Çember ve Daire

Bir düzlemde O noktasına uzaklığı r olan noktalar çemberi oluşturur. Uzaklığı r’den küçük noktaları da eklersek daireyi elde ederiz. Çember bir sınırdır; daire iç bölgeyi de içerir. Bu nedenle çemberin uzunluğundan, dairenin alanından söz ederiz.

Merkezden çembere giden parçanın uzunluğu yarıçaptır. Çemberin iki noktasını birleştiren parça kiriştir. Kiriş merkezden geçerse çap adını alır ve iki yarıçapın toplamı olan 2r uzunluğundadır.

AB kirişini merkeze birleştirelim. OA = OB = r olduğundan OAB ikizkenardır. O’dan AB’ye indirilen dikmenin ayağı M olsun. Oluşan dik üçgenlerde hipotenüsler eşit, OM ortak olduğundan üçgenler eştir: AM = MB.

OM = d ise yarım kiriş için $\displaystyle AM^2+d^2=r^2$ yazılır. Böylece $\displaystyle AB=2\sqrt{r^2-d^2}$ elde edilir. Kiriş uzunluğunu bulmak için bütün kirişi hipotenüs sanmak yerine, bu küçük dik üçgendeki yarım kirişi hesaplarız.

Bir doğrunun merkeze dik uzaklığı r’den küçükse doğru dairenin içine girer ve çemberi iki noktada keser: kesendir. Uzaklık r’ye eşitse doğruya en yakın çember noktası tek ortak noktadır: doğru teğettir. Uzaklık r’den büyükse kesişim yoktur.

Teğet noktasındaki yarıçap, merkezden doğruya indirilen en kısa uzaklığı verir; bu yüzden teğete diktir. Üç durumu aynı çember üzerinde karşılaştırmak, teğetliği yalnız “değiyor gibi görünen çizgi” olarak düşünmeyi önler.

A ile B uçları sabit kalsın. P’yi karşı yay üzerinde hareket ettirdiğimizde APB çevre açısının köşesini içermeyen AB yayı değişmez. Bu yüzden APB’nin ölçüsü de değişmez. Çevre açı, köşenin A’ya veya B’ye ne kadar yakın olduğuna göre belirlenmez; karşıdaki yayın payına göre belirlenir.

Aynı yay parçasındaki farklı P ve Q noktalarından AB kirişine bakan çevre açılar eşittir. Köşeler AB’nin farklı tarafındaki yaylarda olursa gördükleri karşı yaylar birbirini tamamlar; bu kez açıların eşitliğini otomatik kabul edemeyiz.

AB bir çapsa, bir yarım çemberin ölçüsü 180°’dir. Çapı gören çevre açı bunun yarısı olduğundan 90° olur. Dik üçgende hipotenüsün çevrel çember çapı olmasının nedeni budur.

Dört köşesi bir çember üzerinde olan dörtgen çemberseldir. Karşılıklı iki çevre açının gördüğü yaylar birlikte 360°’yi tamamlar. Açıları toplarsak $\displaystyle 360^\circ/2=180^\circ$ elde edilir: karşı açılar bütünlerdir. Bu sonuç kenarların eşit olmasını gerektirmez.

A noktasındaki teğet, OA yarıçapına diktir. AB kirişini çizelim; OAB ikizkenar üçgeninde merkez açı α ise taban açısı $\displaystyle (180^\circ-\alpha)/2$ olur. Teğet ile kiriş arasındaki dar açı, bu taban açısını 90°’ye tamamlar: $\displaystyle 90^\circ-(180^\circ-\alpha)/2=\alpha/2$.

Böylece teğet–kiriş açısı gördüğü yayın yarısıdır. Teğetin diğer yönündeki bütünler açı seçilirse büyük yay kullanılır. Açı kollarının yönünü takip etmek hangi yayın görüldüğünü belirler.

AB ve CD kirişleri çemberin içinde P’de kesişsin; A, P, B ve C, P, D doğrusal olsun. APD açısı, PBD üçgeninin P’deki dış açısıdır. Bu nedenle B ve D’deki iki iç açının toplamına eşittir. Bu iki açı çevre açı olduğundan sırasıyla AD ve BC yaylarının yarısını görür.

Sonuç $\displaystyle \angle APD=(\widehat{AD}+\widehat{BC})/2$ olur. Seçilen açı ile ters açısının kolları arasında kalan yaylar toplanır. Komşu açı seçilirse kullanılacak yay çifti de değişir.

P dış noktası olsun; kesenlerde P–A–B ve P–C–D sıralaması bulunsun. Açıya uzak uçlar B ve D, yakın uçlar A ve C’dir. Kesişim noktalarını birleştirip çevre açılarla üçgenin dış açısını ilişkilendirince $\displaystyle \angle P=(\widehat{BD}-\widehat{AC})/2$ çıkar.

İçerideki durumda bir dış açı iki açının toplamını veriyordu; burada aranan dış noktadaki açı, çevre açılar arasındaki fark olarak kalır. Aynı kural iki teğet ve kesen–teğet için de geçerlidir; yayları uzak ve yakın temas/kesişim noktalarına göre seçeriz.

P dış noktasından PA ve PB teğetlerini çizelim. OAP ve OBP dik üçgenlerinde OP ortak hipotenüs, OA ve OB eşit yarıçaplardır. Bu iki bilgi dik üçgenleri eş yapar. Dolayısıyla PA = PB olur.

Eşlik aynı zamanda OP’nin APB açısını ve AOB küçük merkez açısını ikiye böldüğünü gösterir. OAPB’de A ve B açıları dik olduğundan diğer iki açı toplamı 180°’dir. Teğet uzunluğu, açıortaylık ve açı toplamı aynı iki dik üçgenin farklı sonuçlarıdır.

Bir dörtgenin içine, dört kenara da teğet bir çember yerleşsin. A köşesinden iki temas noktasına giden parçalar x; B’den çıkanlar y; C’den çıkanlar z; D’den çıkanlar t olsun. Kenarlar sırayla x+y, y+z, z+t ve t+x olur.

Karşılıklı kenarları topladığımızda her iki toplamda da x+y+z+t vardır. Bu nedenle AB + CD = BC + DA. Burada çember kenarlara teğettir; dört köşenin çember üzerinde olduğu çembersel dörtgen farklı bir durumdur ve onun açı özelliğini bu bilgiyle karıştırmamalıyız.

AB ve CD kirişleri P’de kesişsin. A–P–B ve C–P–D doğrusal olsun. APC ile DPB üçgenlerinde P’deki ters açılar eşittir. ACP ile DBP açıları da aynı AD yayını gören çevre açılardır. Bu nedenle üçgenler benzerdir.

Karşılıklı kenarları eşleştirirsek $\displaystyle AP/DP=CP/BP$ olur. İçler dışlar çarpımından $\displaystyle PA\cdot PB=PC\cdot PD$ çıkar. Bir çarpımda aynı kirişin P tarafından ayrılan iki parçası yer alır.

P çemberin dışında; kesenlerde P–A–B ve P–C–D sıralaması olsun. PAC ve PDB üçgenlerinin P açısı ortaktır. Çevre açı ve bütünler açı ilişkileri başka bir açı çiftini de eşit yapar; üçgenler benzerdir.

Benzerlikten $\displaystyle PA/PD=PC/PB$ ve $\displaystyle PA\cdot PB=PC\cdot PD$ bulunur. Yazılış içerideki bağıntıya benzer; fakat parçaların anlamı değişmiştir. PA dış parça, PB dış noktadan uzak kesişime kadar olan bütün parçadır: PB = PA + AB.

P’den çizilen bir kesen PA ve PB parçalarını, bir teğet PT parçasını versin. Teğet–kiriş açı ilişkisiyle PTA ve PBT üçgenleri benzerdir. Buradan $\displaystyle PT/PB=PA/PT$, yani $\displaystyle PT^2=PA\cdot PB$ elde edilir.

Teğeti iki kesişimin temas noktasında birleştiği sınır durum olarak da düşünebiliriz. İki kesen çarpanının ikisi de PT olur. Bu açıklama, kareyi neden kullandığımızı ve PT yerine yarıçapı yazamayacağımızı gösterir.

Merkez açısı α derece olan daire dilimi, tam dönüşün α/360’ı kadardır. Sabit yarıçapta eşit merkez açılar eşit dilimleri ve eşit yayları oluşturur. Bu yüzden $\displaystyle L=2\pi r\cdot\alpha/360$ ve $\displaystyle S=\pi r^2\cdot\alpha/360$ olur.

Aynı pay iki formülde de bulunduğu için $\displaystyle S=Lr/2$ de yazılabilir. Fakat L yalnız eğri yay uzunluğudur. Dilimin sınırında iki yarıçap daha bulunur; dilim çevresi L+2r’dir. Alan formülünden çevreyi çıkarmaya çalışmak yerine sınırı gerçekten dolaşmalıyız.

Aynı merkezli R ve r yarıçaplı dairelerde R > r olsun. İçteki daireyi büyük daireden çıkarınca halka kalır. Alan $\displaystyle \pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)$ olur. Bu, $\displaystyle \pi(R-r)^2$ değildir; yarıçap farkı halkanın kalınlığıdır, halkanın tamamını başka bir daire yapmaz.

Halkanın sınırı sorulursa dış çember de içteki boşluğun çemberi de sınıra dahildir. Toplam sınır uzunluğu $\displaystyle 2\pi R+2\pi r$ olur. Alan için çıkardığımız iç dairenin sınırını, çevre hesabında eklememizin nedeni budur.

Bir kirişle küçük yay arasında kalan bölge daire parçasıdır. Kirişin uçlarını merkeze birleştirince bir daire dilimi oluşur. Merkez açı 180°’yi aşmıyorsa bu dilim, merkezdeki ikizkenar üçgen ile daire parçasının birleşimidir. Dolayısıyla parça alanı = dilim alanı − üçgen alanı.

Üçgenin alanını iki yarıçapla aralarındaki açıdan veya merkezden kirişe indirilen yükseklikten bulabiliriz. Merkez açı 90° ise üçgen dik olduğu için alanı r²/2’dir. Burada yarıçapların sınırladığı dilimle kirişin sınırladığı parçayı aynı şekil sanmamak gerekir.