Katı Cisimler Konu Anlatımı – TYT Geometri

Prizma ve küp

Eş tabanları yükseklik boyunca üst üste koy.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.6.1.1Dik prizmada hacim ve yüzey alanını taban ve yükseklikten elde eder.
MEB 10.6.1.1Dikdörtgenler prizması ve küpte köşegenleri hesaplar.

Taban ve yükseklik nasıl seçilir?

Prizmanın tabanları paralel düzlemlerde duran eş çokgenlerdir. Karşılıklı köşeleri birleştiren yan ayrıtlar birbirine paralel ve eşittir. Bu ayrıtlar tabanlara dikse dik prizma elde edilir; yan yüzler dikdörtgendir.

Yükseklik, taban düzlemleri arasındaki dik uzaklıktır. Dik prizmada yan ayrıta eşitken eğik prizmada eşit değildir. Taban n kenarlıysa üstte ve altta n’er köşe bulunduğundan 2n köşe; iki taban çevresinde 2n ve aralarında n ayrıt bulunduğundan 3n ayrıt vardır. Yüz sayısı n yan yüz ile iki tabanın toplamı n+2’dir.

Hacmi eş katmanlarla düşün

Taban alanı $\displaystyle S_t$ ve yükseklik h olsun. Prizmayı tabana paralel ince katmanlara ayırdığımızda her kesitin alanı aynıdır. Bir birim yükseklikte $\displaystyle S_t$ kadar hacim, h birim yükseklikte $\displaystyle V=S_t h$ hacim bulunur.

Dikdörtgenler prizmasında taban kenarları a ve b ise $\displaystyle S_t=ab$ ve hacim abh olur. Üçgen tabanlı prizmada ise önce üçgen alanı hesaplanır; a ile b’yi herhangi iki kenar olarak çarpmak taban alanını vermez. Hacim birimi üç uzunluğun çarpımı olduğu için birimküptür.

Yüzey alanını açınım üzerinden topla

Dik prizmanın yan yüzlerini bir ayrıt boyunca kesip düzleme açalım. Her dikdörtgenin yüksekliği h, genişliği bir taban kenarıdır. Genişliklerin toplamı taban çevresi $\displaystyle P_t$ olduğundan yan alan $\displaystyle P_t h$ olur. Kapalı prizmanın iki tabanını eklersek toplam alan $\displaystyle 2S_t+P_t h$ bulunur.

Dikdörtgenler prizmasında bu, $\displaystyle 2(ab+ah+bh)$ ’dir. Üstü açık kapta bir ab yüzü yoktur; toplamdan onu çıkarmalıyız. Açınım, bir yüzü unutmayı veya aynı yüzü iki kez saymayı önler.

Yüz köşegeninden cisim köşegenine geç

Taban köşegeni, a ve b dik kenarlarının hipotenüsüdür: $\displaystyle d_t^2=a^2+b^2$ . Şimdi bu taban köşegenini ve h yüksekliğini içeren dik kesiti düşün. Cisim köşegeni d, bu yeni dik üçgenin hipotenüsüdür. Dolayısıyla $\displaystyle d^2=d_t^2+h^2=a^2+b^2+h^2$ .

İlk Pisagor bir yüz üzerinde, ikincisi cismin içindeki dik kesitte uygulanır. Yüz köşegeni ile cisim köşegeni aynı parça değildir; cisim köşegeni karşılıklı iki uzay köşesini birleştirir.

Küp bütün ayrıtları eşitler

Küpte a = b = h olur. Prizma formüllerine yerleştirince $\displaystyle V=a^3$ , $\displaystyle S=6a^2$ , yüz köşegeni $\displaystyle a\sqrt2$ , cisim köşegeni $\displaystyle a\sqrt3$ çıkar. Küpün altı yüzü kare olduğu için toplam yüzey alanında a² altı kez sayılır.

Kenarları büyütürken yüz köşegeni ve cisim köşegeni de a ile aynı oranda büyür; alan a², hacim a³ ile değişir. Bu, aynı sayıların farklı sorularda neden farklı üslerle kullanıldığını açıklar.

Yüzeyde en kısa yol başka bir problemdir

Bir ipin veya yürüyen bir noktanın cismin yüzeyinden ayrılmasına izin verilmiyorsa cisim köşegenini kullanamayız; köşegen içeriden geçer. Geçilecek komşu yüzleri açınımda aynı düzleme yatırıp başlangıçla bitişi doğru parçasıyla birleştiririz. Bu doğru, seçilen yüzler üzerinden en kısa yolu verir.

Birden fazla yüz zinciri mümkünse geçerli açınımları karşılaştırmak gerekir. Yolun uzaydaki iki nokta arasındaki mesafe mi, yoksa yüzey üzerinde kalması gereken bir mesafe mi olduğunu baştan ayırt etmeliyiz.

Çözümlü prizma örnekleri

Örnek 1: Ayrıtları 3, 4 ve 12 olan dikdörtgenler prizmasının hacmi 144, yüzey alanı $\displaystyle 2(12+36+48)=192$ , cisim köşegeni $\displaystyle \sqrt{9+16+144}=13$ ’tür.

Örnek 2: Cisim köşegeni $\displaystyle 6\sqrt3$ olan küpün ayrıtı 6’dır; hacmi 216, yüzey alanı 216 birimkaredir.

Örnek 3 (üçgen prizma): Tabanı dik kenarları 6 ve 8 olan dik üçgen, yüksekliği 10 olan dik prizmada taban alanı 24, hacim 240’tır. Taban çevresi $\displaystyle 6+8+10=24$ olduğundan yanal alan 240, toplam alan $\displaystyle 240+2\cdot24=288$ ’dir.

Örnek 4 (altıgen prizma): Taban ayrıtı 2, yüksekliği 5 olan düzgün altıgen dik prizmanın taban alanı $\displaystyle 6\cdot\frac{4\sqrt3}{4}=6\sqrt3$ , hacmi $\displaystyle 30\sqrt3$ , yanal alanı $\displaystyle 6\cdot2\cdot5=60$ ’tır. Program prizma ve piramitleri üçgen, dörtgen ve altıgen tabanlılarla sınırlar.

Gerçek hayatta prizma

Akvaryum: İç ölçüleri 50 cm × 30 cm × 40 cm olan bir akvaryumun hacmi 60 000 cm³, yani 60 L’dir. 30 cm yüksekliğe kadar su konursa $\displaystyle 50\cdot30\cdot30=45\,000$ cm³ = 45 L su gerekir. Üstü açık bu akvaryum için gereken cam alanı taban ve dört yan yüzün toplamıdır: $\displaystyle 1500+2(2000+1200)=7900$ cm².

Paketleme: Ayrıtı 10 cm olan küp biçimli kutular, iç ölçüleri 60 cm × 40 cm × 30 cm olan bir koliye $\displaystyle 6\cdot4\cdot3=72$ adet sığar; burada ölçülerin kutu ayrıtına tam bölünmesi önemlidir.

Boya: 3 m × 4 m tabanlı ve 2,5 m yüksekliğindeki bir odanın dört duvarının alanı $\displaystyle 2(3+4)\cdot2{,}5=35$ m²’dir; kapı ve pencere alanları çıkarılarak gereken boya miktarı bulunur.

Bilgi ve iletişim teknolojileriyle prizmanın açınımını katlayıp açmak, yanal alanın neden taban çevresi × yükseklik olduğunu gösterir.

Dik prizma: $\displaystyle V=S_t h$ , toplam alan $\displaystyle 2S_t+P_t h$ . Küp: $\displaystyle V=a^3$ , alan $\displaystyle 6a^2$ .

Dikkat: Cismin içinden geçen köşegen ile yüzey üzerinde izlenen en kısa yol farklıdır. Üstü açık kapta eksik yüzü toplam alana katma.