Limit ve Süreklilik

Kapsam ve kaynak

Kapsam 2026 MEB YKS belgesine göre hazırlanmıştır. MEB kazanımları TYT ve AYT diye ayırmaz; buradaki ayrım çalışma sırasıdır. Ortak ön koşullar TYT ile aynı kaynaktan gelir. Analitik geometri, dönüşümler ve çemberin analitiği AYT Geometri bölümündedir. Karmaşık sayılarda gösterim ve eşlenik, limitte sonlu sonuçlar, türev ve integralde MEB’in belirttiği cebirsel fonksiyonlar esas alınır.

2026 MEB YKS konu ve kazanımları

Limit, soldan ve sağdan yaklaşma

Noktadaki değerden önce çevresindeki davranışa bak.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 12.5.1.1Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, soldan limit ve sağdan limit kavramlarını açıklar.
Grafik ve tablo üzerinden tek taraflı ve iki taraflı limiti yorumlar.

Yaklaşmak eşit olmak değildir

x, a’ya yaklaşırken f(x) değerleri L’ye yaklaşıyorsa $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L$ yazarız. Bu incelemede x’in a’ya eşit olması gerekmez; a’nın yakınındaki değerler önemlidir. f(a) tanımlı olmayabilir veya L’den farklı olabilir. Limit, tek bir noktanın yüksekliği değil komşuluktaki davranışın ifadesidir.

x+1 üzerindeki iki nokta x=1’e iki yandan yaklaşırken yükseklikleri aynı 2 değerine yaklaşır.

Delik ve dolu nokta farklı bilgi verir

x≠1 için f(x)=x+1, f(1)=3 olsun. x’in 1’e yakın değerlerinde çıktı 2’ye yaklaşır; limit 2’dir. Grafikte (1,2) açık nokta, (1,3) dolu noktadır. Dolu nokta yalnız f(1)’i değiştirir; çevredeki doğruyu değiştirmediği için limiti değiştirmez.

x=1 çevresinde doğru y=2’ye yaklaşır; açık nokta (1,2), tanımlanan değer olan dolu nokta (1,3)’tür.

Yaklaşma düşüncesinin kesinleştirilmesi

Çok küçük aralıklarla yapılan hesapların neden güvenilir olduğunu açıklamak, limit kavramının tarihsel gelişimindeki temel soruydu. Cauchy’nin çalışmaları limit ve sürekliliğin sistemli ele alınmasında önemli bir yer tutar; Salih Zeki’nin matematik eserlerinde de bu kavramlar ele alınır. Buradaki grafik ve tablo yaklaşımı, tek bir sayısal denemeden bütün yakın çevrenin davranışına geçmeyi amaçlar.

İki taraftan aynı değere yaklaşılmalı

Soldan limit $\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)$ , x<a tarafını; sağdan limit $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)$ , x>a tarafını inceler. İki taraflı sonlu limitin varlığı için iki tek taraflı limit var ve eşit olmalıdır. x<0’da f=1, x≥0’da f=3 ise soldan 1, sağdan 3 bulunur; x=0’da iki taraflı limit yoktur.

x=0’da soldan değerler 1’e, sağdan 3’e yaklaşır; iki taraflı limit yoktur.

Tablo yaklaşmayı düşündürür, tek başına ispatlamaz

x=0,9;0,99;1,01;1,1 gibi değerleri x+1’de hesaplamak 2’ye yaklaşmayı gösterir. Ancak sonlu bir tablo fonksiyonun bütün komşuluğunu belirlemez. Formül veya grafik bilgisiyle birlikte yorumlanır. Yuvarlama sonucu aynı görünen çıktılar tam eşitlik veya limitin yokluğu hakkında tek başına karar verdirmez.

Limit ile nokta değerini tabloya dök

x≠1’de f(x)=x+1 için aşağıdaki değerler soldan ve sağdan 2’ye yaklaşmayı gösterir. x=1 satırı limit hesabına katılmaz; oradaki ayrı değer f(1)’dir. Bu bölüm sonlu limitleri inceler. 2026 MEB açıklamasına göre sonucu pozitif veya negatif sonsuz olan limit uygulamaları bu kapsamda işlenmez.

1 çevresinde yaklaşma
x	f(x)	Yön
0,9	1,9	Soldan
0,99	1,99	Soldan
1,01	2,01	Sağdan
1,1	2,1	Sağdan

İki taraflı limit, soldan ve sağdan aynı sonlu değere yaklaşmayı gerektirir; f(a) ayrı bilgidir.

Dikkat: Grafikte dolu noktanın yüksekliği her zaman limit değildir.

Limit işlemleri ve belirsizlikler

0/0 bir sonuç değil, ifadeyi yeniden düzenleme işaretidir.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 12.5.1.2Limit ile ilgili özellikleri belirterek uygulamalar yapar.
Limit kurallarını, çarpanlara ayırma ve eşlenikle düzenlemeyi kullanır.

Limit kuralları tanımlı işlemlerle çalışır

f’nin limiti L, g’nin limiti M ise toplamın limiti L+M, çarpımın limiti LM’dir. Bölüm için M≠0 gerekir; limit L/M olur. Polinomlarda doğrudan x=a yazılır. Paydası a’da sıfır olmayan rasyonel fonksiyonlarda da yerine koyma yeterlidir. $\displaystyle \lim_{x\to2}(x^2+1)/(x+1)=5/3$ .

Ortak çarpanı yakın çevrede sadeleştir

$\displaystyle \lim_{x\to1}(x^2-1)/(x-1)$ doğrudan 0/0 verir. x≠1 iken ifade x+1’e eşittir; limit hesaplanırken bu komşuluk yeterlidir, sonuç 2 olur. Sadeleşme f(1)’i tanımlamaz; yalnız çevrede eşit olan ifadeyle aynı limiti hesaplarız.

(x²−1)/(x−1) grafiği x+1 doğrusu üzerindedir ama x=1’de deliktir; bu noktaya dolu değer atanmaz.

Köklü farklarda eşleniği kullan

$\displaystyle \lim_{x\to4}(\sqrt x-2)/(x-4)$ için pay ve paydayı √x+2 ile çarp: pay x−4 olur. x≠4 için ifade 1/(√x+2)’ye dönüşür, limit 1/4’tür. Eşlenik yönteminin çalışması iki kare farkına dayanır. Aynı çarpanı pay ve paydada unutmadan kullanmalıyız.

Eşlenikle düzenlenen 1/(√x+2) eğrisi x=4 çevresinde 1/4’e yaklaşır; başlangıçtaki delik korunur.

Mutlak değeri tarafta aç

$\displaystyle |x|/x$ için x>0’da değer 1, x<0’da −1’dir. Bu yüzden x→0’da iki taraflı limit yoktur. $\displaystyle |x-2|/(x-2)$ aynı yapıyı 2 çevresinde taşır. Mutlak değeri x−2 diye açmadan önce hangi taraftan yaklaşıldığı belirlenir.

|x|/x, sıfırın solunda −1 ve sağında 1’dir; iki açık noktanın yükseklikleri farklıdır.

Belirsizlikler farklı sonuçlara gidebilir

x→0 için x/x limiti 1, x²/x limiti 0, x/x² ifadesinin iki taraflı sonlu limiti ise yoktur. Üçünde de yerine koyma 0/0 görüntüsü verir. Demek ki 0/0 “0”, “1” veya “limit yok” diye otomatik okunamaz. 0/0 biçimi, fonksiyonlar arasındaki ilişkinin daha ayrıntılı incelenmesini ister.

Üstel, logaritmik ve trigonometrik limit

Fonksiyon ilgili noktada sürekliyse değer yerine konur: $\displaystyle \lim_{x\to2}2^x=4$ , $\displaystyle \lim_{x\to1}\log_2x=0$ , $\displaystyle \lim_{x\to\pi/2}\sin x=1$ . Logaritmada pozitif girdi, tanjantta cos x≠0 gibi tanım koşulları korunur. Bu örneklerde belirsizlik yoktur. Sonlu noktadaki belirsizlikler cebirsel çarpanlara ayırma ve eşlenikle düzenleme üzerinden çözülür; türevle limit alma yöntemi kullanılmaz.

Önce yerine koymayı dene; belirsizlikte çarpan, eşlenik veya tek taraflı inceleme kullan.

Dikkat: Paydanın sıfıra gitmesi tek başına limitin olmadığı sonucunu vermez; payla ortak davranış incelenir.

Süreklilik ve parçalı fonksiyonlar

Yaklaşılan değer ile noktadaki değer birleşmeli.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 12.5.1.3Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğini açıklar.
Sürekliliğin koşullarını denetler; parçalı fonksiyonları sürekli yapacak parametreleri bulur.

Süreklilik üç koşulu birleştirir

f’nin a’da sürekli olması için f(a) tanımlı, a’daki limit mevcut ve bu limit f(a)’ya eşit olmalıdır. İlk koşul noktanın varlığı, ikincisi iki tarafın uyuşması, üçüncüsü noktaya bağlanmasıdır. Sadece soldan ve sağdan limitlerin eşit olması, noktadaki değer yanlış seçilmişse yetmez.

Delik uygun değerle doldurulabilir

x≠1’de f(x)=(x²−1)/(x−1), x=1’de f(1)=k olsun. Limit 2 olduğu için süreklilik ancak k=2 ile sağlanır. k=3 seçilirse limit yine vardır ama fonksiyon sürekli değildir. Bu tür kopukluk tek noktanın değeri değiştirilerek giderilebilir.

x=1’deki dolu değer 3’ten 2’ye taşındığında delik kapanır; k=2 sürekliliği sağlar.

Parçalı ifadede sağ ve solu ayrı hesapla

x<2 için f(x)=ax+1, x≥2 için f(x)=x² olsun. Soldan limit 2a+1, sağdan limit ve f(2) ise 4’tür. Süreklilik için 2a+1=4, a=3/2 gerekir. Eşitlik işaretinin hangi parçada olduğunu okuyarak f(2)’yi doğru parçadan alırız.

a=3/2 seçildiğinde soldaki ax+1 doğrusu ile sağdaki x² eğrisi (2,4)’te birleşir.

Sıçramayı tek nokta düzeltemez

x<0’da 1, x≥0’da 3 olan fonksiyonda iki taraflı limit yoktur. f(0)’ı değiştirmek sağdaki veya soldaki çevresel değerleri değiştirmez. Bu yüzden tek noktaya herhangi bir sayı atamak sıçramayı gidermez. Giderilebilir kopuklukla sıçrama arasındaki ayrım limitin varlığıdır.

Soldan 1 ve sağdan 3 yaklaşımı, x=0 değerini değiştirerek aynı hale getirilemez.

Aralıkta süreklilik uçları da içerir

Polinomlar bütün gerçek sayılarda, rasyonel ifadeler paydanın sıfır olmadığı noktalarda süreklidir. Kapalı [a,b] aralığında süreklilik denirken içte iki taraflı, a’da sağdan, b’de soldan süreklilik aranır. √x’in [0,∞) üzerindeki başlangıç noktası bu tek taraflı bakışa örnektir.

Süreklilik: f(a) tanımlı ve $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ .

Dikkat: Limitin var olması tek başına süreklilik değildir; limitin f(a)’ya eşit olması da gerekir.