Üçgenler

30°, 60°, 90° karşısındaki kenarlar sırasıyla $\displaystyle a,a\sqrt3,2a$; 45°, 45°, 90° karşısındakiler $\displaystyle a,a,a\sqrt2$ olur. 3–4–5 ve 5–12–13 gibi Pisagor'u sağlayan üçgenler de kullanışlıdır. Kenarları aynı katsayıyla büyütmek açıları korur; örneğin 6–8–10 da diktir.

Eşlik için KKK, iki kenar ve aradaki açı eşitliği (KAK), ya da bir kenar ve ona komşu iki açı eşitliği (AKA) yeterlidir. Benzerlik için iki açının eşitliği (AA), üç kenarın aynı oranda olması (KKK), ya da iki kenarın aynı oranda ve aradaki açının eşit olması (KAK) yeterlidir. AA'da üçüncü açı 180° toplamı nedeniyle zaten eşleşir.

Aynı iki alanın oranını iki farklı yoldan bulduğumuza göre $\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$. Uzun yan kenarın tarafında daha uzun taban parçası oluşur. AB = AC ise BD = DC olur; ikizkenar üçgende tepe açıortayının aynı zamanda kenarortay olması buradan gelir.

Aynı yükseklikte alanlar tabanlarla; aynı tabanda alanlar yüksekliklerle orantılıdır. İki kenar a, b ve aralarındaki C açısı biliniyorsa yükseklik $\displaystyle b\sin C$ olduğundan $\displaystyle S=\frac{ab\sin C}{2}$. Eşkenar üçgende yükseklik $\displaystyle a\sqrt3/2$, alan $\displaystyle a^2\sqrt3/4$ olur.

Artık dik üçgende $\displaystyle h^2+5^2=13^2$ yazabiliriz. $\displaystyle h^2=144$, yani h = 12. Alan $\displaystyle 10\cdot12/2=60$ birimkaredir. Çözümün omurgası ikizkenarlık → eşlik → diklik → Pisagor → alan. Formül seçimini şekilden çıkardığımız bilgiler yönlendiriyor.

Bir açının içindeki P noktasından açının iki kenarına dikmeler indir. P açıortay üzerindeyse, ortak hipotenüslü iki dik üçgen eş olur; iki dik uzaklık eşittir. Tersi de geçerlidir: kenarlara eşit uzaklıktaki bir iç nokta açıortay üzerindedir. Burada uzaklık, köşeye veya kenar üzerindeki rastgele bir noktaya değil, kenarın doğrusuna dik ölçülür.

ABC üçgeninde A'daki iç açı ile ona komşu dış açının toplamı 180°'dir. Yarılarının toplamı 90° olduğundan aynı köşenin iç ve dış açıortayları birbirine diktir. Dış açıortay BC doğrusu ile E'de buluştuğunda E, BC parçasının dışında kalır. AB=AC ise dış açıortay BC'ye paraleldir; sonlu bir E kesişimi yoktur.

AB=6, AC=4 ve BC=5 olsun. $\displaystyle EB:EC=3:2$ ve E, C'nin ötesinde olduğundan $\displaystyle EB-EC=BC$ yazılır. EB=3t, EC=2t alınırsa t=5; EB=15 ve EC=10 çıkar. İç açıortayda BD+DC=BC iken burada parçaların farkı BC'dir. Denklem kurmadan önce noktaların sırasını işaretlemek yanlış toplamı önler.

Üç iç açıortayın kesişimi iç merkezdir. Bir iç ve iki dış açıortayın kesişimi ise bir dış teğet çemberin merkezidir; bu merkez bir kenara ve öteki iki kenarın uzantılarına eşit uzaklıktadır. İç merkez her zaman üçgenin içindedir. Dış merkezle iç merkezi ayıran şey, hangi açıların ikiye bölündüğüdür.

İki eşitliğin toplamında +au ile −au yok olur: $\displaystyle b^2+c^2=2(u^2+v^2)+a^2/2$. Buradan $\displaystyle m_a^2=(2b^2+2c^2-a^2)/4$ bulunur. Kenarortay uzunluğunu veren bu yardımcı bağıntı, ayrı bir ezberden çok Pisagor'un iki kez kullanılmasıdır. Kenarortay her durumda dik değildir; çizimde AM'yi yükseklik gibi almıyoruz.

A açısı dikse $\displaystyle b^2+c^2=a^2$ olur. Yerine koyduğunda $\displaystyle m_a=a/2$ çıkar: hipotenüse çizilen kenarortay hipotenüsün yarısıdır. Hipotenüsü 10 olan dik üçgende bu uzunluk 5, ağırlık merkezinin A'ya uzaklığı ise $\displaystyle (2/3)\cdot5=10/3$ olur. G'nin ayırdığı uzun parçanın köşeye komşu olduğunu hatırla.

AB'nin orta dikmesindeki O için OA=OB'dir; bu, iki eş dik üçgenden gelir. O aynı zamanda BC'nin orta dikmesindeyse OB=OC olur. O hâlde OA=OC; O, AC'nin de orta dikmesindedir. Böylece üç orta dikme aynı noktada buluşur. Çevrel merkez dar üçgende içeride, dik üçgende hipotenüsün ortasında, geniş üçgende dışarıdadır.

A ve B uçlarından eş yarıçaplı, yarıçapı AB/2'den büyük yaylar çiz. Yayların iki kesişim noktası da A ve B'ye eşit uzaklıktadır. Bu noktaları birleştiren doğru AB'nin orta dikmesidir. Üçgenin iki kenarında aynı çizimi yaparak çevrel merkezi bulabilirsin. Diklik işareti, rastgele bir çizginin üstüne eklenmez; eş uzaklık koşuluyla elde edilir.

Yükseklik karşı kenarın doğrusuna diktir; ayağının kenar parçasında kalması şart değildir. Dar üçgende üç yükseklik içeride buluşur. Dik üçgende dik kenarlar zaten birer yüksekliktir; diklik merkezi dik köşedir. Geniş üçgende iki yüksekliğin uzantıları dışarıda buluşur. İç merkez ve ağırlık merkezi ise üçgenin çeşidi değişse de içeride kalır.

Aynı dar açıyı taşıyan iki dik üçgen AA ile benzerdir. Bütün kenarlar aynı katsayıyla büyüdüğünden karşı/hipotenüs ve komşu/hipotenüs oranları değişmez. $\displaystyle \sin\alpha=\text{karşı}/\text{hipotenüs}$, $\displaystyle \cos\alpha=\text{komşu}/\text{hipotenüs}$ böyle tanımlanır. Karşı ve komşu, seçtiğin dar açıya göredir; diğer dar açıya geçtiğinde yer değiştirirler.

$\displaystyle \tan\alpha=\text{karşı}/\text{komşu}=\sin\alpha/\cos\alpha$ ve $\displaystyle \cot\alpha=\text{komşu}/\text{karşı}$ olur. 3–4–5 üçgeninde karşı kenarı 3 olan açı için sinüs 3/5, kosinüs 4/5, tanjant 3/4'tür. İki dik kenarı 6 ve 8 yaptığında bu değerler değişmez. Pisagor'u hipotenüsün karesine bölersen $\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ çıkar.

45–45–90 üçgeninden $\displaystyle \sin45^\circ=\cos45^\circ=\sqrt2/2$; 30–60–90 üçgeninden $\displaystyle \sin30^\circ=\cos60^\circ=1/2$ ve $\displaystyle \sin60^\circ=\cos30^\circ=\sqrt3/2$ gelir. Tümler açılarda karşı ve komşu yer değiştirdiği için $\displaystyle \sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$ olur. Bu değerleri yönüne göre döndürülmüş üçgende de aynı karşı kenarla eşleştir.

Pozitif x ekseninden saat yönünün tersine ölçtüğümüz açıda P üst yarım çemberdeyse sinüs pozitif; sol yarım çemberdeyse kosinüs negatiftir. $\displaystyle \sin120^\circ=\sqrt3/2$, $\displaystyle \cos120^\circ=-1/2$ olur. Bu yorum geniş açılı üçgende kosinüs teoremini kullanabilmemizi sağlar. Tanjant $\displaystyle \cos\alpha=0$ olduğunda tanımsızdır; özellikle 90°'de bölme yapamayız.

$\displaystyle a^2=(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2$ eşitliğini aç. Sinüs ve kosinüsün kareleri toplamı 1 olduğundan $\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ elde edilir. B veya C açısı için de aynı bağıntı, karşı kenar solda kalacak biçimde yazılır. Aradaki açı 90° olduğunda kosinüs sıfırdır; Pisagor aynen geri gelir.

A=120°, b=3, c=5 ise $\displaystyle \cos120^\circ=-1/2$ olur. Bu nedenle $\displaystyle a^2=9+25-30(-1/2)=49$ ve a=7 bulunur. Sonuç üçgen eşitsizliğini sağlar: 2<7<8. Geniş açı iki kenarın uçlarını dik açıya göre daha çok ayırdığı için karşı kenarın büyümesi geometrik olarak da beklenir.

Denklemi $\displaystyle \cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$ biçiminde düzenle. A'nın dar olması için pay pozitif, dik olması için sıfır, geniş olması için negatif olmalıdır. Bir üçgenin türünü bulurken en uzun kenarın karşısındaki açıyı incelemek yeterlidir. Ancak önce üç uzunluğun gerçekten üçgen oluşturduğunu kontrol et; geçersiz üçlüye açı atayamazsın.

C'den AB doğrusuna inen yüksekliğe h de. Dar açılı durumda $\displaystyle h=b\sin A=a\sin B$ olur. Bölerek $\displaystyle a/\sin A=b/\sin B$ elde edilir. Diğer yüksekliği kullanınca c de katılır. Geniş açıda dışarı düşen dik üçgende bütünler açının sinüsü değişmediği için aynı ilişki sürer.

A=30°, a=6 ve B=45° olsun. Önce ortak oran $\displaystyle 6/(1/2)=12$ bulunur. Bu yüzden $\displaystyle b=12\sin45^\circ=6\sqrt2$ ve çevrel yarıçap R=6'dır. Kullanışlı bilgi, bir açı ile onun karşısındaki kenarın birlikte bilinmesidir. İki kenar ve aradaki açı veriliyorsa önce kosinüs teoremi daha doğrudan ilerler.

$\displaystyle \sin B=1/2$ denklemi üçgen içinde B=30° veya B=150° olasılığını verir. A=20°, a=2 ve $\displaystyle b=1/\sin20^\circ$ alındığında sinüs teoremi tam bu eşitliği üretir. Her iki B için de A+B<180° olduğundan iki farklı üçgen mümkündür. Başka veriler, açıların toplamı ve kenar sıralaması bu seçenekleri eleyebilir. Tek bir oran gördüğünde ikinci olasılığı sessizce atma.

a ve b kenarları arasındaki açı C ise yükseklik $\displaystyle b\sin C$ olur; $\displaystyle S=ab\sin C/2$. C geniş olduğunda yükseklik uzantıya inse de sinüs pozitif olduğundan alan formülü geçerlidir. İki üçgen aynı açıyı veya bütünler açıları taşıyorsa alanlarının oranı o açıyı oluşturan kenar çarpımlarının oranıdır. Eş açı bilgisi olmadan sinüsleri sadeleştiremezsin.

Sinüs teoreminden $\displaystyle \sin C=c/(2R)$ gelir. Bunu alan bağıntısına yerleştirince $\displaystyle S=abc/(4R)$ bulunur. Kenarları 3, 4, 5 olan dik üçgende S=6 ve R=5/2'dir; $\displaystyle 3\cdot4\cdot5/(4\cdot5/2)=6$ kontrolü bunu doğrular. Aynı üçgende u=6 olduğundan iç yarıçap r=1 olur.

Heron bağıntısı $\displaystyle S=\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}$ üç kenar verildiğinde kullanılabilir. Nedenini görmek için $\displaystyle 16S^2=4b^2c^2\sin^2 A$ yaz; $\displaystyle \sin^2 A=1-\cos^2 A$ ve kosinüs teoremiyle ifade $\displaystyle (b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b)$ çarpanlarına ayrılır. Bunlar 2u, 2(u−a), 2(u−c), 2(u−b)'dir. Bu, alan kazanımını destekleyen bir türetmedir; ayrı bir MEB kazanım adı değildir.

Eşkenar üçgenin kenarı a, yüksekliği h; içindeki P noktasının kenarlara dik uzaklıkları d₁,d₂,d₃ olsun. P'yi köşelere birleştirince toplam alan $\displaystyle a(d_1+d_2+d_3)/2$ olur. Bütün üçgenin alanı ah/2 olduğundan d₁+d₂+d₃=h. P içeride hareket etse de toplam değişmez; tek tek uzaklıkların eşit olması gerekmez.

AB=AC=s ve P, BC tabanı üzerinde olsun. P'nin AB ve AC doğrularına uzaklıkları d₁,d₂; eş yan kenarlardan birine ait yükseklik hₛ olsun. ABP ve ACP'nin alanları toplamı $\displaystyle s(d_1+d_2)/2$, ABC'nin alanı shₛ/2'dir. Bu yüzden d₁+d₂=hₛ. Buradaki sabit, tabana ait yükseklik değil eş yan kenara ait yüksekliktir.

Benzerlik oranı 2/3 ise alan oranı 4/9'dur. Ortak yüksekliği olan iki üçgende ise alan oranı doğrudan taban oranıdır. Bu iki durum farklıdır: birinde iki boyut birlikte ölçeklenir, diğerinde yükseklik sabit kalır. Karma bir şekilde önce hangi yüksekliklerin eşit olduğunu, sonra hangi üçgenlerin benzer olduğunu ayrı ayrı işaretle.