Dönüşüm Geometrisi

İki noktanın ötelemeden sonraki x farkı $\displaystyle (x_2+u)-(x_1+u)=x_2-x_1$ olur. y farkı da aynı kalır. Uzaklık bağıntısı değişmediği için kenar uzunlukları, açılar, alan ve paralellik korunur. Bu yüzden öteleme bir eşlik dönüşümüdür; şekli büyütmez ve küçültmez.

Görüntü koordinatları X=x+u, Y=y+v ise eski koordinatlar x=X−u, y=Y−v'dir. y=2x+1 doğrusunu (3,−2) kadar ötelemek için Y+2=2(X−3)+1 yazılır; görüntü Y=2X−7 olur. Noktalara eklenen değişimin, denklemde neden ters işaretle göründüğü bu geri yerine koymadan kaynaklanır.

(u,v) ötelemesinin tersi (−u,−v)'dir. A′(7,−1) noktası, (4,−3) ötelemesiyle oluşmuşsa A=(7−4,−1+3)=(3,2) bulunur. Bir şeklin tek bir köşesini geri taşımak yetmez; bütün noktalar aynı ters dönüşüme uymalıdır.

Örnek 1: A(−1, 2), B(3, 0), C(1, 4) köşeli üçgen, A noktası A′(2, −1)'e gidecek biçimde ötelenirse öteleme (3, −3)'tür; B′(6, −3) ve C′(4, 1) olur.

Örnek 2: $\displaystyle y=x^2$ parabolünü (2, −1) kadar ötelemek için x yerine x − 2, y yerine y + 1 yazılır: $\displaystyle y+1=(x-2)^2$, yani $\displaystyle y=(x-2)^2-1$. Tepe noktası (0, 0)'dan (2, −1)'e taşınır.

Örnek 3: $\displaystyle (x-1)^2+(y+3)^2=4$ çemberi (−4, 5) kadar ötelenirse merkez (−3, 2)'ye gider, yarıçap değişmez: $\displaystyle (x+3)^2+(y-2)^2=4$.

Gerçek hayat: Asansör kabini, yürüyen merdiven basamakları ve taşıma bandındaki kutular ötelenir: her noktası aynı yönde aynı miktarda yer değiştirir. Duvar kâğıdı ve kumaş desenlerinde bir motifin eşit aralıklarla tekrarlanması da ötelemedir. Bilgi ve iletişim teknolojileriyle öteleme miktarını değiştirip şeklin biçiminin korunduğunu gözlemleyebilirsin.