Çokgenler · TYT Geometri

Çokgenin açıları ve köşegenleri

Bir köşeden çizilen çizgiler bütünü açıklar.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.5.1.1Çokgenin kenar, köşe ve köşegenlerini ayırt eder.
MEB 10.5.1.1İç ve dış açı toplamlarını, köşegen sayısını gerekçelendirir.

Sınırı, kenarı ve köşegeni ayır

En az üç doğru parçası uç uca birleşip kendini kesmeyen kapalı bir sınır oluşturduğunda çokgen elde ederiz. Köşeleri çevre boyunca A, B, C… diye sıralarız. AB ve BC komşu kenarlardır; AC ise komşu olmayan köşeleri birleştirdiği için köşegendir. Köşegen, çokgene sonradan eklediğimiz yardımcı çizgidir; kenar sayısını artırmaz.

Bütün iç açıları 180°’den küçük çokgen dışbükeydir. Bir köşesi içeri doğru girinti yapıyorsa oradaki iç açı 180°’den büyük olur ve çokgen içbükeydir. Aşağıdaki üçgenlere ayırma çizimini dışbükey çokgen üzerinde kuracağız.

Bir köşeden kaç üçgen oluşur?

Dışbükey n kenarlı çokgende A köşesini seçelim. A’yı kendisine veya iki komşusuna birleştirmek yeni bir köşegen vermez. Geriye kalan n−3 köşeye köşegen çizebiliriz. Bu çizgiler çokgenin içini, aralarında boşluk veya örtüşme bırakmadan n−2 üçgene ayırır.

Üçgenlerin A’daki açıları A iç açısını paylaşır; diğer köşelerde de çokgenin açıları bölüşülür. Bu nedenle bütün üçgenlerin açılarını toplamak çokgenin iç açılarını toplamakla aynıdır: $\displaystyle (n-2)\cdot180^\circ$ .

Köşegenleri sayarken iki kez sayma

Bir köşeden n−3 köşegen çizilebildiğine göre n köşeden sayınca $\displaystyle n(n-3)$ elde ederiz. Fakat AC köşegenini A’dan sayarken bir kez, C’den sayarken bir kez daha saydık. Her köşegenin tam iki ucu vardır; bütün toplamı ikiye bölmeliyiz. Böylece köşegen sayısı $\displaystyle n(n-3)/2$ olur.

Bir köşeden çizilen köşegen sayısı, toplam köşegen sayısı ve oluşan üçgen sayısı farklı büyüklüklerdir. İfadelerin hangisini sorduğunu belirlemek, aynı n için farklı sonuçları karıştırmayı önler.

Dış açılar neden 360° eder?

Çokgenin sınırında yürüdüğünü düşün. Bir kenarın yönünde ilerledikten sonra sonraki kenara dönmek için yaptığın dönüş, o köşenin dış açısıdır. Bir turu aynı yönde tamamladığında başlangıçtaki yönüne dönersin; toplam dönüşün 360° olur.

Dışbükey çokgende her köşede bu şekilde seçilmiş bir dış açı, iç açıyla bütünlerdir. Cebirle de aynı sonucu buluruz: $\displaystyle n\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ=360^\circ$ . Düzgünlük gerekmez; dış açıların eşitliği değil, toplam dönüş önemlidir.

Toplam açıdan tek açıya geçiş

İç açı toplamı bütün çokgene aittir. Tek bir iç açıyı bulmak için açılar arasındaki ilişkiyi de bilmeliyiz. Açılar eşitse toplamı kenar sayısına böleriz; eşit değillerse verilen eşitlikleri veya oranları kullanırız. Aynı şekilde 360° dış açı toplamını n’ye bölmek de ancak bütün dış açılar eşitse tek açıyı verir. İçbükey çokgende girintideki dönüşün yönü değiştiğinden, dışbükey şekle ait pozitif dış açı çizimini düşünmeden oraya taşımamalıyız.

İç açı toplamı $\displaystyle (n-2)\cdot180^\circ$ ; dış açı toplamı $\displaystyle 360^\circ$ ; köşegen sayısı $\displaystyle n(n-3)/2$ .

Dikkat: İç açılar toplamını n’ye bölmek yalnızca bütün iç açılar eşitse tek bir iç açıyı verir.

Düzgün çokgenler

Eşit kenarlar, eşit açılar ve ortak bir merkez.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.5.1.1Düzgün çokgende merkez, iç ve dış açıları ilişkilendirir.
MEB 10.5.1.1Düzgün çokgenin alanını merkezden oluşan üçgenlerle hesaplar.

Düzgünlük iki ayrı koşul ister

Düzgün çokgende bütün kenarlar ve bütün iç açılar eşittir. Bu koşullardan biri diğerini genel olarak garanti etmez. Kare olmayan bir eşkenar dörtgenin kenarları eşit, açıları farklıdır; kare olmayan bir dikdörtgenin açıları eşit, komşu kenarları farklıdır. Bu şekiller düzgün çokgen değildir.

Düzgün çokgende dönme simetrisi vardır: şekli merkezinin etrafında bir köşe ileri taşıyan açı kadar döndürmek onu kendisiyle çakıştırır. Bu, hem merkez açılarını hem merkezden çizilen üçgenleri karşılaştırmamızı sağlar.

Merkezden ardışık köşelere git

Merkez O’dan bütün köşelere çizilen parçalar aynı R yarıçapıdır. Ardışık iki köşe ile O, iki kenarı R olan bir ikizkenar üçgen kurar. Dönme simetrisi nedeniyle bu n üçgen eştir ve merkez açıları 360°’yi eşit paylaşır: $\displaystyle \alpha=360^\circ/n$ .

Bir merkez üçgeninin iki taban açısı toplamı $\displaystyle 180^\circ-\alpha$ olur. Çokgenin bir köşesinde, yan yana iki merkez üçgeninden birer taban açısı birleşir. Dolayısıyla çokgenin iç açısı $\displaystyle 180^\circ-\alpha$ ; dış açısı ise α’dır. Merkez açıyla dış açı eşit olsa da farklı köşelerde oluşurlar.

Düzgün altıgenin özel ilişkisi

Altıgende merkez açı 60°’dir. Merkez üçgeni ikizkenar olduğundan diğer iki açı da $\displaystyle (180^\circ-60^\circ)/2=60^\circ$ olur. Böylece merkez üçgeni eşkenardır: altıgenin kenarı a, çevrel çemberin yarıçapı da a olur.

Karşılıklı köşeleri birleştiren uzun köşegen merkezden geçer ve 2a’dır. Bir köşe atlayarak çizilen kısa köşegenin uzunluğu $\displaystyle a\sqrt3$ olur; merkezden bir kenara dik inerek oluşan 30–60–90 üçgeni bu uzunluğu görmemizi sağlar. Bu kenar–yarıçap eşitliğini her düzgün çokgene genelleyemeyiz.

Apotem ile yarıçap aynı uzunluk değildir

Merkezden bir kenara indirilen dikmenin uzunluğu apotemdir; r ile gösterelim. İkizkenar merkez üçgeninde bu dikme tabanı ortalar. Böylece bir dik üçgenin kenarları r, a/2 ve R olur: $\displaystyle R^2=r^2+(a/2)^2$ . R köşeye, r kenara gider.

Bir merkez üçgeninin alanı $\displaystyle ar/2$ ’dir. n eş üçgenin alanını toplarsak $\displaystyle S=nar/2$ çıkar. $\displaystyle na$ bütün çevre olduğuna göre alan = çevre × apotem / 2. Buradaki dikliği sağlayan apotemdir; yerine çevrel yarıçap yazamayız.

Alan bağıntısını tanıdık şekillerle kontrol et

Karede apotem a/2 olduğundan çevre × apotem / 2, $\displaystyle 4a\cdot(a/2)/2=a^2$ verir. Düzgün altıgende apotem $\displaystyle a\sqrt3/2$ olduğundan alan $\displaystyle 6a\cdot(a\sqrt3/2)/2=3\sqrt3a^2/2$ olur. Bunlar ayrı ezberler değil, aynı merkez üçgeni fikrinin sonuçlarıdır. Kenar sayısı değiştiğinde önce merkez açıyı ve dik üçgeni kurup hangi uzaklığın verildiğini belirlemek yeterlidir.

Düzgün n-gende dış açı ve merkez açı $\displaystyle 360^\circ/n$ , alan $\displaystyle \text{çevre}\cdot\text{apotem}/2$ .

Dikkat: Dış açı, iç açı ve merkez açıyı aynı sanma. Merkez açı ile dış açı eşit; iç açı onların bütünleridir.