Vektörler ve Hareket Konu Anlatımı – AYT Fizik

Vektörler ve bağıl hareket

Aynı yolcu birine duruyor, diğerine hareket ediyor görünebilir.

Yürüyen bantta kimin hızını ölçüyoruz?

Havalimanındaki bant doğuya 2 m/s ile ilerlesin. Yolcu bant üzerinde doğuya 1 m/s ile yürürse yerde duran gözlemci onu 3 m/s ile görür. Yolcu batıya 1 m/s ile yürüdüğünde ise yere göre hâlâ doğuya 1 m/s ilerler. Aynı kişinin farklı hızları çelişki değildir: her hız bir gözlemciye göre söylenir.

Bant yere göre doğuya 2 m/s, yolcu banda göre doğuya 1 m/s ilerliyor. Yerdeki gözlemci yolcuyu doğuya 3 m/s hızla görür. Okların boyları hızlarla orantılıdır.

Okun boyu kadar yönü de bilgi taşır

Vektör büyüklük ve yön içerir; eşit vektörlerin başlangıç yerleri farklı olabilir. Uç uca eklemede ilk okun başlangıcından son okun ucuna çizilen ok bileşkedir. Dik 3 ve 4 birimlik iki okun bileşkesi $\displaystyle \sqrt{3^2+4^2}=5$ birimdir. Üç boyutta da eksenler üzerindeki yönler ayrı tutulur; yalnız uzunlukları toplamak bileşkeyi vermez.

Bileşkeyi belirlemek için büyüklüklerle birlikte aradaki açı gerekir.

Vektörün özellikleri ve işlemleri

Fizikte nicelikler iki gruba ayrılır. Skaler nicelikler yalnız büyüklükle (sayı ve birim) tam olarak ifade edilir: kütle, zaman, sıcaklık, enerji, sürat. Vektörel nicelikler büyüklüğün yanında doğrultu ve yön de gerektirir: yer değiştirme, hız, ivme, kuvvet, momentum.

Bir vektörün dört öğesi vardır: başlangıç noktası, doğrultusu, yönü ve büyüklüğü (okun uzunluğu).

• Eşit vektörler: Büyüklükleri, doğrultuları ve yönleri aynıdır; başlangıç noktaları farklı olabilir. Bu yüzden bir vektör yönü ve büyüklüğü değiştirilmeden paralel taşınabilir.

• Zıt vektör: A vektörüyle aynı büyüklükte ve doğrultuda, ters yönde olan vektör −A'dır.

• Skalerle çarpma: 2A, A ile aynı yönde ve iki kat uzunluktadır; −2A ters yöndedir.

• Vektör farkı: A − B, A ile −B'nin toplamıdır.

Örnek: Bir koşucunun hızı doğuya 5 m/s iken kısa sürede kuzeye 5 m/s olsun. Sürat değişmemiştir; ama hız değişimi Δv = v_son − v_ilk = kuzeye 5 m/s + batıya 5 m/s, büyüklüğü 5√2 ≈ 7,1 m/s olan kuzeybatı yönlü bir vektördür. Yön değişimi de bir hız değişimidir.

Uç uca ekleme ve paralel kenar yöntemi

Vektörler iki yöntemle toplanabilir:

• Uç uca ekleme: Vektörler yönleri ve büyüklükleri korunarak birinin ucu diğerinin başlangıcına gelecek biçimde sıralanır. İlk vektörün başlangıcından son vektörün ucuna çizilen vektör bileşkedir. Vektörler kapalı bir çokgen oluşturuyorsa bileşke sıfırdır.

• Paralel kenar yöntemi: İki vektör aynı başlangıç noktasından çizilir ve paralelkenar tamamlanır. Ortak başlangıç noktasından çıkan köşegen bileşkedir.

İki vektörün bileşkesinin büyüklüğü aradaki açıya bağlıdır ve şu aralıktadır: |A − B| ≤ R ≤ A + B. Örneğin 3 N ve 4 N'luk iki kuvvetin bileşkesi en az 1 N, en çok 7 N olabilir; 8 N olamaz.

Eşit büyüklükteki iki vektörün bileşkesi her zaman aralarındaki açının açıortayı doğrultusundadır. Özel açılarda büyüklükler tablodaki gibidir. Açı büyüdükçe bileşke küçülür.

Eşit büyüklükte (F) iki vektörün bileşkesi
Aradaki açı	Bileşkenin büyüklüğü
0°	2F
60°	F√3
90°	F√2
120°	F
180°	0

Bileşenlere ayırmak neden işe yarar?

Yatayla θ açısı yapan F vektörünün izdüşümleri $\displaystyle F_x=F\cos\theta$ , $\displaystyle F_y=F\sin\theta$ olur. Dik üçgendeki komşu ve karşı kenar tanımlarını kullandık. 10 N kuvvet için cosθ=0,8 ve sinθ=0,6 verildiğinde yatay bileşen 8 N, düşey bileşen 6 N'dur. İki vektör arasındaki açı α ise bileşke büyüklüğü $\displaystyle R^2=A^2+B^2+2AB\cos\alpha$ ile bulunur; 120° yapan eşit iki vektörün bileşkesi her birinin büyüklüğündedir.

10 N kuvvetin 8 N yatay ve 6 N düşey bileşenleri; θ yatay eksenle ölçülür.

Üç eksende bir vektörü yerleştir

Başlangıcı O olan bir vektörün ucu (2, −1, 3) noktasında olsun. Önce x ekseninde 2 birim pozitif yöne, ardından y eksenine paralel 1 birim negatif yöne, sonra z eksenine paralel 3 birim yukarı ilerleyerek uç noktayı işaretle. O'dan bu noktaya çizdiğin ok vektördür; kırık yol ise bileşenleri gösteren yardımcı çizimdir.

Vektörü başka bir başlangıca paralel taşıdığında yönü ve büyüklüğü korunuyorsa aynı vektörü elde edersin. Eksi bileşen, okun o eksenin seçilen pozitif yönüne zıt payını anlatır. İki boyutlu örnekte yaptığımız eksenlere ayırma fikri böylece üçüncü eksene de taşınır.

O'dan (2, −1, 3) noktasına uzanan vektör; kesikli yardımcı yol sırasıyla x, y ve z bileşenlerini gösterir. Perspektif çizim uzunluk ölçmek için kullanılmaz.

Nehir örneğini iki ayrı soruya ayıralım

Yüzücü suya göre karşı kıyıya 3 m/s, akıntı kıyı boyunca 4 m/s hızla gitsin. Yere göre hızın büyüklüğü 5 m/s'dir; fakat 60 m genişliği geçme süresi 60/3=20 s olur. Bu sürede 4×20=80 m sürüklenir. Geçiş süresinde 5 kullanmak, kıyı boyunca hareketi karşı kıyıya yaklaşma saymak olur. Genel bağıl hız $\displaystyle \vec v_{A/B}=\vec v_{A/yer}-\vec v_{B/yer}$ biçimindedir.

Birbirine dik 4 ve 3 birimlik bileşenlerin bileşkesi 5 birimdir; şekilde yatay akıntı ile düşey yüzme yönü ayrılır.

İki aracın birbirine göre hareketi

B'deki gözlemcinin A'yı gördüğü hız, A'nın B'ye göre bağıl hızıdır: $\displaystyle \vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B$ . Gözlemci kendini duruyor kabul eder ve kendi hızını karşısındakinin hızından çıkarır.

Aynı yönde: A aracı doğuya 90 km/h, B aracı doğuya 60 km/h ile gidiyorsa A, B'ye göre doğuya 30 km/h; B, A'ya göre batıya 30 km/h hızla gider. Aralarındaki uzaklık her saat 30 km değişir; A, 15 km gerideki B'ye yarım saatte yetişir.

Zıt yönde: A doğuya 90 km/h, B batıya 60 km/h ile gidiyorsa A, B'ye göre doğuya 150 km/h ile yaklaşır. Karşılıklı gelen araçların birbirini çok hızlı görmesi bundandır.

Dik yönlerde: A doğuya 40 km/h, B kuzeye 30 km/h ile gidiyorsa $\displaystyle \vec v_{A/B}$ doğuya 40 ve güneye 30 km/h bileşenlidir; büyüklüğü 50 km/h olur.

Bağıl hız, cisimlerin yere göre hızlarını değiştirmez; yalnız hangi gözlemcinin ölçtüğünü belirtir.

Yağmur damlası ve hareketli gözlemci

Rüzgârsız havada yağmur damlaları yere göre düşey olarak 8 m/s ile düşsün. Doğuya 6 m/s ile giden bir aracın içindeki gözlemciye göre damlanın hızı $\displaystyle \vec v_{y/a}=\vec v_y-\vec v_a$ olur: aşağı 8 m/s ve batıya 6 m/s. Büyüklük 10 m/s'dir ve damlalar düşeyle geriye doğru eğik gelir gibi görünür; düşeyle yaptığı açının tanjantı 6/8'dir.

Bu yüzden yağmurda yürüyen kişi şemsiyesini hareket yönüne doğru öne eğer; aracın yan camlarında damla izleri eğik çizgiler hâlinde görünür.

Hareketli ortam örneği: Doğuya 20 m/s ile giden trenin içinde bir yolcu trene göre batıya 2 m/s ile yürüsün. Trendeki gözlemci yolcuyu batıya 2 m/s, yerdeki gözlemci doğuya 18 m/s ile hareket ediyor görür. Aynı olay iki gözlem çerçevesinde farklı hızlarla betimlenir; ikisi de doğrudur.

Akıntılı nehirde iki farklı hedef

Nehirde yüzen bir kişinin ya da kayığın yere göre hızı, suya göre hızı ile akıntı hızının vektörel toplamıdır.

Akıntı doğrultusunda hareket: Kayık suya göre 5 m/s, akıntı 2 m/s olsun. Akıntı yönünde gidince yere göre 7 m/s, akıntıya karşı gidince 3 m/s hızla ilerler. Aynı 210 m'lik yolu gidip gelmek 30 + 70 = 100 s sürer; durgun suda aynı yol 84 s sürerdi.

En kısa sürede karşıya geçmek: Yüzücü suya göre hızını kıyıya dik tutmalıdır. Geçiş süresi yalnız bu dik bileşene bağlıdır ve akıntıdan etkilenmez; akıntı yalnız sürüklenme miktarını belirler.

Tam karşıya (en kısa yoldan) geçmek: Yüzücü akıntıya karşı biraz eğik yüzerek akıntının sürüklemesini dengeler. Suya göre hızı 5 m/s, akıntı 3 m/s ise akıntıya karşı bileşen 3 m/s olmalıdır; kıyıya dik bileşen 4 m/s kalır. 60 m genişliğindeki nehir 15 s'de tam karşıya geçilir. Bunun için yüzücünün suya göre süratinin akıntı süratinden büyük olması gerekir.

Aynı düşünce rüzgârda uçan uçak ve akıntıda giden gemi için de kullanılır: Pilot burnunu rüzgâra karşı çevirerek istenen rotada kalır.

Önce gözlemciyi ve eksenleri seç; her doğrultuda vektörel toplama yap.

Dikkat: Süratlerin farkı, yalnız aynı doğrultuda doğru işaretlerle bağıl hızı verir.

Bu bölümün kazanımları

MEB 11.1.1.1Vektörlerin özelliklerini açıklar.
MEB 11.1.1.2İki ve üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminde vektörleri çizer.
MEB 11.1.1.3Vektörlerin bileşkelerini farklı yöntemleri kullanarak hesaplar.
MEB 11.1.1.4Bir vektörün iki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde bileşenlerini çizerek büyüklüklerini hesaplar.
MEB 11.1.2.1Sabit hızlı iki cismin hareketini birbirine göre yorumlar.
MEB 11.1.2.2Hareketli bir ortamdaki sabit hızlı cisimlerin hareketini farklı gözlem çerçevelerine göre yorumlar.
MEB 11.1.2.3Bağıl hareket ile ilgili hesaplamalar yapar.
Hızları gözlem çerçevesini belirterek bileşenlerine ayırır ve toplar.