Üçgenler

Aynı doğru üzerinde olmayan üç noktayı doğru parçalarıyla birleştirirsek üçgen oluşur. Köşeler A, B, C; karşılarındaki kenarlar sırasıyla a, b, c ile adlandırılır. İki kenarı eşitse ikizkenar, üçü eşitse eşkenar; hepsi farklıysa çeşitkenardır. Açılarının hepsi dar olabilir; en fazla bir açısı dik veya geniş olabilir.

C köşesinden AB'ye paralel bir yardımcı doğru çizelim. AC ve BC artık iki kesendir. A ve B'deki açıları iç ters açı eşitliğiyle C'nin yanına taşıyabiliriz. Taşınan iki açı ile C açısı yan yana bir doğru açı oluşturur. Bu yüzden toplamları 180°'dir.

BC kenarını C'nin ötesine uzatınca C'nin iç açısıyla bütünler olan bir dış açı elde ederiz. İç açıların toplamı $\displaystyle A+B+C=180^\circ$ ve $\displaystyle C+D=180^\circ$ olduğundan $\displaystyle D=A+B$. Dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamıdır.

A'dan B'ye düz gitmek, C'ye uğrayarak gitmekten daha kısadır. Bu yüzden $\displaystyle |AB|<|AC|+|CB|$. Aynı düşünce her kenar için geçerlidir. Eşitlik olursa üç köşe aynı doğruya düşer; alanı olan bir üçgen kalmaz.

Üç eşitsizliği birlikte düzenlediğimizde üçüncü kenar için $\displaystyle |b-c|<a<b+c$ elde ederiz. Uzun iki kenarın farkından küçük bir tabanda da uçlar buluşamaz. 4 ve 5 için üçüncü kenar kesinlikle 1'den büyük, 9'dan küçük olmalı.

Bir üçgende büyük açının karşısında daha uzun kenar bulunur; eşit açıların karşısındaki kenarlar eşittir. Bunu iki kenarı sabit bir menteşe gibi düşünerek sezebilirsin: aradaki açı açıldıkça karşı uçların arası büyür. Aynı üçgende açıların sırası ile karşı kenarların sırası eşleşir.

Dik üçgende 90°'yi oluşturan kenarlar dik kenarlardır. Dik açının karşısındaki hipotenüs, üçgenin en uzun kenarıdır. Dik kenarları a ve b, hipotenüsü c ile gösterelim. Kenarlara kurduğumuz karelerin alanları $\displaystyle a^2$, $\displaystyle b^2$ ve $\displaystyle c^2$ olur.

Kenar uzunluğu a+b olan bir kareye dört eş dik üçgen yerleştirelim. Ortada kenarı c olan bir kare kalır. Büyük karenin alanından dört üçgeni çıkarınca $\displaystyle (a+b)^2-4\cdot\frac{ab}{2}=a^2+b^2$ kalır. Ortadaki alan aynı zamanda $\displaystyle c^2$: Pisagor bağıntısı buradan çıkar.

Dik köşeden hipotenüse indirilen h yüksekliği, hipotenüsü p ve q parçalarına ayırır. Oluşan iki küçük üçgen büyük üçgene benzerdir. Karşılık gelen kenarların oranlarından $\displaystyle h^2=pq$, $\displaystyle a^2=cp$, $\displaystyle b^2=cq$ elde edilir; burada p, a dik kenarının hipotenüs üzerindeki izdüşümüdür. Ayrıca alanı iki yoldan yazınca $\displaystyle ab=ch$ çıkar.

Karenin köşegeni iki eş ikizkenar dik üçgen oluşturur. Dik kenarlar eşit olduğu için dar açılar da eşittir: ikisi 90°'yi paylaşıp 45° olur. Dik kenar a ise Pisagor'dan $\displaystyle c^2=2a^2$, yani $\displaystyle c=a\sqrt2$ çıkar.

Kenarları 2a olan eşkenar üçgenin tepesinden taban ortasına çizgi çekelim. Oluşan iki üçgen KKK ile eştir; tabandaki komşu eş açılar 90°, tepedeki yarım açılar 30° olur. Kısa dik kenar a, hipotenüs 2a'dır. Pisagor'dan yükseklik $\displaystyle a\sqrt3$ bulunur.

Öteleme, döndürme veya yansıtmayla tam üst üste gelen üçgenler eştir; karşılıklı kenarları ve açıları eşittir. Birini aynı oranda büyütüp küçülttüğümüzde diğeriyle eşleşiyorsa benzerdir. Eşlik, benzerlik oranının 1 olduğu özel durumdur.

Benzerlik oranı k olduğunda taban da yükseklik de k katına çıkar. Alan $\displaystyle \frac{\text{taban}\cdot \text{yükseklik}}{2}$ olduğundan iki k çarpılır: alan oranı $\displaystyle k^2$, çevre oranı k olur. Paralel bir kesitle oluşan küçük üçgen de açı eşitlikleri sayesinde büyük üçgene benzerdir.

A köşesinden çizilen iç açıortay BC'yi D'de kessin. Tanım gereği ∠BAD = ∠DAC. Bu, BD ile DC'nin mutlaka eşit olduğu anlamına gelmez. Açıortay, köşedeki dönüşü iki eşit parçaya ayırır.

ABD ve ACD'nin BC'ye ait yükseklikleri aynıdır; alanlarının oranı BD/DC olur. D'den AB ve AC'ye dikmeler indirirsek bu uzaklıklar eşittir: ortak hipotenüsü AD ve A'daki dar açıları eşit olan iki dik üçgen eştir. Bu kez AB ve AC'yi taban alırsak alan oranı AB/AC olur.

Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçası kenarortaydır. A'dan BC'nin orta noktası D'ye çizildiğinde BD = DC olur. ABD ve ACD aynı yüksekliği ve eşit tabanları paylaştığı için alanları eşittir. Açıların eşit olması ise zorunlu değildir.

AB ve AC'nin orta noktaları E ve F olsun. AE/AB = AF/AC = 1/2 ve A açısı ortak olduğundan AEF ile ABC KAK ile benzerdir. Buradan EF ∥ BC ve EF = BC/2 çıkar. Bu parçaya orta taban denir. Küçük üçgenin alanı büyük üçgenin dörtte biridir.

Üç kenarortay G ağırlık merkezinde kesişir. G, her kenarortayı köşeden başlayarak 2:1 oranında böler. B ve C'den gelen kenarortayların kesişimi G olsun. EF ∥ BC ve EF/BC = 1/2 olduğundan GEF ile GBC benzerdir; GB = 2GF ve GC = 2GE çıkar. Aynı ilişki diğer kenarortay için de geçerlidir. Üç kenarortay üçgeni altı eş alanlı parçaya ayırır.

Bir açının açıortayı üzerindeki noktalar, açının kollarına eşit dik uzaklıktadır. İki iç açıortayın kesişimi I, üç kenara da eşit uzaklıkta olur; bu nedenle üçüncü açıortay üzerinde de bulunur. I merkezli, bu uzaklığı yarıçap alan çember üç kenara teğettir. I, iç teğet çemberin merkezidir ve her zaman üçgenin içindedir.

Bir kenarın orta dikmesi üzerindeki noktalar o kenarın iki ucuna eşit uzaklıktadır: ortak dik kenarlı iki dik üçgen bunu gösterir. İki orta dikmenin kesişimi O, üç köşeye de eşit uzaklıktadır. O merkezli çember üç köşeden geçer. Bu çevrel çemberin merkezi, dik üçgende hipotenüsün ortasında; geniş açılı üçgende dışarıdadır.

Her köşeden karşı kenarın doğrusuna indirilen üç dikme H diklik merkezinde kesişir. Bu kesişme, köşelerden karşı kenarlara paraleller çizerek oluşan büyük üçgende yükseklikleri orta dikmeler olarak görerek açıklanabilir. H, dar açılı üçgende içeride, dik üçgende dik köşede, geniş açılı üçgende dışarıdadır. Kenarortayların merkezi G ise bunlardan farklı bir noktadır; eşkenar üçgende hepsi çakışır.

Bir üçgenin eş kopyasını yanına yerleştirerek bir paralelkenar oluşturabiliriz. Paralelkenarın alanı taban × dik yüksekliktir ve iki eş üçgen içerir. Bu yüzden üçgenin alanı $\displaystyle S=\frac{a h_a}{2}$ olur. Herhangi bir kenarı taban seçebiliriz; yükseklik mutlaka o kenarın doğrusuna dik olmalıdır.

Taban sabitken tepeyi tabana paralel bir doğru üzerinde hareket ettirirsek dik uzaklık değişmez. Üçgenin kenarları ve açıları değişse de alan sabit kalır. Geniş açılı üçgende yüksekliğin ayağı tabanın uzantısına düşebilir; formül yine geçerlidir.

Yan kenarları 13, tabanı 10 birim olan ikizkenar üçgenin alanını arayalım. Alan için tabanı biliyoruz, yüksekliği bilmiyoruz. İlk soru hangi çizgi eksik bilgiyi görünür yapar? Tepeyi tabanın orta noktasına birleştirmek iyi bir başlangıçtır.

İki küçük üçgende yan kenarlar eşit, taban parçaları 5'er birim ve çizdiğimiz parça ortaktır. KKK eşliği nedeniyle ortadaki komşu açılar eşittir. Birlikte 180° oldukları için her biri 90° olur. Böylece çizdiğimiz kenarortayın bu özel üçgende aynı zamanda yükseklik olduğunu kanıtlarız.