Analitik Geometri Konu Anlatımı – AYT Geometri

Nokta, uzaklık ve orta nokta

Koordinat farkları bir dik üçgen kurar.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.2.1.1Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığı veren bağıntıyı elde ederek problemler çözer.
MEB 11.2.1.2Bir doğru parçasını belli bir oranda (içten veya dıştan) bölen noktanın koordinatlarını hesaplar.
Koordinat düzleminde noktayı konumlandırır ve iki nokta arasındaki uzaklığı bulur. Orta nokta, oranlı bölme ve eksene göre simetriyi açıklar.

Bir noktanın iki adresi

Dik koordinat düzleminde yatay x ekseni ve düşey y ekseni O(0,0)’da kesişir. P(x,y) yazarken önce yatay, sonra düşey konumu okuruz. Eksenlerin pozitif ve negatif yönleri, noktanın hangi tarafta bulunduğunu söyler; eksi işareti uzaklığın negatif olduğu anlamına gelmez.

Birinci bölgede iki koordinat pozitif; ikinci bölgede x negatif, y pozitif; üçüncüde ikisi negatif; dördüncüde x pozitif, y negatiftir. Eksen üzerindeki noktalar bölgelere ait değildir. x ekseninde y = 0, y ekseninde x = 0 olur.

Koordinat farklarından dik üçgen kur

A $\displaystyle (x_1,y_1)$ ve B $\displaystyle (x_2,y_2)$ arasına yatay ve düşey yardımcı çizgiler ekleyelim. Yatay uzunluk $\displaystyle |x_2-x_1|$ , düşey uzunluk $\displaystyle |y_2-y_1|$ ’dir. AB bu dik üçgenin hipotenüsüdür; Pisagor’dan $\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ gelir.

Farklar negatif olabilse de kareleri pozitiftir. Aynı yatay doğruda y farkı sıfır, aynı düşey doğruda x farkı sıfır kalır. Bu özel durumlarda uzaklık, değişen koordinatın mutlak farkıdır.

Orta noktada iki değişimi de yarıla

A’dan B’ye yolun yarısına geldiğinde yatay değişimin yarısını ve düşey değişimin yarısını almış olursun. x koordinatı $\displaystyle x_1+(x_2-x_1)/2=(x_1+x_2)/2$ olur; y için de aynı işlem geçerlidir. Böylece $\displaystyle M((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)$ bulunur.

Koordinatların ortalamasını almak, uzunlukları toplamaktan farklıdır. Eksenin iki yanında bulunan noktaların orta noktası eksenin üzerinde olabilir. Negatif koordinatları mutlak değere çevirmeden işaretleriyle ortalamalıyız.

Parçayı başka bir oranda böl

P, AB üzerinde ve AP:PB = m:n olsun. A’dan P’ye giderken bütün yolun $\displaystyle t=m/(m+n)$ kadarını alırız. Yatay konum $\displaystyle x_1+t(x_2-x_1)$ , düşey konum $\displaystyle y_1+t(y_2-y_1)$ olur. Düzenleyince $\displaystyle P((nx_1+mx_2)/(m+n),(ny_1+my_2)/(m+n))$ çıkar.

Formüldeki katsayıları ezberlemek yerine A’dan ne kadar ilerlediğine bakabilirsin. Üçgenin ağırlık merkezi bir kenarortay üzerinde köşeden 2/3 ileride olduğundan üç köşenin x ve y koordinatlarının ayrı ayrı ortalamasıdır.

Eksene uzaklık ve yansıma

Bir noktanın x eksenine dik giderken yatay konumu değişmez; yalnız düşey konumu sıfırlanır. Bu yüzden uzaklık |y|’dir. y eksenine uzaklık |x| olur. Başlangıca uzaklık ise iki koordinatın karelerinden bulunan bir hipotenüstür.

x eksenine göre yansımada nokta aynı x konumunda karşı tarafa geçer: (x,−y). y eksenine göre yansıma (−x,y), başlangıca göre yansıma (−x,−y) olur. Çizimde hangi eksenin iki nokta arasını dik ortaladığına bakmak, hangi işaretin değişeceğini açıklar.

Çözümlü koordinat örnekleri

Örnek 1: A(1, 2) ve B(7, 10) için $\displaystyle |AB|=\sqrt{6^2+8^2}=10$ ve orta nokta M(4, 6)’dır.

Örnek 2: [AB]’nin orta noktası M(3, −1) ve A(−1, 4) ise B’nin koordinatları $\displaystyle 2\cdot3-(-1)=7$ ve $\displaystyle 2\cdot(-1)-4=-6$ ; B(7, −6) olur.

Örnek 3: A(2, 1), B(8, 10) ve AP : PB = 1 : 2 ise P, A’dan B’ye yolun üçte birindedir: $\displaystyle P(2+\frac{6}{3},\,1+\frac{9}{3})=P(4,4)$ .

Örnek 4 (ağırlık merkezi): Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden başlayarak 2 : 1 oranında böldüğünden koordinatları köşelerin ortalamasıdır: $\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ . A(1, 2), B(5, 0) ve C(3, 7) için G(3, 3) bulunur.

Örnek 5: P(3, −4) noktasının x eksenine uzaklığı 4, y eksenine uzaklığı 3, orijine uzaklığı 5’tir. x eksenine göre simetriği (3, 4), orijine göre simetriği (−3, 4)’tür.

$\displaystyle AB=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ . Orta nokta koordinatların ayrı ayrı ortalamasıdır.

Dikkat: x eksenine uzaklık için x’i değil |y|’yi kullan. Noktalar arası uzaklık negatif olamaz.