Çember ve Daire Konu Anlatımı – TYT Geometri

Çemberin elemanları

Sınır ile iç bölgeyi birbirinden ayır.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.5.1.1Çember, daire, yay, kiriş, kesen ve teğeti ayırt eder.
MEB 11.5.1.2Merkezden kirişe uzaklık ile kiriş uzunluğunu ilişkilendirir.

Çember ile daire aynı şey değildir

Bir düzlemde O noktasına uzaklığı r olan noktalar çemberi oluşturur. Uzaklığı r’den küçük noktaları da eklersek daireyi elde ederiz. Çember bir sınırdır; daire iç bölgeyi de içerir. Bu nedenle çemberin uzunluğundan, dairenin alanından söz ederiz.

Merkezden çembere giden parçanın uzunluğu yarıçaptır. Çemberin iki noktasını birleştiren parça kiriştir. Kiriş merkezden geçerse çap adını alır ve iki yarıçapın toplamı olan 2r uzunluğundadır.

Yay, kiriş ve merkez açıyı ilişkilendir

İki farklı çember noktası çemberi iki yaya ayırır. Noktalar çapın uçları değilse biri küçük, diğeri büyük yaydır. Merkezden bu noktalara yarıçaplar çizince oluşan merkez açı, ilgili yayın derece ölçüsünü belirler. Yayın derece ölçüsü açıklığı, uzunluğu ise sınır boyunca gidilen mesafeyi anlatır.

Aynı çemberde eşit kirişler eşit küçük merkez açılar ve eşit küçük yaylar görür. Çünkü iki yarıçapla kirişin oluşturduğu üçgenler KKK ile eştir. Bu karşılaştırma farklı çemberler arasında yapılacaksa yarıçapların da eşit olması gerekir.

Merkezden kirişe neden dik ineriz?

AB kirişini merkeze birleştirelim. OA = OB = r olduğundan OAB ikizkenardır. O’dan AB’ye indirilen dikmenin ayağı M olsun. Oluşan dik üçgenlerde hipotenüsler eşit, OM ortak olduğundan üçgenler eştir: AM = MB.

OM = d ise yarım kiriş için $\displaystyle AM^2+d^2=r^2$ yazılır. Böylece $\displaystyle AB=2\sqrt{r^2-d^2}$ elde edilir. Kiriş uzunluğunu bulmak için bütün kirişi hipotenüs sanmak yerine, bu küçük dik üçgendeki yarım kirişi hesaplarız.

Merkeze yakın kiriş neden daha uzundur?

Yarıçap sabitken $\displaystyle AM^2=r^2-d^2$ bağıntısında d küçüldükçe AM büyür. Bu yüzden aynı çemberde merkeze daha yakın kiriş daha uzundur; eşit uzaklıktakiler eşittir. d = 0 olduğunda kiriş merkezden geçer ve 2r uzunluğunda çap olur.

Bu aynı zamanda çapın neden en uzun kiriş olduğunu açıklar. Merkezden uzaklaşınca dik üçgenin bir dik kenarı büyür; hipotenüs sabit olduğu için diğer dik kenar küçülmek zorundadır.

Doğrunun konumunu dik uzaklık belirler

Bir doğrunun merkeze dik uzaklığı r’den küçükse doğru dairenin içine girer ve çemberi iki noktada keser: kesendir. Uzaklık r’ye eşitse doğruya en yakın çember noktası tek ortak noktadır: doğru teğettir. Uzaklık r’den büyükse kesişim yoktur.

Teğet noktasındaki yarıçap, merkezden doğruya indirilen en kısa uzaklığı verir; bu yüzden teğete diktir. Üç durumu aynı çember üzerinde karşılaştırmak, teğetliği yalnız “değiyor gibi görünen çizgi” olarak düşünmeyi önler.

Çözümlü kiriş örnekleri

Örnek 1: Yarıçapı 13 olan çemberde merkeze 5 birim uzaklıktaki kirişin yarısı $\displaystyle \sqrt{169-25}=12$ , kendisi 24’tür.

Örnek 2: Yarıçapı 10 olan çemberde 16 uzunluğundaki kirişin merkeze uzaklığı $\displaystyle \sqrt{100-64}=6$ ’dır.

Örnek 3: Yarıçapı 10 olan çemberde paralel iki kiriş 12 ve 16 uzunluğundadır. Merkeze uzaklıkları 8 ve 6’dır. Kirişler merkezin aynı tarafındaysa aralarındaki uzaklık 2, farklı taraflarındaysa 14’tür.

Örnek 4: Merkezi bir doğruya 5 birim uzaklıkta olan çember, yarıçapı 4 ise doğruyu kesmez, 5 ise doğruya teğettir, 6 ise doğruyu iki noktada keser.

Gerçek hayat: Kırık bir tabağın merkezini bulmak için kenarında iki kiriş çizip orta dikmelerini çizeriz. Kirişin orta dikmesi merkezden geçtiğinden iki orta dikmenin kesişimi merkezdir; arkeologlar kırık çanak parçalarından kabın çapını bu yolla tahmin eder.

Çap $\displaystyle 2r$ ; merkeze d uzaklığındaki kiriş $\displaystyle 2\sqrt{r^2-d^2}$ uzunluğundadır.

Dikkat: Yayın derece ölçüsü ile yay uzunluğu aynı şey değildir. Derece açıyı, santimetre gibi birimler uzunluğu belirtir.