaması görülür.

Değişken dönüşümünde geri dönmeyi unutma

$\displaystyle x^4-5x^2+4=0$ denkleminde u=x² seçilirse $\displaystyle u^2-5u+4=0$ olur. u=1 veya 4’ten x=±1,±2 çıkar. u=x² olduğundan negatif u kökleri gerçek x üretmezdi. Üstel veya köklü ifadelerle yapılan dönüşümlerde de yeni değişkenin alabileceği değerler sınırlıdır.

Denklemdeki koşulu son kez denetle

$\displaystyle \sqrt{x+2}=x$ için x≥0 gerekir. Kare alınca x²−x−2=0’dan 2 ve −1 adayları çıkar, fakat −1 başlangıç koşulunu sağlamaz. Kök formülünü doğru uygulamak, dönüşümle doğan yabancı adayları kendiliğinden elemez.

$\displaystyle \Delta=b^2-4ac$ ve $\displaystyle x_{1,2}=(-b\pm\sqrt\Delta)/(2a)$ , $\displaystyle a\ne0$ .

Dikkat: Δ<0 olması bütün sayı kümelerinde kök olmadığı anlamına gelmez; bu sonuç gerçek sayılar içindir.

Bu bölümün kazanımları

MEB 10.4.1.1İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kavramını açıklar.
MEB 10.4.1.2İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer.
İkinci dereceden denklemi çözer, parametreye göre gerçek kök sayısını belirler.