Dönüşüm Geometrisi

İki noktanın ötelemeden sonraki x farkı $\displaystyle (x_2+u)-(x_1+u)=x_2-x_1$ olur. y farkı da aynı kalır. Uzaklık bağıntısı değişmediği için kenar uzunlukları, açılar, alan ve paralellik korunur. Bu yüzden öteleme bir eşlik dönüşümüdür; şekli büyütmez ve küçültmez.

Görüntü koordinatları X=x+u, Y=y+v ise eski koordinatlar x=X−u, y=Y−v'dir. y=2x+1 doğrusunu (3,−2) kadar ötelemek için Y+2=2(X−3)+1 yazılır; görüntü Y=2X−7 olur. Noktalara eklenen değişimin, denklemde neden ters işaretle göründüğü bu geri yerine koymadan kaynaklanır.

(u,v) ötelemesinin tersi (−u,−v)'dir. A′(7,−1) noktası, (4,−3) ötelemesiyle oluşmuşsa A=(7−4,−1+3)=(3,2) bulunur. Bir şeklin tek bir köşesini geri taşımak yetmez; bütün noktalar aynı ters dönüşüme uymalıdır.

P(x,y)'nin görüntüsü P′(y,x)'tir. PP′'nin orta noktasının iki koordinatı da (x+y)/2 olur; orta nokta y=x üzerindedir. x≠y ise PP′'nin eğimi −1, y=x'in eğimi 1 olduğundan diklik sağlanır. P(2,5) böylece (5,2)'ye gider. y=−x doğrusu için aynı düşünce (x,y)→(−y,−x) verir.

x=k doğrusuna göre yansımada x ile x′'in ortalaması k'dır: x′=2k−x, y′=y. y=k için x′=x, y′=2k−y olur. P(5,−1)'i x=2'ye göre yansıtırsan P′(−1,−1) bulunur; iki nokta x=2'den üçer birim uzaktadır.

Merkez C(a,b), PP′ parçasının orta noktasıysa P′=(2a−x,2b−y) olur. Orijine göre simetri özel olarak (−x,−y)'dir ve 180° dönmeyle aynıdır. C(1,2)'ye göre P(4,−1)'in görüntüsü (−2,5)'tir. Ortalamaları gerçekten (1,2) verir.

Bir doğrunun C merkezine göre görüntüsünü bulmak için iki noktasını dönüştürüp bu iki noktadan geçen doğruyu yazabilirsin. y=2x+1 üzerinde (0,1) ve (1,3), orijine göre (0,−1) ve (−1,−3)'e gider. Görüntü y=2x−1 olur. Eğim korunmuştur; merkez doğru üzerindeyse görüntü aynı doğru olur.

P'nin d doğrusuna göre görüntüsü P′ olsun. P≠P′ iken PP′ doğrusu d'ye dik olmalı ve PP′'nin orta noktası H, d üzerinde bulunmalıdır. Önce P'den d'ye dikmenin ayağı H'yi bulmak, sonra P′=2H−P yazmak bu iki koşulu birlikte sağlar. P zaten d üzerindeyse görüntü kendisidir.

d: ax+by+c=0 ve P(x₀,y₀) için $\displaystyle \lambda=(ax_0+by_0+c)/(a^2+b^2)$ yaz. H=(x₀−aλ,y₀−bλ) olduğundan $\displaystyle P'=(x_0-2a\lambda,y_0-2b\lambda)$ çıkar. Ezberlemek yerine H'nin orta nokta olduğunu düşünmek işaret ve 2 katsayısı hatalarını azaltır.

Bir kâğıdı d doğrusu boyunca katladığında P'nin geldiği yer P′ olur. d üzerindeki her K noktası kat yerinde sabit kalır ve KP=KP′ olur. Bu nedenle katlama sorusunda eksen, eski noktayla görüntüsünün orta dikmesidir. Yalnız çizimde üst üste gelmiş görünmeleri yeterli değildir; orta nokta ve diklik bilgilerini kurmalısın.

P'nin polar açısı α ve orijine uzaklığı r ise P=(r cos α,r sin α)'dır. θ kadar dönünce açı α+θ olur. Toplam formüllerinden $\displaystyle x'=x\cos\theta-y\sin\theta$, $\displaystyle y'=x\sin\theta+y\cos\theta$ elde edilir. θ=90° koymak çeyrek dönüş kuralını geri verir; negatif θ saat yönünde dönmedir.

C(a,b) çevresinde dönmek için önce C'yi çıkar, orijinde döndür, sonra C'yi ekle. P(4,2), C(1,1) çevresinde pozitif 90° dönsün: P−C=(3,1), dönmüş vektör (−1,3), sonuç P′=(0,4). Doğrudan (−y,x) uygulamak C yerine orijin çevresinde dönmek olurdu.

Aynı merkezli dönmelerde açılar toplanır; 90° ardından 180°, aynı merkezde 270° eder. İki ötelemenin değişimleri de toplanır. Kesişen iki eksene göre ardışık yansıma, kesişim çevresinde eksenler arasındaki yönlü açının iki katı kadar dönmeye denktir. Paralel iki eksene göre yansıma ise eksen aralığının iki katı kadar öteleme üretir; yönü işlem sırası belirler.

Bir kareyi merkezinde 90° döndürmek onu kendisiyle çakıştırır; köşeler yer değiştirir ama şeklin bütünü sabit kalır. Eşkenar üçgende en küçük pozitif böyle açı 120°'dir. Dönme ve yansıma ile kurulan bir motifte uzunluk ve alan korunduğu için her parçayı yeniden hesaplamak gerekmez. Bir bileşkenin tersini alırken ise sırayı ters çevir: önce son işlemi geri al.