Katı Cisimler

Kapsam ve kaynak

Kapsam 2026 MEB YKS belgesine göre hazırlanmıştır. MEB, kazanımları TYT ve AYT olarak ayırmaz; buradaki ders ayrımı çalışma düzenidir. Ortak temel bölümler TYT anlatımıyla aynı kaynaktan gelir. Trigonometrinin fonksiyon, grafik ve denklem konuları AYT Matematik kapsamındadır; burada geometri için gerekli oranlar ve teoremler işlenir.

2026 MEB YKS konu ve kazanımları

Prizma ve küp

Eş tabanları yükseklik boyunca üst üste koy.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.6.1.1Dik prizmalar ve dik piramitlerin uzunluk, alan ve hacim bağıntılarını oluşturur.
Dik prizmada hacim ve yüzey alanını taban ve yükseklikten elde eder. Dikdörtgenler prizması ve küpte köşegenleri hesaplar.

Taban ve yükseklik nasıl seçilir?

Prizmanın tabanları paralel düzlemlerde duran eş çokgenlerdir. Karşılıklı köşeleri birleştiren yan ayrıtlar birbirine paralel ve eşittir. Bu ayrıtlar tabanlara dikse dik prizma elde edilir; yan yüzler dikdörtgendir.

Yükseklik, taban düzlemleri arasındaki dik uzaklıktır. Dik prizmada yan ayrıta eşitken eğik prizmada eşit değildir. Taban n kenarlıysa üstte ve altta n’er köşe bulunduğundan 2n köşe; iki taban çevresinde 2n ve aralarında n ayrıt bulunduğundan 3n ayrıt vardır. Yüz sayısı n yan yüz ile iki tabanın toplamı n+2’dir.

Hacmi eş katmanlarla düşün

Taban alanı $\displaystyle S_t$ ve yükseklik h olsun. Prizmayı tabana paralel ince katmanlara ayırdığımızda her kesitin alanı aynıdır. Bir birim yükseklikte $\displaystyle S_t$ kadar hacim, h birim yükseklikte $\displaystyle V=S_t h$ hacim bulunur.

Dikdörtgenler prizmasında taban kenarları a ve b ise $\displaystyle S_t=ab$ ve hacim abh olur. Üçgen tabanlı prizmada ise önce üçgen alanı hesaplanır; a ile b’yi herhangi iki kenar olarak çarpmak taban alanını vermez. Hacim birimi üç uzunluğun çarpımı olduğu için birimküptür.

Yüzey alanını açınım üzerinden topla

Dik prizmanın yan yüzlerini bir ayrıt boyunca kesip düzleme açalım. Her dikdörtgenin yüksekliği h, genişliği bir taban kenarıdır. Genişliklerin toplamı taban çevresi $\displaystyle P_t$ olduğundan yan alan $\displaystyle P_t h$ olur. Kapalı prizmanın iki tabanını eklersek toplam alan $\displaystyle 2S_t+P_t h$ bulunur.

Dikdörtgenler prizmasında bu, $\displaystyle 2(ab+ah+bh)$ ’dir. Üstü açık kapta bir ab yüzü yoktur; toplamdan onu çıkarmalıyız. Açınım, bir yüzü unutmayı veya aynı yüzü iki kez saymayı önler.

Yüz köşegeninden cisim köşegenine geç

Taban köşegeni, a ve b dik kenarlarının hipotenüsüdür: $\displaystyle d_t^2=a^2+b^2$ . Şimdi bu taban köşegenini ve h yüksekliğini içeren dik kesiti düşün. Cisim köşegeni d, bu yeni dik üçgenin hipotenüsüdür. Dolayısıyla $\displaystyle d^2=d_t^2+h^2=a^2+b^2+h^2$ .

İlk Pisagor bir yüz üzerinde, ikincisi cismin içindeki dik kesitte uygulanır. Yüz köşegeni ile cisim köşegeni aynı parça değildir; cisim köşegeni karşılıklı iki uzay köşesini birleştirir.

Küp bütün ayrıtları eşitler

Küpte a = b = h olur. Prizma formüllerine yerleştirince $\displaystyle V=a^3$ , $\displaystyle S=6a^2$ , yüz köşegeni $\displaystyle a\sqrt2$ , cisim köşegeni $\displaystyle a\sqrt3$ çıkar. Küpün altı yüzü kare olduğu için toplam yüzey alanında a² altı kez sayılır.

Kenarları büyütürken yüz köşegeni ve cisim köşegeni de a ile aynı oranda büyür; alan a², hacim a³ ile değişir. Bu, aynı sayıların farklı sorularda neden farklı üslerle kullanıldığını açıklar.

Yüzeyde en kısa yol başka bir problemdir

Bir ipin veya yürüyen bir noktanın cismin yüzeyinden ayrılmasına izin verilmiyorsa cisim köşegenini kullanamayız; köşegen içeriden geçer. Geçilecek komşu yüzleri açınımda aynı düzleme yatırıp başlangıçla bitişi doğru parçasıyla birleştiririz. Bu doğru, seçilen yüzler üzerinden en kısa yolu verir.

Birden fazla yüz zinciri mümkünse geçerli açınımları karşılaştırmak gerekir. Yolun uzaydaki iki nokta arasındaki mesafe mi, yoksa yüzey üzerinde kalması gereken bir mesafe mi olduğunu baştan ayırt etmeliyiz.

Dik prizma: $\displaystyle V=S_t h$ , toplam alan $\displaystyle 2S_t+P_t h$ . Küp: $\displaystyle V=a^3$ , alan $\displaystyle 6a^2$ .

Dikkat: Cismin içinden geçen köşegen ile yüzey üzerinde izlenen en kısa yol farklıdır. Üstü açık kapta eksik yüzü toplam alana katma.

Piramit

Aynı taban ve yükseklikte prizmanın üçte biri.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.6.1.1Dik prizmalar ve dik piramitlerin uzunluk, alan ve hacim bağıntılarını oluşturur.
Piramitte dik yükseklik ile yan yüz yüksekliğini ayırt eder. Piramit ve kesik piramitte hacim ilişkilerini kurar.

Tek tepede birleşen üçgen yüzler

Bir çokgenin bütün köşelerini taban düzlemi dışındaki bir tepeye bağladığımızda piramit oluşur. Taban dışında kalan bütün yüzler üçgendir. Taban n kenarlıysa n yan yüz, n+1 köşe ve 2n ayrıt bulunur.

Tepeden taban düzlemine indirilen dikme, piramidin yüksekliğidir. Düzgün piramitte taban düzgün çokgendir ve dikmenin ayağı tabanın merkezidir; yan yüzler eş ikizkenar üçgen olur. Genel bir piramitte bu simetri ve eşitlikler kendiliğinden bulunmaz.

Üç ayrı uzunluğu karıştırma

Düzgün kare piramitte taban kenarı a, dik yükseklik h olsun. Tepeden bir taban kenarının ortasına giden parça, yan yüz yüksekliği ℓ’dir. Taban merkeziyle bu orta nokta arası a/2 olduğundan $\displaystyle \ell^2=h^2+(a/2)^2$ olur.

Tepeden bir taban köşesine giden yan ayrıt ise farklıdır. Merkezden köşeye uzaklık a√2/2 olduğu için yan ayrıtın karesi $\displaystyle h^2+a^2/2$ ’dir. h içeride tabana dik iner, ℓ üçgen yan yüzün içinde taban kenarına dik iner, yan ayrıt bir köşeye gider.

Yan alanı üçgen üçgen hesapla

Kare tabanlı düzgün piramitte bir yan yüzün alanı $\displaystyle a\ell/2$ ’dir. Dört eş yüz toplandığında yan alan $\displaystyle 2a\ell$ olur. Taban alanı a² de eklenince kapalı toplam alan $\displaystyle a^2+2a\ell$ bulunur.

Düzgün piramitte bütün yan yüz yükseklikleri aynı olduğundan genel yan alan $\displaystyle P_t\ell/2$ ’dir. Düzgün olmayan piramitte her yüzün yüksekliği farklı olabilir; böyle bir durumda tek bir ℓ ile taban çevresini çarpmak doğru değildir.

Hacim neden prizmanın üçte biridir?

Bir üçgen prizma, eş hacimli üç üçgen piramide ayrılabilir. Eş taban alanı ve yüksekliğe sahip piramitlerin eş hacimli olması, tabana paralel kesitlerinin eş alanlarından anlaşılır. Genel bir çokgen tabanı üçgenlere ayırarak aynı sonucu bütün piramitlere taşırız: $\displaystyle V=S_t h/3$ .

Formüldeki yükseklik, kesitlerin tabana dik doğrultudaki toplam kalınlığıdır; bu yüzden yan yüz yüksekliği ℓ yerine dik h kullanılır. Taban değişmeden tepe tabana paralel taşınırsa piramidin görünüşü değişse de h ve hacim değişmez.

Paralel kesit ve kesik piramit

Tabana paralel bir düzlem tepeden küçük bir piramit ayırsın. Küçük ve büyük piramidin karşılıklı uzunlukları aynı k oranındadır. Tepeden kesite uzaklığın bütün yüksekliğe oranı k ise kesit alanı oranı k², hacim oranı k³ olur. Hacimde yüksekliğin yalnız bir kez oranlanması bu iki diğer boyutu gözden kaçırır.

Altta kalan kesik piramidin hacmi büyük piramitten üstteki küçüğü çıkararak bulunur. Paralel taban alanları $\displaystyle S_1,S_2$ ve aralarındaki yükseklik h ise aynı çıkarma işlemi $\displaystyle V=h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})/3$ sonucunu verir. Kesik parçanın h’si, tepeden ölçülen benzerlik yüksekliğiyle aynı değildir.

Piramit hacmi $\displaystyle S_t h/3$ . Düzgün piramidin yan alanı $\displaystyle P_t\ell/2$ ; h ile ℓ aynı değildir.

Dikkat: Hacimde yan yüz yüksekliği değil, taban düzlemine dik yükseklik kullanılır.

Silindir

Dairesel tabanlar ve açıldığında bir dikdörtgen.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.6.1.1Küre, dik dairesel silindir ve dik dairesel koninin alan ve hacim bağıntılarını oluşturarak işlemler yapar.
Dik dairesel silindirin hacim ve yüzey alanını açıklar. Silindirin açınımını ve kesitlerini yorumlar.

Eş daire kesitleri üst üste koy

Bir daireyi düzlemine dik doğrultuda taşıdığımızda dik dairesel silindir oluşur. İki tabanı eş dairelerdir; merkezlerini birleştiren eksen tabanlara diktir. Tabanlar arasındaki uzaklık h yüksekliktir. Tabana paralel kesitler aynı yarıçaplı dairelerdir.

Eksenden geçen dik kesit, genişliği çap 2r ve yüksekliği h olan dikdörtgendir. Uzay çiziminde daireler elips gibi görünür; bu perspektif, tabanın gerçekten elips veya silindirin eğik olduğu anlamına gelmez.

Yan yüz açılınca hangi dikdörtgen oluşur?

Yan yüzü tabanlara dik bir çizgi boyunca kesip açalım. Açılan yüzün bir kenarı silindirin h yüksekliğidir. Diğer kenarı taban çemberini bir kez dolaşır; bu nedenle çap değil, çevre olan 2πr uzunluğundadır.

Yan alan bu iki kenarın çarpımıdır: $\displaystyle 2\pi rh$ . Kapalı silindirin iki dairesel tabanını eklersek toplam alan $\displaystyle 2\pi r^2+2\pi rh$ olur. Yalnız yan yüz veya üstü açık kap sorulursa dahil olan yüzler değişir; önce hangi yüzlerin gerçek sınır olduğunu belirleriz.

Hacim ile sıvı yüksekliğini ilişkilendir

Tabana paralel her kesitin alanı πr²’dir. H yüksekliğine kadar doldurulan kısmın hacmi $\displaystyle V=\pi r^2H$ olur. Aynı kapta taban alanı sabit olduğundan sıvı yüksekliğinin artışı hacim artışıyla doğru orantılıdır.

Tam silindirin hacminde H yerine cismin toplam h yüksekliği yazılır. Yarıçap iki katına çıkıp yükseklik aynı kalırsa taban alanı dört katına çıkar; hacim de dört katına çıkar. Yalnız bir boyutu değiştirirken benzer cisimlerin k³ kuralını kullanamayız.

Batan cisim neden suyu yükseltir?

Katı, suyu geçirmeyen bir cisim sıvıya batırıldığında kendi batan hacmi kadar yer kaplar. Sıvı miktarı değişmeden aynı kapta daha yukarı taşınır. Taşma yoksa taban alanı ile seviye artışının çarpımı yer değiştiren hacimdir: $\displaystyle \pi r^2\Delta H=V_{\text{batan}}$ .

Cisim tamamen batmışsa bütün hacmi, kısmen batmışsa yalnız su altındaki kısmı kullanılır. Bu ilişki cismin silindir olmasını gerektirmez; kabın ilgili seviyelerde sabit dairesel kesitli olması gerekir.

Yüzeyde yol için açınıma geri dön

Silindirin yan yüzünde kalan bir yol, açınımdaki dikdörtgen üzerinde düzleştirilir. Aynı yükseklikteki iki nokta arasındaki yay yolu ile farklı yükseklikteki noktalar arasındaki çapraz yol aynı değildir. Açınımda yatay mesafe uygun yay uzunluğu, düşey mesafe yükseklik farkıdır; düz çizginin uzunluğu Pisagor ile bulunur.

Birden fazla dolanma veya yön mümkünse bunların yatay mesafeleri farklı olabilir. Yalnız cismin içinden geçen düz mesafeyi bulmak, yüzeyde kalması gereken yolu vermez.

Dik silindir: $\displaystyle V=\pi r^2h$ , yan alan $\displaystyle 2\pi rh$ , kapalı toplam alan $\displaystyle 2\pi r^2+2\pi rh$ .

Dikkat: Silindirin yan yüz açınımındaki genişlik çap değil, taban çemberinin çevresidir.

Koni

Dik yükseklik, yarıçap ve ana doğru.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.6.1.1Küre, dik dairesel silindir ve dik dairesel koninin alan ve hacim bağıntılarını oluşturarak işlemler yapar.
Dik dairesel konide ana doğru ile dik yüksekliği ilişkilendirir. Koni açınımını, alanını ve hacmini açıklar.

Tepe, merkez ve taban çemberi

Dik dairesel koninin tepesi, taban dairesinin merkezinden geçen dik eksen üzerindedir. Tepeden merkeze uzaklık h dik yüksekliktir. Tepeden taban çemberindeki herhangi bir noktaya giden parça ana doğrudur; uzunluğu ℓ’dir.

Eksenden geçen kesit, eş yan kenarları ℓ ve tabanı çap 2r olan ikizkenar üçgendir. Bütün kesit üçgeninin tabanı 2r iken onun yarısındaki dik üçgenin tabanı r olur. Bu iki uzunluğu ayırmak, Pisagor’da çapı yarıçap yerine kullanmayı önler.

Ana doğruyu bir dik üçgenden çıkar

Tepe, taban merkezi ve taban çemberindeki bir nokta dik üçgen oluşturur. Dik kenarlar r ve h, hipotenüs ℓ’dir. Bu nedenle $\displaystyle \ell^2=r^2+h^2$ . h iç eksen üzerinde, ℓ eğri yan yüz üzerinde bulunur.

Alan hesabında yüzeyi kaplayan uzunluk ℓ gerekirken hacimde dik katmanların toplam yüksekliği h gerekir. Her iki formülde aynı “yükseklik” sözcüğünü kullanmadan parçanın hangi düzleme veya kenara dik olduğunu kontrol etmeliyiz.

Yan yüz açınımı neden daire dilimidir?

Tepeden çembere giden bütün ana doğrular ℓ uzunluğundadır. Yan yüz açılınca bu parçaların ortak tepeden uzaklıkları değişmez; yarıçapı ℓ olan bir daire dilimi elde edilir. Dilimin dış yayı koninin tabanını bir kez sarar, dolayısıyla uzunluğu 2πr’dir.

Daire diliminde alan yay × yarıçap / 2 idi; buradan koninin yan alanı $\displaystyle \pi r\ell$ olur. Açınımın merkez açısı da $\displaystyle \alpha=360^\circ r/\ell$ ’dir. Açınım yarıçapı ℓ ile taban yarıçapı r’yi ayrı tutmak iki bağıntıyı da doğru kurdurur.

Toplam alan ve hacim

Kapalı konide yan alanın yanına bir daire tabanı eklenir: $\displaystyle S=\pi r\ell+\pi r^2$ . Koni biçimli yalnız bir yan kaplama hesaplanıyorsa taban dahil edilmez. Hacim ise aynı taban ve dik yüksekliğe sahip silindirin üçte biridir: $\displaystyle V=\pi r^2h/3$ .

Bu üçte bir oranı piramitle aynı kesit düşüncesine dayanır: tepeden tabana giderken paralel kesitlerin yarıçapı doğrusal, alanı karesel büyür. Silindirde kesit alanı sabitken konide tepeye doğru küçülür; bu yüzden aynı taban ve yükseklik aynı hacim demek değildir.

Kesik koniyi iki koninin farkı olarak gör

Tabana paralel bir düzlemle üstten küçük bir koni ayıralım. Küçük ve büyük koniler benzerdir; yarıçap oranı k, tepeden ölçülen yükseklik oranı da k’dır. Hacim oranı k³ olur. Alt kesik parçanın hacmi büyük koniden küçük koniyi çıkararak bulunur.

Kesik koninin taban yarıçapları R ve r, iki tabanı arasındaki dik yükseklik h ise sonuç $\displaystyle V=\pi h(R^2+Rr+r^2)/3$ ’tür. Bu h, büyük koninin tepeye kadar olan yüksekliği değildir. Benzerlik kurarken hayali tepeye kadar olan yükseklikleri kullanıp sonra farkını almalıyız.

$\displaystyle \ell^2=r^2+h^2$ , $\displaystyle V=\pi r^2h/3$ , yan alan $\displaystyle \pi r\ell$ .

Dikkat: Koni hacminde h, yan alanında ℓ kullanılır. Açınımın yarıçapı tabanın yarıçapı değil, ana doğrudur.

Küre

Merkezden yüzeye her yönde aynı uzaklık.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.6.1.1Küre, dik dairesel silindir ve dik dairesel koninin alan ve hacim bağıntılarını oluşturarak işlemler yapar.
Kürenin yüzey alanı ve hacmini kullanır. Düzlem kesitini ve yarım kürenin yüzeylerini ayırt eder.

Küre yüzeyi ve küresel cisim

Uzayda O merkezine uzaklığı r olan noktalar küre yüzeyini oluşturur. Bu yüzeyin iç bölgesini de aldığımızda küresel cisimden söz ederiz. Kürenin köşesi, ayrıtı veya düz tabanı yoktur. Her yöndeki yarıçap eşittir.

Merkezden geçen bir düzlem küresel cismi yarıçapı r olan bir dairede keser. Bunun sınırı büyük çemberdir. Merkezden geçmeyen paralel kesitler küçülür; kürede silindir gibi her yükseklikte aynı kesit bulunmaz.

Kesit yarıçapını dik üçgenle bul

Merkezden d uzaklıktaki kesit düzlemine dik inelim. Dikmenin ayağı kesit dairesinin merkezidir. Küre merkezini kesit çemberindeki bir noktaya birleştirdiğimizde r hipotenüsü, d ve kesit yarıçapı ρ dik kenarları oluşur. Böylece $\displaystyle \rho^2+d^2=r^2$ .

Düzlem merkezden uzaklaştıkça d büyür ve ρ küçülür. d = 0 için ρ = r en büyük kesittir; d = r’de kesit tek temas noktasına iner; d > r’de düzlem küreye ulaşamaz. Çizim bu ilişkiyi merkezden geçen bir düzlemde gösterir.

Yüzey alanı ve hacim

Kürenin yüzey alanı $\displaystyle 4\pi r^2$ , hacmi $\displaystyle 4\pi r^3/3$ ’tür. Hacim bağıntısını kesitlerle anlamlandırabiliriz: yarıçapı ve yarı yüksekliği r olan silindirden, tabanları silindirin tabanlarında ve ortak tepeleri merkezde olan iki koni çıkarılırsa her seviyedeki halka alanı, aynı seviyedeki küre kesit alanına eşit olur. Eş kesit alanları eş hacim verir; $\displaystyle 2\pi r^3-2\pi r^3/3=4\pi r^3/3$ elde edilir.

Yüzey alanı da dört büyük daire alanına eşittir. Bu, küreyi dört düz daireye kesip açabileceğimiz anlamına gelmez; kürenin düzlemde bozulmadan açınımı yoktur.

Yarım kürede yeni bir yüz ortaya çıkar

Küreyi merkezden kesince hacim yarılanır: $\displaystyle 2\pi r^3/3$ . Eğri yüzeyin alanı da yarıya iner: $\displaystyle 2\pi r^2$ . Ancak kesimle yarıçapı r olan düz bir daire yüzeyi oluşur. Bu yüzey dahil toplam alan $\displaystyle 3\pi r^2$ ’dir.

“Yarım kürenin eğri yüzeyi” ile “yarım kürenin toplam yüzeyi” farklı sonuçlar verir. Birleşik cisimde bu düz daire başka parçaya yapıştırılmışsa dışarıda kalmaz; toplam dış alana eklenmemelidir.

Küresel kabuk ve ölçek

Aynı merkezli R > r yarıçaplı küreler arasındaki kabuğun hacmi, büyük küreden iç boşluğu çıkarınca $\displaystyle 4\pi(R^3-r^3)/3$ olur. R−r kalınlıktır; bu kalınlığın küpü kabuğun hacmini vermez.

Yarıçap k katına çıktığında yüzey alanı k², hacim k³ katına çıkar. Bütün küreler birbirine benzediği için burada yalnız yarıçap oranı benzerlik oranını belirlemeye yeterlidir.

Küre: alan $\displaystyle 4\pi r^2$ , hacim $\displaystyle 4\pi r^3/3$ . Düzlem kesitinde $\displaystyle \rho^2=r^2-d^2$ .

Dikkat: Yarım kürenin yalnız eğri yüzeyi ile kesim dairesi dahil toplam yüzey alanı farklıdır.

Benzer cisimler ve hacim

Uzunluk bir, alan iki, hacim üç kez ölçeklenir.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.6.1.1Küre, dik dairesel silindir ve dik dairesel koninin alan ve hacim bağıntılarını oluşturarak işlemler yapar.
Benzer cisimlerde uzunluk, alan ve hacim oranlarını ilişkilendirir. Birleşik cisimlerde hacim korunumu ve açıkta kalan yüzeyleri yorumlar.

Benzerlik bütün boyutları aynı oranda değiştirir

Benzer iki cisimde karşılıklı bütün uzunluklar aynı k oranındadır. Dikdörtgenler prizmasının üç ayrıtı da k ile çarpılırsa taban alanında iki k, hacimde üç k çarpılır. Sonuç uzunluk oranı k, alan oranı k², hacim oranı k³ olur.

Yalnız yüksekliği değişen iki silindir genel olarak benzer değildir. Bu durumda taban alanı korunuyorsa hacim yükseklik oranında değişir. Benzerlik kuralını uygulamadan önce karşılıklı bütün boyutların aynı oranda olduğuna bakmalıyız.

Oranı geriye doğru da okuyabilirsin

Benzer cisimlerde hacim oranı q verilirse uzunluk oranı $\displaystyle \sqrt[3]{q}$ ’dur. Alan oranını bulmak için bu uzunluk oranının karesi alınır: $\displaystyle q^{2/3}$ . Alan oranından uzunluğa geçerken karekök, hacimden uzunluğa geçerken küpkök gerekir.

Kesitler veya yüzler incelenirken de karşılık gelme şartı önemlidir. Rastgele iki kesitin alan oranını cismin yüzey alanı oranıyla eşitleyemeyiz; benzer konumdaki kesitler karşılaştırılmalıdır.

Birleşen yüzler dışarıda kalmaz

İç bölgeleri örtüşmeyen iki cisim birleştirilince hacimleri toplanır. Fakat yüzey alanları doğrudan toplanmaz. F alanlı iki yüz birbirine yapıştırılmışsa bu yüzlerin ikisi de birleşimin içinde kalır. Bu nedenle dış alan = ayrı yüzey alanlarının toplamı − 2F.

Bir boşluk açıldığında ise hacim çıkarılır, fakat boşluğun duvarları yeni yüzey oluşturabilir. Alan hesabında cismin sınırını, hacimde kapladığı maddeyi takip etmek gerekir.

Şekil değişirken hangi büyüklük korunur?

Malzeme kaybı ve yoğunluk değişimi olmadan bir cisim eritilip başka biçimde dökülürse hacim korunur. Yüzey alanı, çevre veya yükseklik korunmak zorunda değildir. Aynı şekilde sıvı başka kaba aktarılırken taşma ve kayıp yoksa sıvı hacmi aynıdır; kesit değiştiği için seviye değişebilir.

Bir prizmayla piramit aynı taban ve yükseklikteyse hacimleri 3:1’dir. Aynı yarıçap ve yükseklikte silindirle koni için de 3:1 çıkar. Bu cisimler benzer oldukları için değil, kendi hacim bağıntıları nedeniyle bu oranı verir.

Birimleri uzunluk, alan ve hacme göre dönüştür

Bir uzunluk birimini on kat küçültürsen aynı uzunluğun sayısal değeri on kat büyür. Alan iki uzunluğu çarptığı için dönüşüm katsayısının karesi, hacim üç uzunluğu çarptığı için küpü gerekir. $\displaystyle 1\,\text{dm}^3=1000\,\text{cm}^3=1\,\text{L}$ ve $\displaystyle 1\,\text{cm}^3=1\,\text{mL}$ .

Hacim formülüne yerleştirmeden önce bütün uzunlukları aynı birime çevirmek güvenlidir. Santimetre ile metreyi aynı çarpımda kullanıp sonuca yalnız cm³ yazmak, matematiksel işlem doğru görünse bile ölçüyü değiştirir.

Benzer cisimlerde uzunluk $\displaystyle k$ , alan $\displaystyle k^2$ , hacim $\displaystyle k^3$ oranındadır. Birleşme yüzleri dış alana katılmaz.

Dikkat: Hacim oranını alan oranı veya uzunluk oranı olarak kullanma. Hacim korunurken yüzey alanı değişebilir.

Kesit, açınım ve hacim modeli

Üç boyutlu soruyu uygun bir düzleme indir.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.6.1.1Dik prizmalar ve dik piramitlerin uzunluk, alan ve hacim bağıntılarını oluşturur.
MEB 11.6.1.1Küre, dik dairesel silindir ve dik dairesel koninin alan ve hacim bağıntılarını oluşturarak işlemler yapar.
Katı cisimlerde eksen kesitini, yüzey açınımını ve hacim korunmasını uygun koşullarda kullanır.

Eksen kesitinin hangi şekil olduğunu seç

Dik dairesel koninin ekseninden geçen düzlem, tabanı 2r ve yüksekliği h olan ikizkenar üçgen verir. Kürenin merkezinden geçen düzlemde kesit dairesinin yarıçapı R'dir. Aynı kürede merkezden d uzaklıktaki kesit için ρ²+d²=R² olur. Şekli uzayda görmek zorlaştığında ilk adım, verilen uzunlukların aynı düzlemdeki kesitini bulmaktır.

Küreyi silindire yerleştir

Yarıçapı R olan küre bir dik silindire içten, tabanlara ve yan yüzeye teğet yerleşsin. Silindirin yarıçapı R, yüksekliği 2R'dir. Eksen kesitinde çapı 2R olan daire, kenarı 2R olan kareye oturur. Silindirin hacmi 2πR³, küreninki 4πR³/3; oran 2/3 olur. Arada kalan hacim 2πR³/3'tür.

Küreyi çevreleyen silindirin eksen kesiti: R yarıçaplı daire, yüksekliği ve genişliği 2R olan kare içinde.

Paralel kesitte ölçeği yüksekliğe bağla

Bir koniyi tabanına paralel düzlemle kes. Tepeden küçük koninin yüksekliği bütün yüksekliğin k katıysa benzerlikten yarıçapı da k katıdır. Hacim oranı k³, kesit dairesinin alan oranı k²'dir. Tepeden yüksekliğin yarısında yapılan kesitte küçük koninin hacmi 1/8, kalan kesik koninin hacmi 7/8 olur; hacimler yarıya bölünmez.

Yüzey yolunu açınımda ölç

Dikdörtgenler prizmasının yüzeyinde iki nokta arasındaki yol, uygun komşu yüzler açıldığında düz bir doğruya dönüşür. Kenarları a,b,c olan prizmanın karşıt köşeleri için aday uzunluklar $\displaystyle \sqrt{(a+b)^2+c^2}$ , $\displaystyle \sqrt{(a+c)^2+b^2}$ ve $\displaystyle \sqrt{(b+c)^2+a^2}$ 'dir; en küçüğü seçilir. a=3,b=4,c=12 için adaylar √193, √241 ve √265'tir. İçeriden geçen cisim köşegeni 13 olsa da yüzey yolu √193'tür.

Bir cisim erirse korunan şey hacimdir

Yarıçapı 6 olan bir küre eritilip yarıçapı 2 olan eş kürelere dönüştürülsün; kayıp ve yoğunluk değişimi yoksa sayı (6/2)³=27 olur. Toplam yüzey alanı korunmaz: ilk alan 144π, yeni toplam 27·16π=432π'dir. Hacim aynı kalırken alanın artması küçük parçaların daha fazla dış yüzey oluşturmasındandır.

Birleşik yüzeyde iç sınırları çıkar

Silindirin üstüne aynı yarıçaplı bir yarım küre yerleştirilirse temas eden daireler dış yüzey sayılmaz. Alt taban kapalıysa dış alan 2πrh+πr²+2πr² olur; hacim ise πr²h+2πr³/3. Alan hesabında hangi yüzlerin dışarıda kaldığını, hacimde ise cisimlerin iç içe geçip geçmediğini ayrı ayrı incele.

Kesitte Pisagor; açınımda düz yol; benzerlikte alan k², hacim k³. Eritmede hacim korunur, yüzey alanı korunmayabilir.

Dikkat: Cisim içinden geçen en kısa mesafeyi yüzey yolu yerine kullanma. Kesit alanı ile kalan cismin hacmi aynı oranda değişmez.