Dönme, Çekim ve Titreşim

Düzgün çembersel harekette cisim eşit zaman aralıklarında eşit yaylar alır; süratin büyüklüğü sabittir, yönü sürekli değişir.

Örnek: Yarıçapı 10 m olan dönme dolap bir turunu 40 s'de tamamlıyor. T = 40 s, f = 1/40 = 0,025 Hz, ω = 2π/40 ≈ 0,157 rad/s, kabinlerin çizgisel sürati v = ωr ≈ 1,57 m/s'dir.

Aynı eksen etrafında dönen noktalar (plak, tekerlek, Dünya yüzeyindeki noktalar) aynı açısal hıza sahiptir; eksenden uzak olanın çizgisel sürati daha büyüktür. Dünya her noktada aynı açısal hızla döner, ama ekvatordaki bir nokta saniyede yaklaşık 465 m yol alırken kutba yakın bir nokta çok daha yavaş hareket eder.

Kayış veya zincirle bağlı kasnaklarda kayma yoksa kenarların çizgisel süratleri eşittir; küçük kasnak daha büyük açısal hızla döner. Bisiklette pedal dişlisi ile arka dişlinin ilişkisi buna örnektir.

Çember üzerinde birbirine yakın iki noktada hız vektörlerini çizelim. İki vektör de eşit uzunluktadır (sürat sabit) ama yönleri farklıdır; her biri o noktada çembere teğettir.

Hız değişimini bulmak için ikinci hız vektöründen birinciyi çıkarırız: Δv = v₂ − v₁. Bunun için iki vektör aynı başlangıç noktasına taşınır ve birincinin ucundan ikincinin ucuna bir ok çizilir. İki nokta birbirine yaklaştıkça bu Δv vektörü çemberin merkezine yönelir.

İvme a = Δv/Δt olduğu için ivmenin yönü de Δv ile aynıdır: merkeze doğru. Bu yüzden düzgün çembersel hareketteki ivmeye merkezcil ivme denir. Büyüklüğü a = v²/r'dir.

Bu çizim iki önemli sonuç verir:

• Sürat sabit olsa da hız vektörü değiştiği için cisim ivmelidir.

• İvme hıza diktir; bu yüzden sürati değiştirmez, yalnız yönü değiştirir. Hız ve ivmenin dik olması, merkezcil kuvvetin cisim üzerinde iş yapmamasının da nedenidir.

Program çizgisel (teğetsel) ivme kavramına girmez; incelenen hareket sürati sabit olan düzgün çembersel harekettir.

Bir cismin düzgün çembersel hareket yapabilmesi için ona merkeze doğru net bir kuvvet etki etmelidir. Newton'ın ikinci yasasına göre bu merkezcil kuvvet:

$\displaystyle F_m=\frac{mv^2}{r}=m\omega^2r=\frac{4\pi^2mr}{T^2}$

Değişkenler:

• Kütle iki katına çıkarsa (sürat ve yarıçap aynı) gereken kuvvet iki katına çıkar.

• Sürat iki katına çıkarsa kuvvet dört katına çıkar.

• Sürat sabitken yarıçap iki katına çıkarsa kuvvet yarıya iner; açısal hız sabitken yarıçap iki katına çıkarsa kuvvet iki katına çıkar. Hangi niceliğin sabit tutulduğunu belirtmeden yarıçapın etkisi söylenemez.

Deney: Bir ipin ucuna bağlı küçük bir cisim, ince bir borudan geçirilen ipin diğer ucundaki ağırlıklarla dengelenerek yatay çemberde döndürülür. Asılı ağırlık merkezcil kuvveti sağlar. Ağırlık, cismin kütlesi ve yarıçap değiştirilerek periyot ölçülür ve bağıntı sınanır.

Merkezcil kuvvet yeni bir kuvvet türü değildir: Bir ip gerilmesi, sürtünme, çekim kuvveti veya normal kuvvetin merkeze doğru bileşeni bu görevi yapar.

İple döndürme: Sürtünmesiz yatay masada 0,8 m uzunluğundaki ipe bağlı 0,5 kg'lık top 4 m/s süratle dönüyor. Merkezcil kuvveti ip gerilmesi sağlar: $\displaystyle T=\frac{0{,}5\cdot4^2}{0{,}8}=10$ N. İp koparsa top, koptuğu andaki hız yönünde, yani çembere teğet doğrultuda doğrusal olarak gider; merkezden dışarı doğru 'fırlamaz'.

Dönen platformdaki para: Dönen bir platform üzerinde merkezden 0,1 m uzakta duran paranın merkezcil kuvvetini statik sürtünme sağlar. Kaymaması için $\displaystyle m\omega^2r\le\mu_smg$ olmalıdır. μs = 0,4 ve g = 10 m/s² için en büyük açısal hız $\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{0{,}4\cdot10}{0{,}1}}\approx6{,}3$ rad/s'dir. Platform daha hızlı dönerse para kayar; aynı hızda merkeze daha yakın bir para ise kaymayabilir.

Merkezkaç yanılgısı: Çamaşır makinesinin sıkma programında kazanın delikleri, suya merkezcil kuvvet sağlayamaz; su damlaları teğet doğrultuda deliklerden çıkar. Dönen bir araçtaki yolcunun dışa doğru 'itildiğini' hissetmesi, aslında eylemsizliği nedeniyle doğrusal gitmeye devam etmek istemesidir.

İpe bağlı bir cisim düşey çemberde döndürüldüğünde ağırlık her noktada aşağı yönlüdür; merkeze göre yönü konuma bağlıdır.

Tepede: Hem ağırlık hem ip gerilmesi merkeze (aşağı) doğrudur: $\displaystyle T+mg=\frac{mv^2}{r}$. Cismin ipi gergin tutarak tepeden geçebilmesi için T ≥ 0 olmalıdır. En küçük sürat T = 0 için $\displaystyle v_{min}=\sqrt{gr}$ olur. r = 1 m ve g = 10 m/s² için yaklaşık 3,2 m/s.

Tabanda: İp gerilmesi yukarı (merkeze), ağırlık aşağıdır: $\displaystyle T-mg=\frac{mv^2}{r}$. 1 kg'lık cisim tabandan 6 m/s ile geçerse T = 10 + 36 = 46 N olur. İp en büyük gerilmeye tabanda maruz kalır.

Tümsek ve çukur: Bir tümseğin tepesinden geçen otomobil için $\displaystyle mg-N=\frac{mv^2}{r}$; normal kuvvet ağırlıktan küçüktür ve yolcular hafiflemiş hisseder. Çok hızlı geçilirse N sıfıra iner ve araç yoldan ayrılabilir. Çukurun dibinde ise $\displaystyle N-mg=\frac{mv^2}{r}$; normal kuvvet ağırlıktan büyüktür. Lunapark trenlerinde hissedilen ağırlaşma ve hafifleme bu değişimlerdendir.

Yatay virajda kaymadan dönüş için en çok statik sürtünme merkezcil kuvveti sağlayabilir: $\displaystyle mv^2/r\le\mu_smg$. g=10 m/s², μs=0,4 ve r=25 m için sınır 10 m/s'dir. Kütlenin sadeleşmesi bu ideal modelin sonucudur. Eğimli virajda normal kuvvetin yatay bileşeni de katkı verir; düşey kuvvet dengesiyle radyal denklemi birlikte kurmak gerekir.

Sürtünmesiz, dış kenarı yükseltilmiş virajda normal kuvvet yalnız yukarı değildir; merkeze doğru bileşeni vardır. Yol yatayla θ açısı yapıyorsa düşeyde N cosθ=mg, yatayda N sinθ=mv²/r yazılır. İki denklemi böldüğünde $\displaystyle v^2=rg\tan\theta$ elde edilir.

Örneğin r=20 m, g=10 m/s² ve tanθ=0,5 için uygun sürat 10 m/s'dir. Burada merkezcil kuvvet diye üçüncü bir ok eklemedik; normalin yatay bileşeni net radyal kuvveti verdi. Sürtünme varsa farklı süratler de mümkün olabilir; o durumda sürtünmenin yönünü kayma eğilimine göre yeniden belirlemek gerekir.

Yatay bir virajda aracın kaymadan dönebileceği en büyük sürat $\displaystyle v=\sqrt{\mu_s g r}$ ile bulunur (önceki adım). Bu bağıntı trafik güvenliği açısından önemli sonuçlar verir:

• Yol koşulları: Kuru asfaltta μs yaklaşık 0,8 alınırsa 50 m yarıçaplı virajda güvenli sürat 20 m/s (72 km/h) olur. Yağmurda μs 0,2'ye düşerse güvenli sürat 10 m/s'ye (36 km/h) iner. Islak, buzlu veya karlı yolda hızın belirgin biçimde düşürülmesi bu yüzden zorunludur.

• Virajın keskinliği: Yarıçap küçüldükçe güvenli sürat azalır. Keskin virajlardaki düşük hız sınırı levhaları bu hesaba dayanır.

• Kütle: İdeal modelde kütle sadeleşir; ancak yüklü ve yüksek araçlarda ağırlık merkezinin yüksek olması devrilme riskini artırır.

• Eğimli virajlar: Otoyol rampaları, yarış pistleri ve bisiklet velodromlarında virajın dış kenarı yükseltilerek normal kuvvetin yatay bileşeninden yararlanılır; böylece sürtünmeye daha az ihtiyaç duyulur.

Virajlarda hız sınırına uymak, aracın yoldan çıkmasını önleyen kuvvetin sınırlı olduğunu kabul etmektir. Lastiklerin aşınması da μs'yi düşürerek güvenli sürati azaltır.

Öteleme hareketinde cismin bütün noktaları aynı anda aynı yer değiştirmeyi yapar; asansör kabini buna örnektir. Dönme hareketinde cismin noktaları bir eksen etrafında çembersel yollar izler; hepsi aynı açısal hıza ama eksene uzaklıklarına göre farklı çizgisel hızlara sahiptir. Kapı, pervane ve atlıkarınca dönme hareketi yapar.

Dönerek öteleme: Yolda kaymadan yuvarlanan bir tekerlek hem öteleme hem dönme yapar. Tekerleğin merkezi v hızıyla ilerlerken kenarı merkeze göre ωr süratiyle döner; kaymadan yuvarlanmada v = ωr'dir. Bu durumda tekerleğin yere değen noktası o an durgun, en üst noktası ise 2v hızla hareket eder.

Tablodaki eşleşmeler, dönme hareketinin niceliklerinin öteleme niceliklerine benzer biçimde tanımlandığını gösterir.

Kütle, bir cismin öteleme hareketindeki değişime karşı koyma eğilimidir. Eylemsizlik momenti ise cismin dönme hareketindeki değişime karşı koyma eğilimidir. Eylemsizlik momenti yalnız kütleye değil, kütlenin dönme eksenine göre nasıl dağıldığına da bağlıdır: Kütle eksenden ne kadar uzaktaysa eylemsizlik momenti o kadar büyüktür.

• Aynı kütle ve yarıçaptaki bir halka ile dolu bir diskten halkanın eylemsizlik momenti daha büyüktür; çünkü halkanın bütün kütlesi eksenden en uzak çevrededir. Aynı torkla halkayı döndürmek ve durdurmak daha zordur.

• Aynı çubuğu ortasından geçen eksen etrafında döndürmek, ucundan geçen eksen etrafında döndürmekten kolaydır. Eksen değişince eylemsizlik momenti de değişir.

• İp cambazının elindeki uzun sopa, kütleyi eksenden uzağa dağıtarak eylemsizlik momentini büyütür; cambazın dengesini bozan küçük dönmeler yavaşlar ve düzeltmek için zaman kazanılır.

Program eylemsizlik momentiyle ilgili sayısal hesaplara girmez.

Yalnız dönen bir cismin kinetik enerjisi eylemsizlik momentine ve açısal hızına bağlıdır. Dönerek öteleme yapan cismin toplam kinetik enerjisi iki parçadan oluşur:

E_k = ½·m·v² (öteleme) + ½·I·ω² (dönme)

Eğik düzlem yarışı: Aynı kütle ve yarıçapta dolu bir küre, dolu bir silindir ve bir halka aynı yükseklikten kaymadan yuvarlanacak biçimde bırakılsın. Üçünün de potansiyel enerjisi eşittir. Bu enerjinin bir kısmı ötelemeye, bir kısmı dönmeye aktarılır. Eylemsizlik momenti büyük olan halka enerjisinin daha büyük kısmını dönmeye ayırdığı için en yavaş ilerler ve yarışı son sırada bitirir; küre birinci olur. Sürtünmesiz yüzeyde dönmeden kayan bir kutu ise bütün enerjisini ötelemeye harcadığı için hepsinden önce varır.

Bu sonuç cisimlerin kütlesinden ve yarıçapından bağımsızdır; yalnız kütle dağılımının biçimine bağlıdır. Program dönme kinetik enerjisiyle ilgili sayısal hesaplara girmez.

Açısal momentum dönme hareketinin 'momentumudur'. Bir eksen etrafında r yarıçaplı çembersel yolda v süratiyle dönen m kütleli noktasal cisim için $\displaystyle L=m\cdot v\cdot r$. Genişlemiş bir cisim için $\displaystyle L=I\cdot\omega$'dır. Açısal momentum vektöreldir; yönü sağ el kuralıyla bulunur.

Çizgisel momentumla ilişkisi: Açısal momentum, çizgisel momentumun eksene göre 'momentidir': $\displaystyle L=r\cdot p\cdot\sin\theta$. Momentumun doğrultusu eksenden geçiyorsa açısal momentum sıfırdır.

Torkla ilişkisi: Net kuvvet çizgisel momentumu değiştirir ($\displaystyle F=\Delta p/\Delta t$); benzer biçimde net tork açısal momentumu değiştirir: $\displaystyle \tau=\frac{\Delta L}{\Delta t}$. L = Iω ve eylemsizlik momenti sabitken $\displaystyle \tau=I\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=I\alpha$ elde edilir.

Korunum: Net dış tork sıfırsa açısal momentum korunur: $\displaystyle I_1\omega_1=I_2\omega_2$. Örnekler:

• Dalgıç ve jimnastikçiler takla atarken vücutlarını toplayarak I'yı küçültür, daha hızlı döner; açılarak yavaşlar.

• Helikopterlerin kuyruk pervanesi, ana pervanenin gövdeyi ters yönde döndürmesini engeller.

• Dönen bisiklet tekerleği ve jiroskop yönelimini korumaya çalışır; dönen bisiklet daha kolay dengede kalır.

• Çöken yıldızlar küçülürken çok hızlı dönmeye başlar.

Atomik boyutta: Açısal momentum yalnız büyük cisimlerin değil, atomların da niceliğidir. Elektronun çekirdek çevresindeki hareketiyle ilişkili açısal momentumu ve spini belirli değerlerle sınırlıdır (kuantumludur). Program açısal momentumun korunumuyla ilgili sayısal hesaplara girmez.