Dörtgenler Konu Anlatımı – AYT Geometri

Dörtgenleri tanımak

Bir köşegen, iki üçgen.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.5.2.1Dörtgenin temel elemanlarını ve özelliklerini açıklayarak problemler çözer.
Dörtgenin açı toplamını ve köşegenlerle alan ilişkisini açıklar. Özel dörtgenleri tanımlayan koşulları ayırt eder.

Bir köşegen, iki üçgen

ABCD dörtgeninde köşeleri çevre boyunca sırayla adlandırırız. AB, BC, CD ve DA kenar; AC ile BD köşegendir. Dışbükey dörtgende AC’yi çizdiğimizde ABC ve ACD üçgenleri oluşur. Dörtgenin A ve C açıları bu iki üçgen tarafından paylaşılır. İki üçgenin açı toplamı $\displaystyle 2\cdot180^\circ=360^\circ$ olduğundan dörtgenin iç açıları toplamı 360°’dir.

Bu sonuç, karşı açıların eşit olduğu anlamına gelmez. Genel bir dörtgende eşitlik ve paralellik gibi ek özellikleri ancak verilen bilgilerden çıkarabiliriz.

Alanları karşılaştırmak için ortak yüksekliği bul

Köşegenler O’da kesişsin. AOB ile BOC üçgenlerinin tabanlarını AO ve OC olarak seçtiğimizde ikisinin de B’den AC doğrusuna yüksekliği aynıdır. Alanları $\displaystyle AO\cdot h/2$ ve $\displaystyle OC\cdot h/2$ olduğundan $\displaystyle S_{AOB}/S_{BOC}=AO/OC$ olur.

Aynı şekilde AOD ve COD’nin D’den AC’ye yükseklikleri ortaktır. Dolayısıyla bu ikinci çiftin alan oranı da AO/OC olur. Bu oranları kurmak için dörtgenin paralelkenar olmasına gerek yoktur; ortak taban doğrusu ve ortak tepe yeterlidir.

Dik köşegenler alanı nasıl verir?

AC ile BD dikse O etrafında dört dik üçgen oluşur. Alanları sırayla $\displaystyle AO\cdot BO/2$ , $\displaystyle BO\cdot OC/2$ , $\displaystyle OC\cdot OD/2$ ve $\displaystyle OD\cdot AO/2$ ’dir. Toplamda ortak çarpanları gruplayınca $\displaystyle S=(AO+OC)(BO+OD)/2=AC\cdot BD/2$ elde edilir.

Köşegenlerin birbirini ortalaması bu alan formülü için şart değildir; dik kesişmeleri şarttır. Dik değillerse aralarındaki θ açısının sinüsü de gerekir: $\displaystyle S=AC\cdot BD\sin\theta/2$ .

Özel dörtgenleri birbirine bağla

Karşılıklı kenarları paralel bir dörtgen paralelkenardır. Buna dört dik açı koşulu eklenirse dikdörtgen; bütün kenarların eşitliği eklenirse eşkenar dörtgen olur. Kare iki koşulu birden taşır; hem dikdörtgenin hem eşkenar dörtgenin özelliklerini kullanabiliriz.

Deltoidde eşitlikler iki ayrı komşu kenar çiftindedir. Yamukta paralel tabanlar esas alınır. Yamuğu en az bir çift karşı kenarı paralel dörtgen olarak ele alacağız; yalnız bir çiftin paralel olmasını isteyen tanım kullanıldığında sorunun kabulüne dikkat edilir. Özel şekle ait sonucu genel dörtgene taşımadan önce onu sağlayan koşulu ara.

Çözümlü dörtgen örnekleri

Örnek 1: ABCD dörtgeninde $\displaystyle A=x+10^\circ$ , $\displaystyle B=2x$ , $\displaystyle C=2x+10^\circ$ ve $\displaystyle D=3x+20^\circ$ ise $\displaystyle 8x+40^\circ=360^\circ$ , x = 40° bulunur. Açılar 50°, 80°, 90° ve 140°’dir.

Örnek 2: Bir dörtgenin üç dış açısı 70°, 85° ve 100° ise dış açılar toplamı 360° olduğundan dördüncü dış açı 105°, bu köşedeki iç açı 75°’dir.

Örnek 3: Köşegenleri dik kesişen ve uzunlukları 10 ile 14 olan dörtgenin alanı $\displaystyle \frac{10\cdot14}{2}=70$ ’tir.

Örnek 4: Köşegenler O’da kesişsin; A(AOB) = 6, A(BOC) = 9 ve A(COD) = 12 olsun. $\displaystyle \frac{A(AOB)}{A(BOC)}=\frac{AO}{OC}=\frac{A(AOD)}{A(COD)}$ olduğundan $\displaystyle A(AOD)=\frac{6\cdot12}{9}=8$ ve dörtgenin alanı 35’tir.

Örnek 5 (çevre): Kenarları ardışık çift sayılar olan dörtgenin çevresi 60 ise 2k, 2k + 2, 2k + 4, 2k + 6 için $\displaystyle 8k+12=60$ , k = 6; kenarlar 12, 14, 16 ve 18’dir. Bir dörtgende en uzun kenar, diğer üç kenarın toplamından küçük olmalıdır.

Dörtgende iç açılar toplamı 360°’dir. Alan hesabında köşegenlerle oluşan üçgenlerin ortak yüksekliklerini kullan.

Dikkat: Şeklin görünüşünden paralellik, diklik veya eşitlik çıkarma; verilen koşulları ve işaretleri kontrol et.