Üçgenler

Her köşedeki dış açı, o köşenin iç açısıyla 180°'yi tamamlar. Üç dış açıyı toplarsak $\displaystyle 3\cdot180^\circ-(A+B+C)=540^\circ-180^\circ=360^\circ$ bulunur: bir üçgenin dış açılarının toplamı 360°'dir.

İkizkenar üçgende eş kenarların karşısındaki taban açıları eşittir; tepe açısı α ise her taban açısı $\displaystyle (180^\circ-\alpha)/2$ olur. Eşkenar üçgende üç açı da 60°, her dış açı 120°'dir. Tersine, iki açısı eşit olan üçgende bu açıların karşısındaki kenarlar eşittir; açı bilgisinden kenar eşitliğine bu yolla geçeriz. Gerekçeler Özel üçgenler bölümünde eşlikle gösterilir.

Örnek 1: Bir üçgenin açıları 2, 3 ve 4 ile orantılıdır. Açılar 2k, 3k, 4k ise $\displaystyle 9k=180^\circ$, k = 20°; açılar 40°, 60° ve 80°'dir.

Örnek 2: ABC üçgeninde A = 50° ve B açısı C açısından 30° büyüktür. $\displaystyle B+C=130^\circ$ ve $\displaystyle B-C=30^\circ$ olduğundan B = 80°, C = 50° bulunur. A ve C eşit olduğundan karşılarındaki kenarlar da eşittir: |BC| = |AB|.

Örnek 3 (iç nokta): ABC üçgeninin içindeki bir D noktasını B ve C'ye birleştirelim. AD doğrusunu D'nin ötesine uzatırsak ABD ve ACD üçgenlerinde D'deki dış açılar sırasıyla $\displaystyle \widehat{BAD}+\widehat{ABD}$ ve $\displaystyle \widehat{CAD}+\widehat{ACD}$ olur. Bu iki dış açı birlikte ∠BDC'yi oluşturur: $\displaystyle m(\widehat{BDC})=m(\widehat A)+m(\widehat{ABD})+m(\widehat{ACD})$. A = 50°, ∠ABD = 20°, ∠ACD = 30° ise ∠BDC = 100°.

Örnek 4: Paralel doğrularla birlikte verilen üçgenlerde önce paralellikten eşit açıları taşı, sonra üçgendeki 180° kuralını uygula.

Geometri kelimesi Yunanca kökenlidir ve 'yer ölçümü' anlamına gelir. Eski Mısır'da Nil taşkınlarından sonra tarla sınırlarının yeniden belirlenmesi, Mezopotamya'da arazi ve yapı hesapları geometrinin ilk uygulamalarındandır. Antik Yunan'da Thales ve Pisagor geometrik ilişkileri gerekçelendirmeye başladı; Öklid MÖ 300 dolaylarında yazdığı “Elemanlar” ile geometriyi tanım, aksiyom ve ispatlardan oluşan bir sisteme dönüştürdü.

Kültür ve medeniyetimizde bu birikim geliştirildi. Sâbit İbn Kurrâ Öklid'in eserini Arapçaya kazandıranlardandır ve Pisagor teoremini dik olmayan üçgenlere genelleyen bir sonuç verdi. Ebu'l Vefa, ustaların cetvel ve pergelle yapacağı geometrik çizimler üzerine eser yazdı. Ömer Hayyam ve Nasîrüddin Tûsî Öklid'in paralellik aksiyomu üzerine çalıştı; Tûsî trigonometriyi astronomiden ayrı bir dal olarak ele aldı.

Mustafa Kemal Atatürk, 1936–1937 kışında geometri öğretimine kaynak olması için bir Geometri kitabı yazdı; kitap 1937'de Kültür Bakanlığınca yazar adı belirtilmeden yayımlandı. Atatürk bu eserde 'zaviye' yerine açı, 'müselles' yerine üçgen, 'mütesaviyüssakeyn' yerine ikizkenar gibi Türkçe terimler kullandı. Açıortay, kenarortay, köşegen, eşkenar, yatay ve düşey gibi bugün kullandığımız pek çok terim bu kitapla yaygınlaştı.