Limit ve Süreklilik

Bir doğru üzerindeki yalnız bir noktayı silelim. Silinen yerin solundaki ve sağındaki noktalar duruyor. Soldan gelen yükseklikler 1,9; 1,99; 1,999… Sağdan gelenler 2,1; 2,01; 2,001… Çizime bakınca iki tarafın da 2 yüksekliğine yöneldiğini görüyoruz. Peki silinen noktaya sonradan 3 değerini koyarsak, çevrenin yöneldiği yer de 3 olur mu?

Bir noktada ne olduğu ile o noktaya yaklaşırken ne olduğu farklı sorulardır. İlkinde tek bir değeri, ikincisinde yakın çevredeki davranışı inceleriz. Limit, bu ikinci soruya cevap veren kavramdır. Noktadaki boşluğa rağmen konuşabileceğimiz bir bilgi olduğunu fark etmek, limitin başlangıcıdır.

Bu örnekte x=1 dışındaki kural f(x)=x+1 olsun. Girdinin 1’e uzaklığı ne kadarsa çıktının 2’ye uzaklığı da o kadardır: $\displaystyle |(x+1)-2|=|x-1|$. Böylece yalnız tablodaki birkaç değeri değil, 1’e istediğimiz kadar yakın bütün girdileri açıklayabiliyoruz. Çıktılar 2’ye yaklaşır; bunu $\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=2$ diye yazarız.

Şimdi f(1)=3 seçelim. Grafikte 2 yüksekliğinde boş, 3 yüksekliğinde dolu bir nokta görünür. Noktanın değeri 3, limit 2’dir. Limit bunların aynı olmasını istemez; süreklilik ise bu ikisinin uyuşmasını isteyecek. Önce iki yandan yaklaşmayı ve bu limit bilgisini nasıl okuyacağımızı netleştirelim.

1’e yaklaşan girdiler için 2’ye yaklaşan çıktılar gördük. Genel olarak girdinin yaklaştığı sayıya a, çıktının yaklaştığı sayıya L diyelim. x’i a’ya, a’ya eşit olmadan yeterince yaklaştırdığımızda f(x) değerlerini L’ye istediğimiz kadar yakın tutabiliyorsak $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L$ yazarız.

İki taraflı incelemede yalnız bir yönden seçtiğimiz birkaç girdiye bakmayız; her iki yandaki yeterince yakın girdiler aynı davranışı göstermelidir. Çizimde a=1, L=2’dir. Bu tanım f(a)’nın varlığını istemez. İster boş bırakılsın ister ayrı bir değer verilsin, limit için yakın çevreyi incelemeye devam ederiz.

x≠1 için kural f(x)=x+1 olarak kalsın. x=1’de hiç değer vermeyebilir, 2 verebilir veya 3 verebiliriz. İlkinde delik boş kalır; ikincisinde delik kapanır; üçüncüsünde başka yükseklikte dolu bir nokta oluşur. Üçünde de x=1 çevresindeki değerler 2’ye yaklaşır.

Görsel üçüncü seçimi gösterir: boş (1,2), dolu (1,3). Dolu nokta yalnız f(1)’i belirler. Bu üç durumdan yalnız deliği 2 ile kapatan seçim süreklidir; sürekliliği ayrı bölümde kuracağız. Önce sağ ve sol tarafın birbirinden farklı değerlere yönelmesi durumunda limite ne olduğuna bakalım.

Soldan limit $\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)$, x<a tarafını; sağdan limit $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)$, x>a tarafını inceler. İki taraflı sonlu limitin varlığı için iki tek taraflı limit var ve eşit olmalıdır. x<0’da f=1, x≥0’da f=3 ise soldan 1, sağdan 3 bulunur; x=0’da iki taraflı limit yoktur.