Dörtgenler

ABCD dörtgeninde köşeleri çevre boyunca sırayla adlandırırız. AB, BC, CD ve DA kenar; AC ile BD köşegendir. Dışbükey dörtgende AC’yi çizdiğimizde ABC ve ACD üçgenleri oluşur. Dörtgenin A ve C açıları bu iki üçgen tarafından paylaşılır. İki üçgenin açı toplamı $\displaystyle 2\cdot180^\circ=360^\circ$ olduğundan dörtgenin iç açıları toplamı 360°’dir.

Bu sonuç, karşı açıların eşit olduğu anlamına gelmez. Genel bir dörtgende eşitlik ve paralellik gibi ek özellikleri ancak verilen bilgilerden çıkarabiliriz.

Köşegenler O’da kesişsin. AOB ile BOC üçgenlerinin tabanlarını AO ve OC olarak seçtiğimizde ikisinin de B’den AC doğrusuna yüksekliği aynıdır. Alanları $\displaystyle AO\cdot h/2$ ve $\displaystyle OC\cdot h/2$ olduğundan $\displaystyle S_{AOB}/S_{BOC}=AO/OC$ olur.

Aynı şekilde AOD ve COD’nin D’den AC’ye yükseklikleri ortaktır. Dolayısıyla bu ikinci çiftin alan oranı da AO/OC olur. Bu oranları kurmak için dörtgenin paralelkenar olmasına gerek yoktur; ortak taban doğrusu ve ortak tepe yeterlidir.

AC ile BD dikse O etrafında dört dik üçgen oluşur. Alanları sırayla $\displaystyle AO\cdot BO/2$, $\displaystyle BO\cdot OC/2$, $\displaystyle OC\cdot OD/2$ ve $\displaystyle OD\cdot AO/2$’dir. Toplamda ortak çarpanları gruplayınca $\displaystyle S=(AO+OC)(BO+OD)/2=AC\cdot BD/2$ elde edilir.

Köşegenlerin birbirini ortalaması bu alan formülü için şart değildir; dik kesişmeleri şarttır. Dik değillerse aralarındaki θ açısının sinüsü de gerekir: $\displaystyle S=AC\cdot BD\sin\theta/2$.

AB ∥ DC ve AD ∥ BC olan ABCD dörtgeninde AC köşegenini çizelim. AB ile DC paralel olduğu için BAC ve DCA açıları; AD ile BC paralel olduğu için DAC ve BCA açıları iç ters açılardır. AC ortak kenardır. Böylece köşegenin iki yanındaki üçgenler AKA ile eş olur.

Eşlikten AB = DC ve AD = BC çıkar. Köşelerdeki eş açı parçalarını birleştirince karşı açıların da eşit olduğunu görürüz. Bir yan kenarın uçlarındaki iki komşu iç açı ise paralellik nedeniyle 180°’yi tamamlar.

Tabanı a olan paralelkenarın üst kenarından taban doğrusuna dik inelim; uzunluğu h olsun. Bir uçta oluşan dik üçgeni kesip diğer uca taşıdığımızda tabanı a, yüksekliği h olan dikdörtgen oluşur. Yer değiştirme alanı değiştirmediği için $\displaystyle S=ah$ olur.

Tabanlar arasındaki dik uzaklık her yerde aynıdır. Şeklin tepesini tabana paralel kaydırmak eğik kenarı ve açıları değiştirse bile a ile h korunuyorsa alanı korur. Diğer kenarı taban seçebilirsin; fakat o kenara ait yüksekliği de değiştirmelisin.

AC ile BD, O’da kesişsin. AOB ve COD’de ters açılar eşit, AB ∥ CD’den bir diğer açı çifti eşittir; ayrıca AB = CD’dir. Bu yüzden bu üçgenler eştir. Eşlik bize AO = OC ve BO = OD verir.

Bu ilişki tersinden de işe yarar: bir dörtgende köşegenlerin birbirini ortaladığı verilirse karşılıklı küçük üçgenlerin eşliği üzerinden karşı kenarların paralelliğine ulaşılır. Yani köşegenlerin birbirini ortalaması, paralelkenarı tanımak için yeterli bir koşuldur.

Dört kenarı eşit dörtgen, karşı kenar çiftleri eşit olduğu için bir paralelkenardır. Dolayısıyla karşı açıları eşit, köşegenleri birbirini ortalar. AC’nin iki tarafındaki ABC ve ADC üçgenlerinde üç kenar karşılıklı eşittir. KKK eşliği A ve C’deki açıların AC tarafından ikiye bölündüğünü gösterir. Aynı gerekçe BD için de geçerlidir.

Demek ki eşkenar dörtgende iki köşegen de geçtikleri köşelerin açıortayıdır. Kenar eşitliği olmadan bu sonucu genel paralelkenara uygulayamayız.

Köşegenler O’da kesişsin. ABD ikizkenar üçgeninde AB = AD ve BO = OD’dir. A’dan taban ortasına giden AO, bu ikizkenar üçgende aynı zamanda yüksekliktir. Böylece AC ⟂ BD olur.

Tam köşegenlere e ve f dersek her küçük dik üçgenin dik kenarları e/2 ile f/2, hipotenüsü dörtgenin a kenarıdır. Pisagor’dan $\displaystyle a^2=(e/2)^2+(f/2)^2$ elde edilir. Tam köşegenleri bu dik üçgenin kenarı gibi kullanmak uzunlukları iki katına çıkarır.

Dışbükey ABCD’de AB = AD ve CB = CD olsun. Burada birinci eşit kenar çifti A’da, ikinci çift C’de buluşur; bu dörtgen deltoiddir. Eşitlikleri a, a ve b, b olarak düşünmek çevrenin 2(a+b) olduğunu gösterir.

AC çizilince ABC ve ADC üçgenleri KKK ile eş olur. Böylece B ve D açıları eşit, A ve C açıları AC tarafından eşit bölünür. Bütün dört açının veya dört kenarın eşit olduğu sonucu çıkmaz.

A noktası B ile D’ye eşit uzaklıktadır; dolayısıyla BD’nin orta dikmesi üzerindedir. C de aynı koşulu sağlar. İki farklı noktadan tek doğru geçtiğine göre AC, BD’nin orta dikmesidir. Kesişim O ise BO = OD ve AC ⟂ BD olur.

Dikkat et: bu kanıt AO = OC demez. Simetri B ile D’yi yer değiştirirken A ve C’yi kendi yerlerinde bırakır. Bu nedenle bir köşegenin diğerini ortalaması ile iki köşegenin birbirini ortalaması farklı özelliklerdir.

Bir köşegen dikdörtgeni iki eş dik üçgene ayırır. Her birinin dik kenarları a ve b, hipotenüsü d’dir. $\displaystyle d^2=a^2+b^2$ olduğundan $\displaystyle d=\sqrt{a^2+b^2}$ çıkar. Diğer köşegen de aynı a ve b’yi dik kenar alan bir üçgenin hipotenüsüdür; bu yüzden iki köşegenin uzunlukları eşittir.

Paralelkenar özelliğinden köşegenler birbirini ortalar. Kesişim O ise OA = OC, OB = OD ve bütün köşegenler eşit olduğundan OA = OB = OC = OD olur.

O’nun dört köşeye uzaklığı aynı olduğuna göre O merkezli, yarıçapı $\displaystyle R=d/2$ olan çember dört köşeden geçer. Dikdörtgenin her köşegeni bu çemberin çapıdır. Çapı gören çevre açı 90° olduğundan çember ilişkisi dikdörtgenin dik açılarıyla da tutarlıdır.

Burada çember köşelerden geçer; kenarların tümüne teğet değildir. Merkezden uzun kenara dik uzaklık kısa kenarın yarısı, kısa kenara dik uzaklık uzun kenarın yarısıdır. Bunlar ancak karede eşit olur.

İki dikdörtgenin komşu kenar toplamları aynıysa çevreleri aynıdır. Fakat kenarlardan birini uzatıp diğerini aynı miktarda kısalttığında çarpım değişir. Toplamı sabit iki pozitif sayının çarpımı, sayılar eşitken en büyüktür. Geometrik karşılığı, aynı çevreye sahip dikdörtgenler arasında karenin en büyük alanlı olmasıdır.

Bu karşılaştırmada şekillerin çizimleri aynı ölçekte gösterildiğinde uzayıp daralan dikdörtgenin çevresi korunurken iç bölgenin küçüldüğü görülebilir.

Bir köşegen çizdiğimizde dik kenarları a ve a olan iki eş dik üçgen oluşur. İki dar açı eşit olup 90°’yi paylaştığı için 45°’dir. Pisagor’dan $\displaystyle d^2=2a^2$, yani $\displaystyle d=a\sqrt2$ olur.

Alan $\displaystyle a^2$ olduğuna göre köşegen üzerinden $\displaystyle S=d^2/2$ de yazılır. Aynı sonuç, iki dik köşegenin çarpımının yarısı olan $\displaystyle d\cdot d/2$’den gelir. Böylece köşegen uzunluğu verildiğinde alan için önce kenarı bulmak zorunlu değildir.

Köşegenlerin kesişimi O olsun. O’dan kenara dik uzaklık $\displaystyle a/2$’dir; O merkezli bu yarıçaplı çember dört kenara teğet olur. İç çemberin yarıçapı $\displaystyle r=a/2$’dir. O’dan köşeye uzaklık ise $\displaystyle d/2=a\sqrt2/2$’dir; bu daha büyük çember dört köşeden geçer.

Dolayısıyla iç çemberin çapı kenara, çevrel çemberin çapı köşegene eşittir. İki çemberin merkezi aynı olsa da yarıçapları farklıdır. Çizimdeki çizginin kenara mı, köşeye mi ulaştığına bakarak doğru yarıçapı seçebilirsin.

Bir köşegen çizerek yamuğu iki üçgene ayırdığını düşün. Bir üçgenin tabanı a, diğerinin tabanı b’dir. Her ikisinin de karşı köşesi öteki paralel taban üzerinde bulunduğundan yükseklikleri aynı h olur. Alanları toplarsak $\displaystyle S=ah/2+bh/2$; yani $\displaystyle S=(a+b)h/2$ elde edilir.

Aynı sonucu, yamuğun eş kopyasını ters çevirip yanına yerleştirerek de görebiliriz. İki yamuk, tabanı a+b ve yüksekliği h olan bir paralelkenar kurar. Alanı ikiye bölmek bir yamuğun alanını verir.

Yan kenarların orta noktalarını E ve F alalım. E’den tabanlara paralel çizilen doğru, köşegeni orta noktasında keser; çünkü oluşan ilk üçgende orta taban teoremi geçerlidir. Köşegenin bu orta noktasından devam edince ikinci üçgende de orta taban oluşur ve F’ye ulaşılır.

EF’nin bir parçası a/2, diğer parçası b/2 uzunluğundadır. Bu yüzden $\displaystyle EF=(a+b)/2$ ve EF tabanlara paraleldir. Alanı da $\displaystyle EF\cdot h$ olarak okuyabiliriz. Orta taban, tabanların aritmetik ortalamasıdır; taban farkının yarısı değildir.

AB ∥ DC; AB = a, DC = b olsun. Köşegenler O’da kesiştiğinde AOB ile COD üçgenleri, O’daki ters açılar ve paralellikten gelen açılar sayesinde benzerdir. Tabanların oranı bütün karşılıklı uzunluklara taşınır: $\displaystyle AO/OC=BO/OD=a/b$.

Bu üçgenlerin alan oranı ise uzunluk oranının karesidir: $\displaystyle S_{AOB}/S_{COD}=a^2/b^2$. Köşegenlerin birbirini ortaladığını varsayamayız; bu ancak a = b özel durumunda çıkar. Köşe sırasını takip ederek küçük ve büyük üçgenin karşılık gelen kenarlarını eşleştirmeliyiz.

İkizkenar yamukta eşit yan kenarlar ve tabanların simetrisi, aynı tabandaki açıların eşit olmasını sağlar; köşegenler de eşittir. Uzun taban a, kısa taban b ise kısa tabanın uçlarından dikmeler indirdiğimizde iki eş dik üçgen oluşur. Yatay küçük parçalar $\displaystyle (a-b)/2$ olur. Yan kenar c ise $\displaystyle h^2+((a-b)/2)^2=c^2$ yazılır.

Dik yamukta bir yan kenar iki tabana diktir ve doğrudan yüksekliği verir. Diğer yan kenarın altındaki yatay fark a−b’dir. İkizkenar yamuğa ait “farkı ikiye bölme” işlemini dik yamuğa taşıyamayız.

Dışbükey ABCD'de köşegenler O'da kesişsin. AC=e, BD=f ve aralarındaki açılardan biri θ olsun. Dört küçük üçgenin alanını iki kenar ve aradaki sinüsle yaz. Komşu açılar bütünler olduğundan sinüsleri eşittir. Ortak çarpanı dışarı alınca $\displaystyle S=ef\sin\theta/2$ bulunur.