Analitik Geometri

Dik koordinat düzleminde yatay x ekseni ve düşey y ekseni O(0,0)’da kesişir. P(x,y) yazarken önce yatay, sonra düşey konumu okuruz. Eksenlerin pozitif ve negatif yönleri, noktanın hangi tarafta bulunduğunu söyler; eksi işareti uzaklığın negatif olduğu anlamına gelmez.

Birinci bölgede iki koordinat pozitif; ikinci bölgede x negatif, y pozitif; üçüncüde ikisi negatif; dördüncüde x pozitif, y negatiftir. Eksen üzerindeki noktalar bölgelere ait değildir. x ekseninde y = 0, y ekseninde x = 0 olur.

A’dan B’ye yolun yarısına geldiğinde yatay değişimin yarısını ve düşey değişimin yarısını almış olursun. x koordinatı $\displaystyle x_1+(x_2-x_1)/2=(x_1+x_2)/2$ olur; y için de aynı işlem geçerlidir. Böylece $\displaystyle M((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)$ bulunur.

Koordinatların ortalamasını almak, uzunlukları toplamaktan farklıdır. Eksenin iki yanında bulunan noktaların orta noktası eksenin üzerinde olabilir. Negatif koordinatları mutlak değere çevirmeden işaretleriyle ortalamalıyız.

Doğru A$\displaystyle (x_0,y_0)$’dan geçsin ve eğimi m olsun. Doğrunun başka bir (x,y) noktası için aynı oran sağlanır: $\displaystyle (y-y_0)/(x-x_0)=m$. Buradan $\displaystyle y-y_0=m(x-x_0)$ elde edilir.

Bu denklem, doğru üzerindeki bütün noktaların aynı değişim ilişkisine uymasını ister. Bir noktanın doğru üzerinde olup olmadığını kontrol etmek için koordinatlarını denkleme koyarız. Eşitliği sağlıyorsa noktadır; yalnızca çizimde doğruya yakın durması yeterli değildir.

Yatay doğruda y değişmediği için Δy = 0 ve eğim sıfırdır. Denklem y = c olur; x herhangi bir değer alabilir. Düşey doğruda ise x sabittir: x = c. Δx = 0 olduğu için düşey eğimi bu oranla hesaplayamayız; eğim tanımsızdır.

“Düşey doğru çok dik, o halde eğimi sıfır” sonucu tersidir. Sıfır eğim hiç yükselmeyen yatay doğrudur. Bir yatay ve bir düşey doğru diktir; bu ilişkiyi tanımsız bir eğimi çarpmaya çalışmadan doğrudan görürüz.

A ve B aynı anda sıfır olmamak üzere $\displaystyle Ax+By+C=0$ genel doğru denklemidir. B ≠ 0 ise y’yi yalnız bırakarak $\displaystyle y=(-A/B)x-C/B$ elde ederiz; eğim −A/B’dir. B = 0 ise x sabittir ve doğru düşeydir. A = 0 ise y sabittir ve doğru yataydır.

Bir denklemi sıfırdan farklı sabit bir sayıyla çarpmak temsil ettiği doğruyu değiştirmez. Bu yüzden iki doğrunun denklemleri farklı görünse bile katsayılarını sadeleştirince aynı doğruyu gösterebilir.

Düşey olmayan iki farklı doğru paralelse eğimleri eşittir. $\displaystyle y=m_1x+b_1$ ve $\displaystyle y=m_2x+b_2$ için $\displaystyle m_1=m_2$, fakat $\displaystyle b_1\ne b_2$ ise doğrular paraleldir. Eğimler ve sabit terimler birlikte eşitse denklemler aynı doğruyu gösterir; doğrular çakışıktır.

Eğimleri farklı iki doğru tek noktada kesişir. Kesişimi bulmak, iki denklemi de aynı anda sağlayan x ve y değerlerini bulmaktır. Sonucu iki denklemde yerine koymak, bulduğun noktanın gerçekten ikisine de ait olduğunu kontrol eder.

A$\displaystyle (x_1,y_1)$, B$\displaystyle (x_2,y_2)$ ve C$\displaystyle (x_3,y_3)$ için alan $\displaystyle |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|/2$ olarak yazılabilir. Bu ifade, üçgeni eksenlere dik parçalarla tamamlayıp eklenen alanları çıkarınca elde edilen cebirsel toplamdır.

Köşelerin sırasını tersine çevirmek içerideki ifadenin işaretini değiştirir; mutlak değer alanı aynı tutar. Sonuç sıfırsa noktalar aynı doğru üzerindedir ve alanı olan bir üçgen kurmazlar. Kısa bir dik taban–yükseklik yolu görünüyorsa genel formülü kullanmak zorunda değilsin.

A(x₁,y₁)'den B(x₂,y₂)'ye giden değişim $\displaystyle (x_2-x_1,y_2-y_1)$'dir. Yolun t katı kadar ilerleyen nokta $\displaystyle P=A+t(B-A)$ olur. t=0 A'yı, t=1 B'yi, 0<t<1 aradaki noktaları verir. t>1 B'nin, t<0 A'nın ötesidir. Bu tek ifade, içten ve dıştan bölmenin neden farklı işaretler taşıdığını açıklar.

AP:PB=m:n ve P aradaysa t=m/(m+n)'dir. Dolayısıyla $\displaystyle P=((nx_1+mx_2)/(m+n),(ny_1+my_2)/(m+n))$. A'nın katsayısının n olduğuna dikkat et: P, A'ya yaklaştıkça B'ye kalan parça büyür ve A'nın ağırlığı artar. m=n olduğunda orta nokta formülü geri gelir.

BC'nin orta noktası M'yi bul, sonra AG:GM=2:1 oranıyla A'dan M'ye ilerle. Sonuç $\displaystyle G=((x_A+x_B+x_C)/3,(y_A+y_B+y_C)/3)$ olur. Bu formül köşelerin ortalamasıdır; çevrel merkez veya iç merkez için aynı ortalamayı kullanamayız. Orta nokta ile ağırlık merkezi formüllerinin ikisi de aynı bölme fikrinden gelir.

A(−2,1) ve B(4,1)'e eşit uzaklıktaki P(x,y)'yi arayalım. $\displaystyle (x+2)^2+(y-1)^2=(x-4)^2+(y-1)^2$ yazılır. Kareler sadeleşince 12x=12, yani x=1 çıkar. Bu doğru AB'nin orta dikmesidir. Geometrik yer, bir koşulu sağlayan bütün noktalar demektir; bulduğun denklemi tekrar başlangıçtaki koşulla kontrol et.

$\displaystyle y=2x+1$ ve $\displaystyle y=-x+7$ doğrularında ortak nokta için 2x+1=−x+7 yazılır. x=2 ve y=5 olur. (2,5)'i iki denklemde de kontrol et. Genel olarak $\displaystyle a_1x+b_1y+c_1=0$, $\displaystyle a_2x+b_2y+c_2=0$ sisteminde $\displaystyle a_1b_2-a_2b_1\ne0$ ise tek kesişim vardır.

$\displaystyle a_1b_2-a_2b_1=0$ olduğunda doğrular paralel veya çakışıktır. Bir denklemin bütün katsayıları aynı sıfırdan farklı katsayıyla çarpılınca diğeri çıkıyorsa çakışıktırlar; yalnız x ve y katsayıları orantılıysa farklı paralellerdir. Her denklemde a ve b aynı anda sıfır olamaz. Bu yöntem, x=3 gibi eğimi tanımsız doğrularda da çalışır.

x=k doğrusunun eğimi tanımsız olduğundan eğim çarpımı veya tanjant formülüne doğrudan sokma. Düşey doğru yatay doğruya diktir. Eğimi 1 olan doğru yatayla 45° yaptığı için düşeyle de 45° yapar. Eğimi 0 ve 1 olan iki doğruyu formülde kullanırsan tan θ=1 bulunması aynı sonucu verir.

$\displaystyle kx+2y-3=0$ ile $\displaystyle 3x-y+4=0$ doğrularının dik olması istensin. Eğimler −k/2 ve 3'tür; çarpımları −1 olmalı: −3k/2=−1, dolayısıyla k=2/3. Paralellik istenseydi −k/2=3 ile k=−6 bulunurdu. Bu ikinci durumda sabit terimleri de karşılaştırarak çakışmadıklarını doğrula.

d: ax+by+c=0 doğrusunun yönü (b,−a) ile, ona dik yön (a,b) ile gösterilebilir; çarpımlar toplamı ab−ab=0'dır. P(x₀,y₀)'dan dikmenin ayağına giderken x ve y bu dik yönün aynı katı kadar değişir. H=(x₀−aλ,y₀−bλ) yazabiliriz. Bu yöntem düşey ve yatay doğrularda da geçerlidir.

H'yi doğru denklemine koy: $\displaystyle a(x_0-a\lambda)+b(y_0-b\lambda)+c=0$. Buradan $\displaystyle \lambda=(ax_0+by_0+c)/(a^2+b^2)$ çıkar. PH'nin uzunluğu $\displaystyle |\lambda|\sqrt{a^2+b^2}$ olduğundan $\displaystyle d(P,d)=|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}$ elde edilir. Mutlak değer hangi tarafta olursan ol uzaklığın negatif çıkmasını engeller.

$\displaystyle ax+by+c_1=0$ ve $\displaystyle ax+by+c_2=0$ farklı paralel doğruların uzaklığı $\displaystyle |c_1-c_2|/\sqrt{a^2+b^2}$ olur. 3x+4y−10=0 ile 6x+8y+10=0 için ikinci denklemi önce 2'ye böl: 3x+4y+5=0. Uzaklık 15/5=3'tür. Katsayılar aynı hâle gelmeden sabit terimlerin farkını almak yanlış ölçüm verir.

İki köşesi bir doğru üzerinde olan üçgende, üçüncü köşenin o doğruya uzaklığı yüksekliktir. Taban 10 ve alan 15 ise uzaklık 3 olmalı. Üçüncü köşenin olası yerleri, taban doğrusuna iki tarafta 3 birim uzaktaki paralel doğrulardır. Böylece bir alan koşulu, geometrik yer koşuluna dönüşür.