Çokgenler

En az üç doğru parçası uç uca birleşip kendini kesmeyen kapalı bir sınır oluşturduğunda çokgen elde ederiz. Köşeleri çevre boyunca A, B, C… diye sıralarız. AB ve BC komşu kenarlardır; AC ise komşu olmayan köşeleri birleştirdiği için köşegendir. Köşegen, çokgene sonradan eklediğimiz yardımcı çizgidir; kenar sayısını artırmaz.

Bütün iç açıları 180°’den küçük çokgen dışbükeydir. Bir köşesi içeri doğru girinti yapıyorsa oradaki iç açı 180°’den büyük olur ve çokgen içbükeydir. Aşağıdaki üçgenlere ayırma çizimini dışbükey çokgen üzerinde kuracağız.

Dışbükey n kenarlı çokgende A köşesini seçelim. A’yı kendisine veya iki komşusuna birleştirmek yeni bir köşegen vermez. Geriye kalan n−3 köşeye köşegen çizebiliriz. Bu çizgiler çokgenin içini, aralarında boşluk veya örtüşme bırakmadan n−2 üçgene ayırır.

Üçgenlerin A’daki açıları A iç açısını paylaşır; diğer köşelerde de çokgenin açıları bölüşülür. Bu nedenle bütün üçgenlerin açılarını toplamak çokgenin iç açılarını toplamakla aynıdır: $\displaystyle (n-2)\cdot180^\circ$.

Çokgenin sınırında yürüdüğünü düşün. Bir kenarın yönünde ilerledikten sonra sonraki kenara dönmek için yaptığın dönüş, o köşenin dış açısıdır. Bir turu aynı yönde tamamladığında başlangıçtaki yönüne dönersin; toplam dönüşün 360° olur.

Dışbükey çokgende her köşede bu şekilde seçilmiş bir dış açı, iç açıyla bütünlerdir. Cebirle de aynı sonucu buluruz: $\displaystyle n\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ=360^\circ$. Düzgünlük gerekmez; dış açıların eşitliği değil, toplam dönüş önemlidir.

Merkez O’dan bütün köşelere çizilen parçalar aynı R yarıçapıdır. Ardışık iki köşe ile O, iki kenarı R olan bir ikizkenar üçgen kurar. Dönme simetrisi nedeniyle bu n üçgen eştir ve merkez açıları 360°’yi eşit paylaşır: $\displaystyle \alpha=360^\circ/n$.

Bir merkez üçgeninin iki taban açısı toplamı $\displaystyle 180^\circ-\alpha$ olur. Çokgenin bir köşesinde, yan yana iki merkez üçgeninden birer taban açısı birleşir. Dolayısıyla çokgenin iç açısı $\displaystyle 180^\circ-\alpha$; dış açısı ise α’dır. Merkez açıyla dış açı eşit olsa da farklı köşelerde oluşurlar.

Altıgende merkez açı 60°’dir. Merkez üçgeni ikizkenar olduğundan diğer iki açı da $\displaystyle (180^\circ-60^\circ)/2=60^\circ$ olur. Böylece merkez üçgeni eşkenardır: altıgenin kenarı a, çevrel çemberin yarıçapı da a olur.

Karşılıklı köşeleri birleştiren uzun köşegen merkezden geçer ve 2a’dır. Bir köşe atlayarak çizilen kısa köşegenin uzunluğu $\displaystyle a\sqrt3$ olur; merkezden bir kenara dik inerek oluşan 30–60–90 üçgeni bu uzunluğu görmemizi sağlar. Bu kenar–yarıçap eşitliğini her düzgün çokgene genelleyemeyiz.

Merkezden bir kenara indirilen dikmenin uzunluğu apotemdir; r ile gösterelim. İkizkenar merkez üçgeninde bu dikme tabanı ortalar. Böylece bir dik üçgenin kenarları r, a/2 ve R olur: $\displaystyle R^2=r^2+(a/2)^2$. R köşeye, r kenara gider.

Bir merkez üçgeninin alanı $\displaystyle ar/2$’dir. n eş üçgenin alanını toplarsak $\displaystyle S=nar/2$ çıkar. $\displaystyle na$ bütün çevre olduğuna göre alan = çevre × apotem / 2. Buradaki dikliği sağlayan apotemdir; yerine çevrel yarıçap yazamayız.