Çokgenler Konu Anlatımı – TYT Geometri

Çokgenin açıları ve köşegenleri

Bir köşeden çizilen çizgiler bütünü açıklar.

Bu bölümde çalışacağın kazanımlar

MEB 10.5.1.1Çokgenin kenar, köşe ve köşegenlerini ayırt eder.
MEB 10.5.1.1İç ve dış açı toplamlarını, köşegen sayısını gerekçelendirir.

Sınırı, kenarı ve köşegeni ayır

En az üç doğru parçası uç uca birleşip kendini kesmeyen kapalı bir sınır oluşturduğunda çokgen elde ederiz. Köşeleri çevre boyunca A, B, C… diye sıralarız. AB ve BC komşu kenarlardır; AC ise komşu olmayan köşeleri birleştirdiği için köşegendir. Köşegen, çokgene sonradan eklediğimiz yardımcı çizgidir; kenar sayısını artırmaz.

Bütün iç açıları 180°’den küçük çokgen dışbükeydir. Bir köşesi içeri doğru girinti yapıyorsa oradaki iç açı 180°’den büyük olur ve çokgen içbükeydir. Aşağıdaki üçgenlere ayırma çizimini dışbükey çokgen üzerinde kuracağız.

Bir köşeden kaç üçgen oluşur?

Dışbükey n kenarlı çokgende A köşesini seçelim. A’yı kendisine veya iki komşusuna birleştirmek yeni bir köşegen vermez. Geriye kalan n−3 köşeye köşegen çizebiliriz. Bu çizgiler çokgenin içini, aralarında boşluk veya örtüşme bırakmadan n−2 üçgene ayırır.

Üçgenlerin A’daki açıları A iç açısını paylaşır; diğer köşelerde de çokgenin açıları bölüşülür. Bu nedenle bütün üçgenlerin açılarını toplamak çokgenin iç açılarını toplamakla aynıdır: $\displaystyle (n-2)\cdot180^\circ$ .

Köşegenleri sayarken iki kez sayma

Bir köşeden n−3 köşegen çizilebildiğine göre n köşeden sayınca $\displaystyle n(n-3)$ elde ederiz. Fakat AC köşegenini A’dan sayarken bir kez, C’den sayarken bir kez daha saydık. Her köşegenin tam iki ucu vardır; bütün toplamı ikiye bölmeliyiz. Böylece köşegen sayısı $\displaystyle n(n-3)/2$ olur.

Bir köşeden çizilen köşegen sayısı, toplam köşegen sayısı ve oluşan üçgen sayısı farklı büyüklüklerdir. İfadelerin hangisini sorduğunu belirlemek, aynı n için farklı sonuçları karıştırmayı önler.

Dış açılar neden 360° eder?

Çokgenin sınırında yürüdüğünü düşün. Bir kenarın yönünde ilerledikten sonra sonraki kenara dönmek için yaptığın dönüş, o köşenin dış açısıdır. Bir turu aynı yönde tamamladığında başlangıçtaki yönüne dönersin; toplam dönüşün 360° olur.

Dışbükey çokgende her köşede bu şekilde seçilmiş bir dış açı, iç açıyla bütünlerdir. Cebirle de aynı sonucu buluruz: $\displaystyle n\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ=360^\circ$ . Düzgünlük gerekmez; dış açıların eşitliği değil, toplam dönüş önemlidir.

Toplam açıdan tek açıya geçiş

İç açı toplamı bütün çokgene aittir. Tek bir iç açıyı bulmak için açılar arasındaki ilişkiyi de bilmeliyiz. Açılar eşitse toplamı kenar sayısına böleriz; eşit değillerse verilen eşitlikleri veya oranları kullanırız. Aynı şekilde 360° dış açı toplamını n’ye bölmek de ancak bütün dış açılar eşitse tek açıyı verir. İçbükey çokgende girintideki dönüşün yönü değiştiğinden, dışbükey şekle ait pozitif dış açı çizimini düşünmeden oraya taşımamalıyız.

Çözümlü açı örnekleri

Örnek 1: İç açıları toplamı 1260° olan çokgen için $\displaystyle (n-2)\cdot180^\circ=1260^\circ$ ; $\displaystyle n-2=7$ ve n = 9 bulunur. Çokgen dokuzgendir.

Örnek 2: Bir beşgenin iç açıları x, x + 10°, x + 20°, x + 30° ve x + 40°’dir. Beşgende iç açılar toplamı 540° olduğundan $\displaystyle 5x+100^\circ=540^\circ$ , x = 88°; en büyük açı 128°’dir.

Örnek 3: Bir dörtgenin dış açıları 3, 4, 5 ve 6 ile orantılıdır. Dış açılar toplamı 360° olduğundan $\displaystyle 18k=360^\circ$ , k = 20°. Dış açılar 60°, 80°, 100°, 120°; bunlara karşılık gelen iç açılar 120°, 100°, 80°, 60°’dir.

Örnek 4: Bir köşesinden 5 köşegen çizilebilen çokgende $\displaystyle n-3=5$ , n = 8’dir. İç açılar toplamı $\displaystyle 6\cdot180^\circ=1080^\circ$ olur.

MEB açıklamasına göre içbükey çokgenler ile çokgenlerin köşegen özellikleri ve alan problemleri bu kazanımın dışındadır; köşegenler burada yalnız açı toplamını gerekçelendirmek için kullanılır.

İç açı toplamı $\displaystyle (n-2)\cdot180^\circ$ ; dış açı toplamı $\displaystyle 360^\circ$ ; köşegen sayısı $\displaystyle n(n-3)/2$ .

Dikkat: İç açılar toplamını n’ye bölmek yalnızca bütün iç açılar eşitse tek bir iç açıyı verir.