Analitik Geometri

Nokta, uzaklık ve orta nokta

Koordinat farkları bir dik üçgen kurar.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.2.1.1Koordinat düzleminde noktayı konumlandırır ve iki nokta arasındaki uzaklığı bulur.
MEB 11.2.1.2Orta nokta, oranlı bölme ve eksene göre simetriyi açıklar.

Bir noktanın iki adresi

Dik koordinat düzleminde yatay x ekseni ve düşey y ekseni O(0,0)’da kesişir. P(x,y) yazarken önce yatay, sonra düşey konumu okuruz. Eksenlerin pozitif ve negatif yönleri, noktanın hangi tarafta bulunduğunu söyler; eksi işareti uzaklığın negatif olduğu anlamına gelmez.

Birinci bölgede iki koordinat pozitif; ikinci bölgede x negatif, y pozitif; üçüncüde ikisi negatif; dördüncüde x pozitif, y negatiftir. Eksen üzerindeki noktalar bölgelere ait değildir. x ekseninde y = 0, y ekseninde x = 0 olur.

Koordinat farklarından dik üçgen kur

A $\displaystyle (x_1,y_1)$ ve B $\displaystyle (x_2,y_2)$ arasına yatay ve düşey yardımcı çizgiler ekleyelim. Yatay uzunluk $\displaystyle |x_2-x_1|$ , düşey uzunluk $\displaystyle |y_2-y_1|$ ’dir. AB bu dik üçgenin hipotenüsüdür; Pisagor’dan $\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ gelir.

Farklar negatif olabilse de kareleri pozitiftir. Aynı yatay doğruda y farkı sıfır, aynı düşey doğruda x farkı sıfır kalır. Bu özel durumlarda uzaklık, değişen koordinatın mutlak farkıdır.

Orta noktada iki değişimi de yarıla

A’dan B’ye yolun yarısına geldiğinde yatay değişimin yarısını ve düşey değişimin yarısını almış olursun. x koordinatı $\displaystyle x_1+(x_2-x_1)/2=(x_1+x_2)/2$ olur; y için de aynı işlem geçerlidir. Böylece $\displaystyle M((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)$ bulunur.

Koordinatların ortalamasını almak, uzunlukları toplamaktan farklıdır. Eksenin iki yanında bulunan noktaların orta noktası eksenin üzerinde olabilir. Negatif koordinatları mutlak değere çevirmeden işaretleriyle ortalamalıyız.

Parçayı başka bir oranda böl

P, AB üzerinde ve AP:PB = m:n olsun. A’dan P’ye giderken bütün yolun $\displaystyle t=m/(m+n)$ kadarını alırız. Yatay konum $\displaystyle x_1+t(x_2-x_1)$ , düşey konum $\displaystyle y_1+t(y_2-y_1)$ olur. Düzenleyince $\displaystyle P((nx_1+mx_2)/(m+n),(ny_1+my_2)/(m+n))$ çıkar.

Formüldeki katsayıları ezberlemek yerine A’dan ne kadar ilerlediğine bakabilirsin. Üçgenin ağırlık merkezi bir kenarortay üzerinde köşeden 2/3 ileride olduğundan üç köşenin x ve y koordinatlarının ayrı ayrı ortalamasıdır.

Eksene uzaklık ve yansıma

Bir noktanın x eksenine dik giderken yatay konumu değişmez; yalnız düşey konumu sıfırlanır. Bu yüzden uzaklık |y|’dir. y eksenine uzaklık |x| olur. Başlangıca uzaklık ise iki koordinatın karelerinden bulunan bir hipotenüstür.

x eksenine göre yansımada nokta aynı x konumunda karşı tarafa geçer: (x,−y). y eksenine göre yansıma (−x,y), başlangıca göre yansıma (−x,−y) olur. Çizimde hangi eksenin iki nokta arasını dik ortaladığına bakmak, hangi işaretin değişeceğini açıklar.

$\displaystyle AB=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ . Orta nokta koordinatların ayrı ayrı ortalamasıdır.

Dikkat: x eksenine uzaklık için x’i değil |y|’yi kullan. Noktalar arası uzaklık negatif olamaz.

Eğim ve doğru denklemi

Yatay değişim başına ne kadar yükseliyoruz?

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.2.1.3Eğimi koordinat değişimlerinin oranı olarak yorumlar.
MEB 11.2.1.3Verilen nokta ve eğimden doğru denklemi kurar.

Eğim, yüksekliğin kendisi değildir

Düşey olmayan bir doğru üzerinde iki nokta seçelim. Yatay değişim Δx iken düşey değişim Δy olsun. $\displaystyle m=\Delta y/\Delta x$ eğimidir; yatayda bir birim ilerlemeye karşılık düşey değişimi söyler. Aynı doğru üzerinde daha uzak iki nokta seçersen iki değişim de aynı oranda büyür, oran korunur.

Sağa giderken yükselen doğru pozitif, alçalan doğru negatif eğimlidir. Formülde $\displaystyle (y_2-y_1)/(x_2-x_1)$ yazarken iki farkta da noktaları aynı sırada kullanmalıyız. İkisinin sırasını birden çevirmek oranı değiştirmez; yalnız birini çevirmek işareti bozar.

Bir nokta ve eğim bütün doğruyu belirler

Doğru A $\displaystyle (x_0,y_0)$ ’dan geçsin ve eğimi m olsun. Doğrunun başka bir (x,y) noktası için aynı oran sağlanır: $\displaystyle (y-y_0)/(x-x_0)=m$ . Buradan $\displaystyle y-y_0=m(x-x_0)$ elde edilir.

Bu denklem, doğru üzerindeki bütün noktaların aynı değişim ilişkisine uymasını ister. Bir noktanın doğru üzerinde olup olmadığını kontrol etmek için koordinatlarını denkleme koyarız. Eşitliği sağlıyorsa noktadır; yalnızca çizimde doğruya yakın durması yeterli değildir.

Eksen kesişimlerini ayrı ayrı oku

Denklemi $\displaystyle y=mx+b$ biçimine getirince x = 0 için y = b olur. Demek ki b, y ekseni kesişiminin düşey koordinatıdır. x eksenini bulmak için y = 0 yazılır; m ≠ 0 ise x = −b/m olur.

Eksenleri (a,0) ve (0,b)’de kesen ve a ile b’si sıfır olmayan doğru $\displaystyle x/a+y/b=1$ biçiminde yazılabilir. Buradaki a ve b kesişim koordinatlarıdır; eğim değildir. Aynı eğime sahip doğrular farklı b değerleriyle paralel biçimde yukarı ve aşağı kayar.

Yatay ve düşey doğruların farkı

Yatay doğruda y değişmediği için Δy = 0 ve eğim sıfırdır. Denklem y = c olur; x herhangi bir değer alabilir. Düşey doğruda ise x sabittir: x = c. Δx = 0 olduğu için düşey eğimi bu oranla hesaplayamayız; eğim tanımsızdır.

“Düşey doğru çok dik, o halde eğimi sıfır” sonucu tersidir. Sıfır eğim hiç yükselmeyen yatay doğrudur. Bir yatay ve bir düşey doğru diktir; bu ilişkiyi tanımsız bir eğimi çarpmaya çalışmadan doğrudan görürüz.

Genel denklem bütün doğruları kapsar

A ve B aynı anda sıfır olmamak üzere $\displaystyle Ax+By+C=0$ genel doğru denklemidir. B ≠ 0 ise y’yi yalnız bırakarak $\displaystyle y=(-A/B)x-C/B$ elde ederiz; eğim −A/B’dir. B = 0 ise x sabittir ve doğru düşeydir. A = 0 ise y sabittir ve doğru yataydır.

Bir denklemi sıfırdan farklı sabit bir sayıyla çarpmak temsil ettiği doğruyu değiştirmez. Bu yüzden iki doğrunun denklemleri farklı görünse bile katsayılarını sadeleştirince aynı doğruyu gösterebilir.

$\displaystyle m=\Delta y/\Delta x$ , $\displaystyle y-y_0=m(x-x_0)$ . Düşey doğru $\displaystyle x=c$ , yatay doğru $\displaystyle y=c$ .

Dikkat: y = mx + b biçimi düşey doğruları kapsamaz. Düşey doğrunun eğimi sıfır değil, tanımsızdır.

Doğruların konumu ve alan

İki denklem, bir kesişim ve bir geometrik ilişki.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 11.2.1.3Paralel ve dik doğruların eğim koşullarını kullanır.
MEB 11.2.1.4Kesişim, noktadan doğruya uzaklık ve koordinatlarla alan hesaplar.

Paralellik ile çakışıklığı ayır

Düşey olmayan iki farklı doğru paralelse eğimleri eşittir. $\displaystyle y=m_1x+b_1$ ve $\displaystyle y=m_2x+b_2$ için $\displaystyle m_1=m_2$ , fakat $\displaystyle b_1\ne b_2$ ise doğrular paraleldir. Eğimler ve sabit terimler birlikte eşitse denklemler aynı doğruyu gösterir; doğrular çakışıktır.

Eğimleri farklı iki doğru tek noktada kesişir. Kesişimi bulmak, iki denklemi de aynı anda sağlayan x ve y değerlerini bulmaktır. Sonucu iki denklemde yerine koymak, bulduğun noktanın gerçekten ikisine de ait olduğunu kontrol eder.

Diklikte eğim neden negatif terse döner?

Bir doğru üzerindeki yönü (u,v) yatay ve düşey değişimleriyle gösterelim. Bu yönü 90° döndürdüğümüzde (−v,u) yönü oluşur. İlk eğim v/u, yeni eğim −u/v olur. İkisi de tanımlıysa çarpımları −1’dir.

Dolayısıyla sıfır olmayan m eğimine dik doğrunun eğimi −1/m olur. Bir noktadan dik doğru çizmek için önce bu eğimi bulur, sonra nokta–eğim denklemini kullanırız. Yatay ve düşey doğruların dikliği özel durumdur; burada eğim çarpımı yazılmaz.

Noktadan doğruya uzaklık dik ölçülür

P $\displaystyle (x_0,y_0)$ ’ın $\displaystyle Ax+By+C=0$ doğrusuna uzaklığı $\displaystyle d=|Ax_0+By_0+C|/\sqrt{A^2+B^2}$ ’dir. Pay, noktanın doğru denklemini ne kadar sağlamadığını ölçer; payda denklemin keyfi katsayı ölçeğini kaldırır. Denklemi ikiyle çarpsak pay ve payda birlikte iki katına çıkar, uzaklık değişmez.

Uzaklık, P’den doğruya inen dikmenin uzunluğudur. Başka bir kesişime çizilmiş eğik parça daha uzun olur. Nokta doğru üzerindeyse pay sıfırdır; uzaklık da sıfır çıkar. Mutlak değer, doğrunun iki tarafında da uzunluğun pozitif olmasını sağlar.

Alanı taban ve dik uzaklıktan kur

Üçgenin iki köşesi bir doğru üzerindeyse aralarındaki uzaklığı taban seçebiliriz. Üçüncü köşenin bu doğruya dik uzaklığı yüksekliktir. Alan taban × dik uzaklık / 2 olur.

Eksenleri (a,0) ve (0,b)’de kesen bir doğruyla eksenlerin sınırladığı üçgen başlangıçta diktir. Dik kenar uzunlukları |a| ve |b| olduğundan alan $\displaystyle |ab|/2$ çıkar. Kesişim koordinatlarından biri negatif olsa bile alan negatife dönmez; mutlak değer bunun için vardır.

Genel üçgende koordinatlarla alan

A $\displaystyle (x_1,y_1)$ , B $\displaystyle (x_2,y_2)$ ve C $\displaystyle (x_3,y_3)$ için alan $\displaystyle |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|/2$ olarak yazılabilir. Bu ifade, üçgeni eksenlere dik parçalarla tamamlayıp eklenen alanları çıkarınca elde edilen cebirsel toplamdır.

Köşelerin sırasını tersine çevirmek içerideki ifadenin işaretini değiştirir; mutlak değer alanı aynı tutar. Sonuç sıfırsa noktalar aynı doğru üzerindedir ve alanı olan bir üçgen kurmazlar. Kısa bir dik taban–yükseklik yolu görünüyorsa genel formülü kullanmak zorunda değilsin.

Paralel doğrularda eğimler eşit; eğimleri tanımlı dik doğrularda çarpım −1. Alan için taban ve dik yükseklik seç.

Dikkat: Eğim eşitliği tek başına farklı paralel doğruları göstermez; doğrular çakışık olabilir. Sabit terimleri de karşılaştır.